Dokonalá síla - Perfect power

Demonstrace, s Pruty Cuisenaire, dokonalé mocenské povahy 4, 8 a 9

v matematika, a dokonalá síla je pozitivní celé číslo které lze vyřešit na stejné faktory a jejichž kořen lze přesně extrahovat, tj. pozitivní celé číslo které lze vyjádřit jako celé číslo Napájení jiného kladného celého čísla. Formálněji n je dokonalá síla, pokud existuje přirozená čísla m > 1 a k > 1 takový m^k = n. V tomto případě, n lze nazvat a perfektní kth síla. Li k = 2 nebo k = 3, tedy n se nazývá a perfektní čtverec nebo perfektní kostka, resp. Někdy 0 a 1 jsou také považovány za dokonalé síly (0^k = 0 pro všechny k > 0, 1^k = 1 pro všechny k).

Příklady a částky

A sekvence dokonalých sil lze generovat iterací přes možné hodnoty pro m a k. Prvních několik vzestupně dokonalých sil v číselném pořadí (zobrazujících duplicitní síly) je (sekvence A072103 v OEIS ):

${displaystyle 2 ^ {2} = 4, 2 ^ {3} = 8, 3 ^ {2} = 9, 2 ^ {4} = 16, 4 ^ {2} = 16, 5 ^ {2} = 25, 3 ^ {3} = 27,}$ ${displaystyle 2 ^ {5} = 32, 6 ^ {2} = 36, 7 ^ {2} = 49, 2 ^ {6} = 64, 4 ^ {3} = 64, 8 ^ {2} = 64, tečky}$

The součet z reciproční dokonalých schopností (včetně duplikátů jako 3⁴ a 9², přičemž obě rovna 81) je 1:

${displaystyle sum _ {m = 2} ^ {infty} sum _ {k = 2} ^ {infty} {frac {1} {m ^ {k}}} = 1.}$

což lze dokázat takto:

${displaystyle sum _ {m = 2} ^ {infty} sum _ {k = 2} ^ {infty} {frac {1} {m ^ {k}}} = součet _ {m = 2} ^ {infty} { frac {1} {m ^ {2}}} součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} {m ^ {k}}} = součet _ {m = 2} ^ {infty} {frac {1} {m ^ {2}}} vlevo ({frac {m} {m-1}} ight) = součet _ {m = 2} ^ {infty} {frac {1} {m (m-1) }} = součet _ {m = 2} ^ {infty} left ({frac {1} {m-1}} - {frac {1} {m}} ight) = 1 ,.}$

První dokonalé schopnosti bez duplikátů jsou:

(někdy 0 a 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256 , 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... (sekvence A001597 v OEIS )

Součet převrácených hodnot dokonalých sil p bez duplikátů je:^[1]

${displaystyle sum _ {p} {frac {1} {p}} = součet _ {k = 2} ^ {infty} mu (k) (1-zeta (k)) přibližně 0,874464368dots}$

kde μ (k) je Möbiova funkce a ζ (k) je Funkce Riemann zeta.

Podle Euler, Goldbach ukázal (nyní ztraceným dopisem), že součet 1/p − 1 přes sadu dokonalých sil p, kromě 1 a bez duplikátů, je 1:

${displaystyle sum _ {p} {frac {1} {p-1}} = {{frac {1} {3}} + {frac {1} {7}} + {frac {1} {8}} + {frac {1} {15}} + {frac {1} {24}} + {frac {1} {26}} + {frac {1} {31}}} + cdots = 1.}$

Toto je někdy známé jako Goldbach – Eulerova věta.

Detekce dokonalé síly

Zjištění, zda dané přirozené číslo je či není n je dokonalá síla může být dosažena mnoha různými způsoby, s různými úrovněmi složitost. Jednou z nejjednodušších metod je zvážit všechny možné hodnoty pro k přes každou z dělitele z n, až do ${displaystyle kleq log _ {2} n}$. Takže pokud dělitelé ${displaystyle n}$ jsou ${displaystyle n_ {1}, n_ {2}, tečky, n_ {j}}$ pak jedna z hodnot ${displaystyle n_ {1} ^ {2}, n_ {2} ^ {2}, tečky, n_ {j} ^ {2}, n_ {1} ^ {3}, n_ {2} ^ {3}, tečky }$ musí se rovnat n -li n je opravdu dokonalá síla.

Tuto metodu lze okamžitě zjednodušit tím, že vezmeme v úvahu pouze primární hodnoty k. Je to proto, že pokud ${displaystyle n = m ^ {k}}$ pro kompozitní ${displaystyle k = ap}$ kde p je prvočíslo, pak to lze jednoduše přepsat jako ${displaystyle n = m ^ {k} = m ^ {ap} = (m ^ {a}) ^ {p}}$. Z tohoto důvodu minimální hodnota k musí být nutně hlavní.

Pokud je plná faktorizace n je známo, řekněme ${displaystyle n = p_ {1} ^ {alpha _ {1}} p_ {2} ^ {alpha _ {2}} cdots p_ {r} ^ {alpha _ {r}}}$ Kde ${displaystyle p_ {i}}$ jsou tedy zřetelná prvočísla n je dokonalá síla kdyby a jen kdyby ${displaystyle gcd (alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, alpha _ {r})> 1}$ kde gcd označuje největší společný dělitel. Jako příklad zvažte n = 2⁹⁶·3⁶⁰·7²⁴. Protože gcd (96, 60, 24) = 12, n je dokonalá 12. síla (a dokonalá 6. síla, 4. síla, krychle a čtverec, protože 6, 4, 3 a 2 dělí 12).

Mezery mezi dokonalými silami

V roce 2002 rumunský matematik Preda Mihăilescu dokázal, že jediný pár po sobě jdoucích dokonalých sil je 2³ = 8 a 3² = 9, což dokazuje Katalánská domněnka.

Pillaiho domněnka uvádí, že pro dané kladné celé číslo k existuje pouze konečný počet párů dokonalých sil, jejichž rozdíl je k. Toto je nevyřešený problém.^[2]

Viz také

• Prime power

Reference

• Daniel J. Bernstein (1998). "Detekce dokonalých sil v podstatě lineárním časem" (PDF). Matematika výpočtu. 67 (223): 1253–1283. doi:10.1090 / S0025-5718-98-00952-1.

externí odkazy

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader a Jaume Paradís, O seriálu Goldbach a Euler, 2004 (PDF)