Hyperperfektní číslo - Hyperperfect number

v matematika, a k-hyperperfect number je přirozené číslo n pro které je rovnost n = 1 + k(σ(n) − n - 1) drží, kde σ(n) je funkce dělitele (tj. součet všech kladných dělitele z n). A hyperperfektní číslo je k-hyperperfect number for some integer k. Hyperperfektní čísla se zobecňují perfektní čísla, které jsou 1-hyperperfektní.^[1]

Prvních několik čísel v pořadí k-hyperperfect čísla jsou 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, ... (sekvence A034897 v OEIS ), s odpovídajícími hodnotami k být 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (sekvence A034898 v OEIS ). Prvních pár k-hyperperfect čísla, která nejsou dokonalá, jsou 21, 301, 325, 697, 1333, ... (sekvence A007592 v OEIS ).

Seznam hyperperfektních čísel

Následující tabulka uvádí prvních několik k-hyperperfect čísla pro některé hodnoty kspolu s pořadovým číslem v On-line encyklopedie celočíselných sekvencí (OEIS) sekvence k-hyperperfect čísla:

Je možné ukázat, že pokud k > 1 je zvláštní celé číslo a p = (3k + 1) / 2 a q = 3k + 4 jsou prvočísla, pak p²q je k-hyperperfektní; Judson S. McCranie předpokládal v roce 2000 to všechno k-hyperperfect čísla pro lichá k > 1 jsou této formy, ale hypotéza dosud nebyla prokázána. Dále lze prokázat, že pokud p ≠ q jsou lichá prvočísla a k je celé číslo takové, že k(p + q) = pq - 1 tedy pq je k-hyperperfect.

Je také možné ukázat, že pokud k > 0 a p = k +1 je hlavní, pak pro všechny i > 1 takový q = pⁱ − p +1 je hlavní, n = p^{i − 1}q je k-hyperperfect. V následující tabulce jsou uvedeny známé hodnoty k a odpovídající hodnoty i pro který n je k-hyperperfect:

Hyperdeficience

Nově zavedený matematický koncept hyperdeficience souvisí s hyperperfektní čísla.

Definice (Minoli 2010): Pro jakékoli celé číslo n a na celé číslo k, ${ displaystyle k> 0}$, definovat k-hyperdeficience (nebo jednoduše hyperdeficience ) pro číslo n tak jako

   δk(n) = n (k + 1) + (k-1) - kσ (n)

Číslo n se říká, že je k-hyperdeficientní pokud δ_k(n) > 0.

Všimněte si, že pro k= 1 dostane δ₁(n)= 2n–Σ (n), což je standardní tradiční definice nedostatek.

Lemma: Číslo n je k-hyperperfektní (včetně k= 1) právě tehdy, pokud je k-hyperdeficience n, 8_k(n) = 0.

Lemma: Číslo n je k-hyperperfektní (včetně k= 1) právě a jen pro některé k, 8_k-j(n) = -δ_{k + j}(n) alespoň pro jeden j > 0.

Reference

• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, vyd. (2006). Příručka teorie čísel I. Dordrecht: Springer-Verlag. str. 114. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.

Další čtení

Články

• Minoli, Daniel; Bear, Robert (podzim 1975), "Hyperperfect numbers", Pi Mu Epsilon Journal, 6 (3): 153–157.
• Minoli, Daniel (prosinec 1978), „Dostatečné tvary pro zobecněná dokonalá čísla“, Annales de la Faculté des Sciences UNAZA, 4 (2): 277–302.
• Minoli, Daniel (únor 1981), „Strukturální problémy pro hyperperfektní čísla“, Fibonacci čtvrtletně, 19 (1): 6–14.
• Minoli, Daniel (duben 1980), „Problémy v nelineárních hyperperfektních číslech“, Matematika výpočtu, 34 (150): 639–645, doi:10.2307/2006107.
• Minoli, Daniel (říjen 1980), „Nové výsledky pro hyperperfektní čísla“, Abstrakty Americké matematické společnosti, 1 (6): 561.
• Minoli, Daniel; Nakamine, W. (1980), „Mersennova čísla zakořeněná na 3 pro číselné teoretické transformace“, Mezinárodní konference o akustice, řeči a zpracování signálu.
• McCranie, Judson S. (2000), „Studie hyperperfektních čísel“, Journal of Integer Sequences, 3, archivovány z originál dne 2004-04-05.
• te Riele, Herman J.J. (1981), „Hyperperfektní čísla se třemi různými prvočísly“, Matematika. Comp., 36: 297–298, doi:10.1090 / s0025-5718-1981-0595066-9, PAN  0595066, Zbl  0452.10005.
• te Riele, Herman J.J. (1984), "Pravidla pro konstrukci hyperperfektních čísel", Fibonacci Q., 22: 50–60, Zbl  0531.10005.

Knihy

• Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, ISBN  0-07-140615-8 (str. 114-134)

externí odkazy

• MathWorld: Hyperperfektní číslo
• Dlouhý seznam hyperperfektních čísel v části Data