Higgs prime - Higgs prime
A Higgs prime, pojmenoval podle Denis Higgs, je prvočíslo s totientem (o jeden méně než prvočíslo), který rovnoměrně rozděluje druhou mocninu produktu menších Higgsových prvočísel. (To lze zobecnit na kostky, čtvrté mocniny atd.) Algebraicky řečeno, vzhledem k exponentu A, Higgsova prime Hpn splňuje
kde Φ (X) je Eulerova totientová funkce.
U čtverců je prvních pár Higgsových prvočísel 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, ... (sekvence A007459 v OEIS ). Například 13 je tedy Higgsova prvočíslo, protože čtverec produktu menších Higgsových prvočísel je 5336100, a vydělený 12 je to 444675. Ale 17 není Higgsova prvočíslo, protože čtverec produktu menších prvočísel je 901800900, což ponechává zbytek 4 po dělení 16.
Z pozorování prvních několika Higgsových prvočísel pro čtverce až po sedmé mocnosti by se zdálo být kompaktnější vyjmenovat ta prvočísla, která nejsou Higgsovými prvočísly:
Exponent | 75. Higgs Prime | Není Higgsův hlavní pod 75. Higgsův hlavní |
---|---|---|
2 | 797 | 17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 521, 541, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773 |
3 | 509 | 17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 449, 479, 487 |
4 | 409 | 97, 193, 257, 353, 389 |
5 | 389 | 193, 257 |
6 | 383 | 257 |
7 | 383 | 257 |
Pozorování dále ukazuje, že a Fermat prime nemůže být Higgsovým vrcholem pro Ath moc, pokud A je menší než 2n.
Není známo, jestli existuje nekonečně mnoho Higgsových prvočísel pro libovolného exponenta A větší než 1. Situace je zcela odlišná A = 1. Jsou jen čtyři z nich: 2, 3, 7 a 43 (sekvence podezřele podobný Sylvestrova sekvence ). Burris & Lee (1993) zjistili, že asi pětina prvočísel pod milionem je Higgsova prime, a dospěli k závěru, že i když je posloupnost Higgsových prvočísel pro čtverce konečná, „počítačový výčet není proveditelný.“
Reference
- Burris, S .; Lee, S. (1993). „Tarskiho identita na střední škole“. Amer. Matematika. Měsíční. 100 (3): 231–236 [str. 233]. JSTOR 2324454.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Sloane, N .; Plouffe, S. (1995). Encyklopedie celočíselných sekvencí. New York: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2. M0660