Polygonální číslo - Polygonal number

v matematika, a polygonální číslo je číslo reprezentované jako tečky nebo oblázky uspořádané do tvaru a pravidelný mnohoúhelník. Body jsou považovány za alfy (jednotky). Jedná se o jeden typ 2-dimenzionálního figurativní čísla.

Definice a příklady

Například číslo 10 lze uspořádat jako a trojúhelník (vidět trojúhelníkové číslo ):

Ale 10 nemůže být uspořádáno jako a náměstí. Na druhé straně číslo 9 může být (viz číslo umocněné na druhou ):

Některá čísla, například 36, mohou být uspořádána jako čtverce i jako trojúhelník (viz čtvercové trojúhelníkové číslo ):

Podle konvence je 1 první polygonální číslo pro libovolný počet stran. Pravidlem pro zvětšení mnohoúhelníku na další velikost je prodloužení dvou sousedních ramen o jeden bod a následné přidání dalších požadovaných stran mezi tyto body. V následujících diagramech je každá další vrstva zobrazena červeně.

Trojúhelníková čísla

Čtvercová čísla

Podle tohoto pravidla lze také sestrojit mnohoúhelníky s vyšším počtem stran, jako jsou pětiúhelníky a šestiúhelníky, ačkoli tečky již nebudou tvořit dokonale pravidelnou mřížku jako výše.

Pětiúhelníková čísla

Šestihranná čísla

Vzorec

Li $s$ je počet stran v mnohoúhelníku, vzorec pro $n$ th $s$ -gonal number $P (s, n)$ je

{ displaystyle P (s, n) = { frac {(s-2) n ^ {2} - (s-4) n} {2}}}

nebo

{ displaystyle P (s, n) = (s-2) { frac {n (n-1)} {2}} + n}

The $n$ th $s$ -gonal number is also related to the triangular numbers $T n$ jak následuje:

{ displaystyle P (s, n) = (s-2) T_ {n-1} + n = (s-3) T_ {n-1} + T_ {n} ,.}

Tím pádem:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} P (s, n + 1) -P (s, n) & = (s-2) n + 1 ,, P (s + 1, n) -P ( s, n) & = T_ {n-1} = { frac {n (n-1)} {2}} ,. end {zarovnáno}}}

Za dané $s$ -gonal number $P (s, n) = X$ , jeden může najít $n$ podle

{ displaystyle n = { frac {{ sqrt {8 (s-2) x + {(s-4)} ^ {2}}} + (s-4)} {2 (s-2)}}}

a jeden může najít $s$ podle

{ displaystyle s = 2 + { frac {2} {n}} cdot { frac {x-n} {n-1}}}

.

Každé šestihranné číslo je také trojúhelníkové číslo

Použití výše uvedeného vzorce:

{ displaystyle P (s, n) = (s-2) T_ {n-1} + n}

v případě 6 stran dává:

{ displaystyle P (6, n) = 4T_ {n-1} + n}

ale od:

{ displaystyle T_ {n-1} = { frac {n (n-1)} {2}}}

z toho vyplývá, že:

{ displaystyle P (6, n) = { frac {4n (n-1)} {2}} + n = { frac {2n (2n-1)} {2}} = T_ {2n-1} }

To ukazuje, že $n$ th šestihranné číslo $P (6, n)$ je také $(2 n - 1)$ th trojúhelníkové číslo $T 2 n -1$ . Každé šestihranné číslo můžeme najít jednoduše tak, že vezmeme lichá trojúhelníková čísla:

1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

Tabulka hodnot

Prvních 6 hodnot ve sloupci „součet převrácených hodnot“ pro trojúhelníková až osmiboká čísla pochází z publikovaného řešení obecného problému, které také poskytuje obecný vzorec pro libovolný počet stran, pokud jde o funkce digamma.^[1]

$s$	název	Vzorec	$n$										Součet vzájemných^[1]^[2]	OEIS číslo
$s$	název	Vzorec	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Součet vzájemných^[1]^[2]	OEIS číslo
3	Trojúhelníkový	$1 / 2 (n 2 + n)$	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	2^[1]	A000217
4	Náměstí	$1 / 2 (2 n 2 - 0 n) = n 2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	$π$ ²/6^[1]	A000290
5	Pětiúhelníkový	$1 / 2 (3 n 2 - n)$	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	$3 ln 3 - π \sqrt 3 / 3$ ^[1]	A000326
6	Šestihranný	$1 / 2 (4 n 2 - 2 n) = 2 n 2 - n$	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	$2 ln 2$ ^[1]	A000384
7	Heptagonal	$1 / 2 (5 n 2 - 3 n)$	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	${ displaystyle { begin {matrix} { tfrac {2} {3}} ln 5 + { tfrac {{1} + { sqrt {5}}} {3}} ln { tfrac { sqrt {10-2 { sqrt {5}}}} {2}} + { tfrac {{1} - { sqrt {5}}} {3}} ln { tfrac { sqrt {10 + 2 { sqrt {5}}}} {2}} + { tfrac { pi { sqrt {25-10 { sqrt {5}}}}} {15}} konec {matice}}}$ ^[1]	A000566
8	Osmiúhelníkový	$1 / 2 (6 n 2 - 4 n) = 3 n 2 - 2 n$	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	$3 / 4 ln 3 + π \sqrt 3 / 12$ ^[1]	A000567
9	Neagonální	$1 / 2 (7 n 2 - 5 n)$	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325		A001106
10	Decagonal	$1 / 2 (8 n 2 - 6 n) = 4 n 2 - 3 n$	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	$ln 2 + π / 6$	A001107
11	Hendecagonal	$1 / 2 (9 n 2 - 7 n)$	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	Dodekagonální	$1 / 2 (10 n 2 - 8 n)$	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	Trojúhelníkový	$1 / 2 (11 n 2 - 9 n)$	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
14	Tetradecagonal	$1 / 2 (12 n 2 - 10 n)$	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	$2 / 5 ln 2 + 3 / 10 ln 3 + π \sqrt 3 / 10$	A051866
15	Pentadecagonal	$1 / 2 (13 n 2 - 11 n)$	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	Šestihranný	$1 / 2 (14 n 2 - 12 n)$	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	Heptadecagonal	$1 / 2 (15 n 2 - 13 n)$	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
18	Octadecagonal	$1 / 2 (16 n 2 - 14 n)$	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	$4 / 7 ln 2 - \sqrt 2 / 14 ln (3 - 2 \sqrt 2)$ $+ π (1 + \sqrt 2) / 14$	A051870
19	Enneadecagonal	$1 / 2 (17 n 2 - 15 n)$	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
20	Ikosagonální	$1 / 2 (18 n 2 - 16 n)$	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	Icosihenagonal	$1 / 2 (19 n 2 - 17 n)$	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
22	Icosidigonal	$1 / 2 (20 n 2 - 18 n)$	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910		A051874
23	Icositrigonal	$1 / 2 (21 n 2 - 19 n)$	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955		A051875
24	Icositetragonal	$1 / 2 (22 n 2 - 20 n)$	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000		A051876
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10000	Myriagonální	$1 / 2 (9998 n 2 - 9996 n)$	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí vyhýbá se termínům používajícím řecké předpony (např. „osmiboká“) ve prospěch termínů používajících číslice (tj. „8-gonal“).

