Zdvořilé číslo - Polite number

A Mladý diagram představující vizuálně zdvořilé rozšíření 15 = 4 + 5 + 6

v teorie čísel, a zdvořilé číslo je kladné celé číslo které lze zapsat jako součet dvou nebo více po sobě jdoucích kladných celých čísel. Další kladná celá čísla jsou nezdvořilý.[1][2]Byla také volána zdvořilá čísla čísla schodišť protože Mladé diagramy graficky reprezentující oddíly zdvořilého čísla na po sobě jdoucí celá čísla (ve francouzském stylu kreslení těchto diagramů) se podobají schodiště.[3][4][5] Pokud jsou všechna čísla v součtu přísně větší než jedna, jsou také volána takto vytvořená čísla lichoběžníková čísla protože představují vzory bodů uspořádaných do a lichoběžník (lichoběžník mimo Severní Ameriku).[6][7][8][9][10][11][12]

Problém reprezentace čísel jako součtu po sobě jdoucích celých čísel a počítání počtu reprezentací tohoto typu byl studován Sylvester,[13] Zedník,[14][15] Leveque,[16] a mnoho dalších novějších autorů.[1][2][17][18][19][20][21][22][23]

Příklady a charakterizace

Prvních pár zdvořilých čísel je

3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (sekvence A138591 v OEIS ).

Neslušná čísla jsou přesně ta pravomoci dvou.[13] Vyplývá to z Věta Lambek – Moser že nslušné číslo je F(n + 1), kde

Zdvořilost

The zdvořilost kladného čísla je definován jako počet způsobů, jak jej lze vyjádřit jako součet po sobě jdoucích celých čísel. Pro každého Xzdvořilost X se rovná počtu zvláštní dělitele z X které jsou větší než jedna.[13] Zdvořilost čísel 1, 2, 3, ... je

0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 3, ... (sekvence A069283 v OEIS ).

Například zdvořilost 9 je 2, protože má dva liché dělitele, 3 a sebe, a dvě zdvořilé reprezentace

9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5;

zdvořilost 15 je 3, protože má tři liché dělitele, 3, 5 a 15, a (jak je známo cribbage hráči)[24] tři zdvořilá reprezentace

15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8.

Snadný způsob výpočtu zdvořilosti kladného čísla je rozložení čísla na jeho číslo hlavní faktory, vezmeme-li moc všech hlavních faktorů větší než 2, přidáme 1 ke všem, vynásobíme takto získaná čísla a odečteme 1. Například 90 má zdvořilost 5, protože ; pravomoci 3 a 5 jsou příslušně 2 a 1 a použití této metody .

Konstrukce zdvořilých reprezentací lichých dělitelů

Chcete-li vidět spojení mezi lichými děliteli a zdvořilými reprezentacemi, předpokládejme číslo X má divného dělitele y > 1. Potom y po sobě jdoucí celá čísla se středem na X/y (aby jejich průměrná hodnota byla X/y) mít X jako jejich součet:

Některé výrazy v tomto součtu mohou být nulové nebo záporné. Pokud je však výraz nula, lze jej vynechat a jakékoli negativní výrazy lze použít ke zrušení kladných výrazů, což vede ke zdvořilému vyjádření X. (Požadavek, že y > 1 odpovídá požadavku, aby zdvořilé zastoupení mělo více než jeden člen; použití stejné konstrukce pro y = 1 by jen vedlo k triviálnímu jednorázovému zastoupení X = X.) Například zdvořilé číslo X = 14 má jediný netriviální lichý dělitel, 7. Jde tedy o součet 7 po sobě jdoucích čísel se středem 14/7 = 2:

14 = (2 − 3) + (2 − 2) + (2 − 1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3).

První člen, -1, zruší pozdější +1, a druhý člen, nula, lze vynechat, což vede ke zdvořilé reprezentaci

14 = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5.

Naopak, každé zdvořilé zastoupení X lze z této konstrukce vytvořit. Pokud má reprezentace lichý počet termínů, X/y je střední termín, zatímco pokud má sudý počet členů a jeho minimální hodnota je m lze ji jedinečným způsobem rozšířit na delší sekvenci se stejným součtem a lichým počtem termínů zahrnutím 2m - 1 čísla - (m − 1), −(m − 2), ..., −1, 0, 1, ..., m − 2, m - 1. Po tomto rozšíření znovu, X/y je střednědobý termín. Touto konstrukcí lze zdvořilé reprezentace čísla a jeho lichých dělitelů větších než jeden umístit do a osobní korespondence, dávat a bijektivní důkaz charakterizace zdvořilých čísel a zdvořilosti.[13][25] Obecněji platí, že stejná myšlenka poskytuje korespondenci dvou ku jedné mezi reprezentacemi na jedné straně jako součet po sobě jdoucích celých čísel (umožňující nula, záporná čísla a jednorázová reprezentace) a na druhé straně liché dělitele (včetně 1).[15]

