Sedmihranné číslo - Heptagonal number

A sedmihranné číslo je figurativní číslo který je konstruován kombinací sedmiúhelníky se vzestupnou velikostí. The n-té sedmiúhelníkové číslo je dáno vzorcem

${ displaystyle { frac {5n ^ {2} -3n} {2}}}$.

Prvních pět sedmiúhelníkových čísel.

Prvních několik sedmiúhelníkových čísel je:

1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782,… (sekvence A000566 v OEIS )

Parita

Parita sedmiúhelníkových čísel se řídí vzorem lichý-lichý-sudý-sudý. Jako čtvercová čísla, digitální root v základu 10 heptagonálního čísla může být pouze 1, 4, 7 nebo 9. Pětkrát heptagonální číslo plus 1 se rovná trojúhelníkové číslo.

Součet vzájemných

Vzorec pro součet vzájemných sedmiúhelníkových čísel je dáno vztahem:^[1]

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {2} {n (5n-3)}} = { frac {1} {15}} { pi} { sqrt { 25–10 { sqrt {5}}}} + { frac {2} {3}} ln (5) + { frac {{1} + { sqrt {5}}} {3}} ln left ({ frac {1} {2}} { sqrt {10-2 { sqrt {5}}}} right) + { frac {{1} - { sqrt {5}}} {3}} ln left ({ frac {1} {2}} { sqrt {10 + 2 { sqrt {5}}}} right)}$

Heptagonální kořeny

Analogicky k odmocnina z X, lze vypočítat sedmiúhelníkový kořen X, což znamená počet výrazů v sekvenci do a včetně X.

Sedmiúhelníkový kořen X je dáno vzorcem

${ displaystyle n = { frac {{ sqrt {40x + 9}} + 3} {10}},}$

který je získán použitím kvadratický vzorec vyřešit ${ displaystyle x = { frac {5n ^ {2} -3n} {2}}}$ pro svůj jedinečný pozitivní kořen n.

Reference