Vlastnost této tabulky může být vyjádřena následující identitou (viz A086270 ):

{ Displaystyle 2 , P (s, n) = P (s + k, n) + P (s-k, n),}

s

{ displaystyle k = 0,1,2,3, ..., s-3.}

Kombinace

Některá čísla, například 36, která je čtvercová i trojúhelníková, spadají do dvou polygonálních sad. Problém stanovení, vzhledem ke dvěma takovým množinám, lze všechna čísla, která patří oběma, vyřešit snížením úlohy na Pellova rovnice. Nejjednodušším příkladem je posloupnost čtvercová trojúhelníková čísla.

Následující tabulka shrnuje sadu $s$ -gonal $t$ -gonal čísla pro malé hodnoty $s$ a $t$ .

$s$	$t$	Sekvence	OEIS číslo
4	3	1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ...	A001110
5	3	1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465, …	A014979
5	4	1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ...	A036353
6	3	Všechna šestihranná čísla jsou také trojúhelníková.	A000384
6	4	1, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, 2172602007770041, 2507180834294496361, 2893284510173841030625, 3338847817559778254844961, 3853027488179473932250054441, ...	A046177
6	5	1, 40755, 1533776805, …	A046180
7	3	1, 55, 121771, 5720653, 12625478965, 593128762435, 1309034909945503, 61496776341083161, 135723357520344181225, 6376108764003055554511, 14072069153115290487843091, …	A046194
7	4	1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, …	A036354
7	5	1, 4347, 16701685, 64167869935, …	A048900
7	6	1, 121771, 12625478965, …	A048903
8	3	1, 21, 11781, 203841, …	A046183
8	4	1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, …	A036428
8	5	1, 176, 1575425, 234631320, …	A046189
8	6	1, 11781, 113123361, …	A046192
8	7	1, 297045, 69010153345, …	A048906
9	3	1, 325, 82621, 20985481, …	A048909
9	4	1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, ...	A036411
9	5	1, 651, 180868051, …	A048915
9	6	1, 325, 5330229625, …	A048918
9	7	1, 26884, 542041975, …	A048921
9	8	1, 631125, 286703855361, …	A048924

V některých případech, jako např $s = 10$ a $t = 4$ , v obou sadách nejsou žádná čísla kromě 1.

Problém najít čísla, která patří do tří polygonálních množin, je obtížnější. Počítačové hledání pětiúhelníkových čtvercových trojúhelníkových čísel přineslo pouze triviální hodnotu 1, ačkoli důkaz, že žádná další taková čísla neexistují, je třeba ještě najít.^[3]

Číslo 1225 je hecatonicositetragonal ( $s = 124$ ), šestiúhelníkový ( $s = 60$ ), icosienneagonal ( $s = 29$ ), šestihranný, čtvercový a trojúhelníkový.

Jedinou polygonální množinou, která je zcela obsažena v jiné polygonální sadě, je sada šestihranných čísel, která je obsažena v sadě trojúhelníkových čísel.^{[Citace je zapotřebí ]}

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h „Archivovaná kopie“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 15.06.2011. Citováno 2010-06-13.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)
^ Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers
^ Weisstein, Eric W. „Pětiúhelníkové trojúhelníkové číslo“. MathWorld.

Reference

Slovník tučňáků zvědavých a zajímavých čísel, David Wells (Knihy tučňáků, 1997) [ISBN 0-14-026149-4].
Polygonální čísla na PlanetMath
Weisstein, Eric W. „Polygonální čísla“. MathWorld.
F. Tapson (1999). Oxfordský matematický studijní slovník (2. vyd.). Oxford University Press. str. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9.

externí odkazy

„Polygonální číslo“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Polygonální čísla: Každé s-polygonální číslo mezi 1 a 1000 lze kliknout na 2 <= s <= 337
Polygonální čísla na mřížce spirály Ulam na Youtube
Funkce počítání polygonálních čísel: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853

[siam_07-003s-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h „Archivovaná kopie“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 15.06.2011. Citováno 2010-06-13.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)

[2] Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers

[3] Weisstein, Eric W. „Pětiúhelníkové trojúhelníkové číslo“. MathWorld.

[1]

[2]

[3]