Další zobecnění tohoto výsledku uvádí, že pro všechny n, počet oddílů n do lichých čísel k odlišné hodnoty se rovnají počtu oddílů n do různých čísel s k maximální počet po sobě jdoucích čísel.[13][26][27] Zde je běh jedna nebo více po sobě jdoucích hodnot tak, že další větší a další menší po sobě jdoucí hodnoty nejsou součástí oddílu; například oddíl 10 = 1 + 4 + 5 má dva běhy, 1 a 4 + 5. Zdvořilá reprezentace má jeden běh a oddíl s jednou hodnotou d je ekvivalentní faktorizaci n jako produkt d ⋅ (n/d), takže speciální případ k = 1 z tohoto výsledku uvádí opět ekvivalenci mezi zdvořilými reprezentacemi a lichými faktory (včetně v tomto případě triviálního vyjádření n = n a triviální lichý faktor 1).

Lichoběžníková čísla

Pokud zdvořilá reprezentace začíná číslem 1, je takto reprezentované číslo a trojúhelníkové číslo

Obecněji jde o rozdíl dvou po sobě jdoucích trojúhelníkových čísel

V obou případech se tomu říká lichoběžníkové číslo. To znamená, že zdvořilá čísla jsou jednoduše lichoběžníková čísla. Lze také uvažovat o zdvořilých číslech, jejichž jediné zdvořilé reprezentace začínají 1. Jedinými takovými čísly jsou trojúhelníková čísla s pouze jedním netriviálním lichým dělitelem, protože u těchto čísel podle dříve popsané bijekce lichý dělitel odpovídá trojúhelníkovému zobrazení a nemohou existovat žádná další zdvořilá vyjádření. Zdvořilá čísla, jejichž jediná zdvořilá reprezentace začíná číslem 1, tedy musí mít formu síly dvou vynásobenou lichým prvočíslem. Jak poznamenávají Jones a Lord,[12] existují přesně dva typy trojúhelníkových čísel s touto formou:

  1. sudý perfektní čísla 2n − 1(2n - 1) tvořený produktem a Mersenne prime 2n - 1 s polovinou nejbližší síla dvou, a
  2. výrobky 2n − 1(2n + 1) a Fermat prime 2n + 1 s polovinou nejbližší síly dvou.

(sekvence A068195 v OEIS ). Například perfektní číslo 28 = 23 − 1(23 - 1) a číslo 136 = 24 − 1(24 + 1) jsou oba tento druh zdvořilého čísla. Předpokládá se, že existuje nekonečně mnoho prvočíselných prvočísel, v takovém případě existuje také nekonečně mnoho zdvořilých čísel tohoto typu.

