Smithovo číslo - Smith number

v teorie čísel, a Smithovo číslo je složené číslo pro které, v daném číselná základna, součet jeho číslic se rovná součtu číslic v jeho Prvočíselný rozklad v daném číselná základna. V případě čísel, která nejsou bez čtverce, faktorizace se zapisuje bez exponentů, opakující se faktor se zapisuje tolikrát, kolikrát je potřeba.

Smithova čísla byla pojmenována Albert Wilansky z Lehigh University, když si všiml nemovitosti na telefonním čísle (493-7775) jeho švagra Harolda Smitha:

4937775 = 3¹ 5² 65837¹

zatímco

4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 · 1 + 5 · 2 + (6 + 5 + 8 + 3 + 7) · 1 = 42

v základna 10.^[1]

Matematická definice

Nechat ${ displaystyle n}$ být přirozené číslo. Pro základnu ${ displaystyle b> 1}$, nechte funkci ${ displaystyle F_ {b} (n)}$ být součet číslic n v základně ${ displaystyle b}$. Přirozené číslo ${ displaystyle n}$ má celočíselnou faktorizaci

${ displaystyle n = prod _ { stackrel {p mid n} {p { text {prime}}}} p ^ {v_ {p} (n)}}$

a je Smithovo číslo -li

${ displaystyle F_ {b} (n) = součet _ { stackrel {p mid n} {p { text {prime}}}} v_ {p} (n) F_ {b} (p)}$

kde ${ displaystyle v_ {p} (n)}$ je ocenění p-adic z ${ displaystyle n}$.

Například v základna 10, 378 = 2¹ 3³ 7¹ je Smithovo číslo od 3 + 7 + 8 = 2 · 1 + 3 · 3 + 7 · 1, a 22 = 2¹ 11¹ je Smithovo číslo, protože 2 + 2 = 2 · 1 + (1 + 1) · 1

Prvních několik Smithových čísel v základna 10 jsou:

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086… (sekvence A006753 v OEIS )

Vlastnosti

W.L. McDaniel v roce 1987 dokázal, že existuje nekonečně mnoho Smithových čísel.^[1][2]Počet Smithových čísel v základna 10 pod 10ⁿ pro n= 1,2, ... je:

1, 6, 49, 376, 3294, 29928, 278411, 2632758, 25154060, 241882509,… (sekvence A104170 v OEIS )

Volají se dvě po sobě jdoucí čísla Smith (například 728 a 729 nebo 2964 a 2965) Smith bratři.^[3] Není známo, kolik je bratrů Smithových. Výchozí prvky nejmenšího Smitha n-tuple (význam n po sobě jdoucích Smithových čísel) v základna 10 pro n = 1, 2, ... jsou:^[4]

4, 728, 73615, 4463535, 15966114, 2050918644, 164736913905,… (sekvence A059754 v OEIS )

Smithova čísla lze sestavit z faktorů odměny. Největší známé Smithovo číslo v základna 10 od roku 2010^{[Aktualizace]} je:

9 × R.₁₀₃₁ × (10⁴⁵⁹⁴ + 3×10²²⁹⁷ + 1)¹⁴⁷⁶ ×10^3913210

kde R₁₀₃₁ je odměna rovná se (10¹⁰³¹−1)/9.

Viz také

• Equidigital číslo

Poznámky

Reference

• Gardner, Martin (1988). Penroseovy dlaždice na šifry padacích dveří. 299–300.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Příručka teorie čísel II. Dordrecht: Kluwer Academic. str.32 –36. ISBN  1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Smithovo číslo“. MathWorld.
• Shyam Sunder Gupta, Fascinující Smithova čísla.
• Copeland, ed. „4937775 - Smith Numbers“. Numberphile. Brady Haran.