Vysoce kototientní číslo - Highly cototient number

v teorie čísel, pobočka matematika, a vysoce kototientní číslo je pozitivní celé číslo ${ displaystyle k}$ který je nad 1 a má více řešení pro rovnice

${ displaystyle x- phi (x) = k}$

než jakékoli jiné celé číslo níže ${ displaystyle k}$ a vyšší 1. Zde, ${ displaystyle phi}$ je Eulerova totientová funkce. Existuje nekonečně mnoho řešení rovnice pro

${ displaystyle k}$ = 1

takže tato hodnota je v definici vyloučena. Prvních několik vysoce kototientních čísel je:^[1]

2, 4, 8, 23, 35, 47, 59, 63, 83, 89, 113, 119, 167, 209, 269, 299, 329, 389, 419, 509, 629, 659, 779, 839, 1049, 1169, 1259, 1469, 1649, 1679, 1889, ... (sekvence A100827 v OEIS )

Mnoho z vysoce kototientních čísel je lichých. Ve skutečnosti jsou po 8 všechna výše uvedená čísla lichá a po 167 jsou všechna výše uvedená čísla shodná s 29 modulo 30.^{[Citace je zapotřebí ]}

Koncept je poněkud analogický konceptu vysoce složená čísla. Stejně jako existuje nekonečně mnoho vysoce složených čísel, existuje také nekonečně mnoho vysoce kototentních čísel. Od té doby se výpočty stávají těžšími celočíselná faktorizace s přibývajícími čísly se stává těžší.

Příklad

The kototient z ${ displaystyle x}$ je definován jako ${ displaystyle x- phi (x)}$, tj. počet kladných celých čísel menší nebo roven ${ displaystyle x}$ které mají alespoň jeden hlavní faktor společný s ${ displaystyle x}$. Například kototient 6 je 4, protože tyto čtyři kladná celá čísla mají a hlavní faktor společné s 6: 2, 3, 4, 6. Kototient 8 je také 4, tentokrát s těmito celými čísly: 2, 4, 6, 8. Existují přesně dvě čísla, 6 a 8, která mají kototient 4. Existuje méně čísel, která mají kototient 2 a cototient 3 (vždy jedno číslo), takže 4 je vysoce kototientní číslo.

(sekvence A063740 v OEIS )

n	kje takový ${ displaystyle k- phi (k) = n}$	počet kje takový ${ displaystyle k- phi (k) = n}$ (sekvence A063740 v OEIS )
0	1	1
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... (všechna prvočísla)	∞
2	4	1
3	9	1
4	6, 8	2
5	25	1
6	10	1
7	15, 49	2
8	12, 14, 16	3
9	21, 27	2
10		0
11	35, 121	2
12	18, 20, 22	3
13	33, 169	2
14	26	1
15	39, 55	2
16	24, 28, 32	3
17	65, 77, 289	3
18	34	1
19	51, 91, 361	3
20	38	1
21	45, 57, 85	3
22	30	1
23	95, 119, 143, 529	4
24	36, 40, 44, 46	4
25	69, 125, 133	3
26		0
27	63, 81, 115, 187	4
28	52	1
29	161, 209, 221, 841	4
30	42, 50, 58	3
31	87, 247, 961	3
32	48, 56, 62, 64	4
33	93, 145, 253	3
34		0
35	75, 155, 203, 299, 323	5
36	54, 68	2
37	217, 1369	2
38	74	1
39	99, 111, 319, 391	4
40	76	1
41	185, 341, 377, 437, 1681	5
42	82	1
43	123, 259, 403, 1849	4
44	60, 86	2
45	117, 129, 205, 493	4
46	66, 70	2
47	215, 287, 407, 527, 551, 2209	6
48	72, 80, 88, 92, 94	5
49	141, 301, 343, 481, 589	5
50		0

Připraví

Prvních několik vysoce kototientních čísel, která jsou připraví jsou ^[2]

2, 23, 47, 59, 83, 89, 113, 167, 269, 389, 419, 509, 659, 839, 1049, 1259, 1889, 2099, 2309, 2729, 3359, 3989, 4289, 4409, 5879, 6089, 6719, 9029, 9239, ... (sekvence A105440 v OEIS )

Viz také

• Vysoce totient číslo

Reference