Reference

  1. ^ A b Adams, Ken (březen 1993), „Jak zdvořilý je X?", Matematický věstník, 77 (478): 79–80, doi:10.2307/3619263, JSTOR  3619263.
  2. ^ A b Griggs, Terry S. (prosinec 1991), „Neslušná čísla“, Matematický věstník, 75 (474): 442–443, doi:10.2307/3618630, JSTOR  3618630.
  3. ^ Mason, John; Burton, Leone; Stacey, Kaye (1982), Matematické myšlení, Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-10238-3.
  4. ^ Stacey, K.; Groves, S. (1985), Strategie pro řešení problémů, Melbourne: Zeměpisná šířka.
  5. ^ Stacey, K.; Scott, N. (2000), „Orientace na hlubokou strukturu při zkoušení příkladů: klíč k úspěšnému řešení problému“, Carillo, J .; Contreras, L. C. (eds.), Resolucion de Problemas en los Albores del Siglo XXI: Una vision Internacional desde Multiples Perspectivas y Niveles Educativos (PDF), Huelva, Španělsko: Hergue, s. 119–147, archivovány od originál (PDF) dne 2008-07-26.
  6. ^ Gamer, Carlton; Roeder, David W .; Watkins, John J. (1985), „Trapézové čísla“, Matematický časopis, 58 (2): 108–110, doi:10.2307/2689901, JSTOR  2689901.
  7. ^ Jean, Charles-É. (Březen 1991), „Les nombres trapézoïdaux“ (Francouzština), Bulletin de l'AMQ: 6–11.
  8. ^ Haggard, Paul W .; Morales, Kelly L. (1993), „Objevování vztahů a vzorců zkoumáním lichoběžníkových čísel“, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 24 (1): 85–90, doi:10.1080/0020739930240111.
  9. ^ Feinberg-McBrian, Carol (1996), „Případ lichoběžníkových čísel“, Učitel matematiky, 89 (1): 16–24.
  10. ^ Smith, Jim (1997), „Trapézové čísla“, Matematika ve škole, 5: 42.
  11. ^ Verhoeff, T. (1999), „Obdélníkové a lichoběžníkové uspořádání“, Journal of Integer Sequences, 2: 16, Bibcode:1999JIntS ... 2 ... 16V, Článek 99.1.6.
  12. ^ A b Jones, Chris; Lord, Nick (1999), „Charakterizace jiných než lichoběžníkových čísel“, Matematický věstník, 83 (497): 262–263, doi:10.2307/3619053, JSTOR  3619053.
  13. ^ A b C d E Sylvester, J. J.; Franklin, F (1882), „Konstruktivní teorie oddílů, uspořádaná do tří dějství, interakce a exodu“, American Journal of Mathematics, 5 (1): 251–330, doi:10.2307/2369545, JSTOR  2369545. v Shromážděné matematické práce Jamese Josepha Sylvestera (prosinec 1904), H. F. Baker, ed. Sylvester definuje třída oddílu do různých celých čísel jako počet bloků po sobě jdoucích celých čísel v oddílu, takže v jeho zápisu je zdvořilý oddíl první třídy.
  14. ^ Mason, T. E. (1911), „O reprezentacích čísla jako součtu po sobě jdoucích celých čísel“, Sborník Indiana Academy of Science: 273–274.
  15. ^ A b Mason, Thomas E. (1912), „O reprezentaci celého čísla jako součtu po sobě jdoucích celých čísel“, Americký matematický měsíčník, 19 (3): 46–50, doi:10.2307/2972423, JSTOR  2972423, PAN  1517654.
  16. ^ Leveque, W. J. (1950), "Na reprezentacích jako součet po sobě jdoucích celých čísel", Kanadský žurnál matematiky, 2: 399–405, doi:10.4153 / CJM-1950-036-3, PAN  0038368,
  17. ^ Pong, Wai Yan (2007), „Součty po sobě jdoucích celých čísel“, College Math. J., 38 (2): 119–123, arXiv:matematika / 0701149, Bibcode:Matematika 2007 ...... 1149P, PAN  2293915.
  18. ^ Britt, Michael J. C .; Fradin, Lillie; Philips, Kathy; Feldman, Dima; Cooper, Leon N. (2005), „O součtech po sobě jdoucích celých čísel“, Kvart. Appl. Matematika., 63 (4): 791–792, doi:10.1090 / S0033-569X-05-00991-1, PAN  2187932.
  19. ^ Frenzen, C. L. (1997), „Důkaz beze slov: součty po sobě jdoucích kladných celých čísel“, Matematika. Mag., 70 (4): 294, JSTOR  2690871, PAN  1573264.
  20. ^ Guy, Robert (1982), "Součty po sobě jdoucích celých čísel" (PDF), Fibonacci čtvrtletně, 20 (1): 36–38, Zbl  0475.10014.
  21. ^ Apostol, Tom M. (2003), „Součty po sobě jdoucích kladných celých čísel“, Matematický věstník, 87 (508): 98–101, JSTOR  3620570.
  22. ^ Prielipp, Robert W .; Kuenzi, Norbert J. (1975), „Součty po sobě jdoucích kladných celých čísel“, Učitel matematiky, 68 (1): 18–21.
  23. ^ Parker, John (1998), „Součty po sobě jdoucích celých čísel“, Matematika ve škole, 27 (2): 8–11.
  24. ^ Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1988), „Problém 2.30“, Konkrétní matematika, Addison-Wesley, str. 65, ISBN  978-0-201-14236-5.
  25. ^ Vaderlind, Paul; Guy, Richard K.; Larson, Loren C. (2002), Zvědavý řešitel problémů, Mathematical Association of America, s. 205–206, ISBN  978-0-88385-806-6.
  26. ^ Andrews, G. E. (1966), „O zevšeobecňování Eulerovy věty o rozdělení“, Michigan Mathematical Journal, 13 (4): 491–498, doi:10,1307 / mmj / 1028999609, PAN  0202617.
  27. ^ Ramamani, V .; Venkatachaliengar, K. (1972), „On the partition theorem of Sylvester“, Michigan Mathematical Journal, 19 (2): 137–140, doi:10,1307 / mmj / 1029000844, PAN  0304323.

externí odkazy