Solinas prime - Solinas prime

v matematika, a Solinas prime, nebo zobecněný mersenne prime, je a prvočíslo to má formu ${ displaystyle f (2 ^ {m})}$, kde ${ displaystyle f (x)}$ je nízký stupeň polynomiální s malým celým číslem koeficienty.^[1][2] Tyto prvočísla umožňují rychlé modulární redukční algoritmy a jsou široce používány v kryptografie.

Tato třída čísel zahrnuje několik dalších kategorií prvočísel:

• Mersenne připraví, které mají podobu ${ displaystyle 2 ^ {k} -1}$
• Crandallova nebo pseudomersenská prvočísla, která mají podobu ${ displaystyle 2 ^ {k} -c}$ pro malé liché ${ displaystyle c}$^[3]

Algoritmus modulární redukce

Nechat ${ displaystyle f (t) = t ^ {d} -c_ {d-1} t ^ {d-1} -...- c_ {0}}$ být monický polynom stupně ${ displaystyle d}$ přes ${ displaystyle mathbb {Z}}$ a předpokládejme to ${ displaystyle p = f (2 ^ {m})}$ je Solinas prime. Vzhledem k číslu ${ displaystyle n$

až ${ displaystyle 2md}$ bitů, chceme najít shodné číslo ${ displaystyle n}$ mod ${ displaystyle p}$ jen s tolika kousky, kolik ${ displaystyle p}$ - tedy maximálně ${ displaystyle md}$ bity.

Nejprve reprezentujte ${ displaystyle n}$ v základně ${ displaystyle 2 ^ {m}}$:

${ displaystyle n = sum _ {j = 0} ^ {2d-1} A_ {j} 2 ^ {mj}}$

Dále vygenerujte a ${ displaystyle d}$-podle-${ displaystyle d}$ matice ${ displaystyle X = (X_ {i, j})}$ krokováním ${ displaystyle d}$ krát posuvný registr lineární zpětné vazby definováno přes ${ displaystyle mathbb {Z}}$ podle polynomu ${ displaystyle f}$: počínaje ${ displaystyle d}$- celočíselný registr ${ displaystyle [0 | 0 | ... | 0 | 1]}$, posuňte o jednu pozici doprava, vstřikováním ${ displaystyle 0}$ nalevo a přidání (po komponentách) výstupní hodnoty krát vektoru ${ displaystyle [c_ {0}, ..., c_ {d-1}]}$ v každém kroku (podrobnosti viz [1]). Nechat ${ displaystyle X_ {i, j}}$ být celé číslo v ${ displaystyle j}$Registrujte se na ${ displaystyle i}$krok a všimněte si, že první řádek ${ displaystyle X}$ darováno ${ displaystyle (X_ {0, j}) = [c_ {0}, ..., c_ {d-1}]}$. Pokud tedy označíme ${ displaystyle B = (B_ {i})}$ celočíselný vektor daný:

${ displaystyle (B_ {0} ... B_ {d-1}) = (A_ {0} ... A_ {d-1}) + (A_ {d} ... A_ {2d-1}) X}$,

lze snadno zkontrolovat, že:

${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {d-1} B_ {j} 2 ^ {mj} equiv sum _ {j = 0} ^ {2d-1} A_ {j} 2 ^ {mj } mod p}$.

Tím pádem ${ displaystyle B}$ představuje ${ displaystyle md}$-bit celé číslo shodné s ${ displaystyle n}$.

Pro uvážlivý výběr ${ displaystyle f}$ (opět viz [1]), tento algoritmus zahrnuje pouze relativně malý počet sčítání a odčítání (a žádné dělení!), takže může být mnohem efektivnější než naivní modulární redukční algoritmus (${ Displaystyle n-p cdot (n / p)}$).

Příklady Solinasových prvočísel

Čtyři z doporučených prvočísel v NIST Dokument „Doporučené eliptické křivky pro použití federální vládou“ jsou Solinasova prvočísla:

• p-192 ${ displaystyle 2 ^ {192} -2 ^ {64} -1}$
• p-224 ${ displaystyle 2 ^ {224} -2 ^ {96} +1}$
• p-256 ${ displaystyle 2 ^ {256} -2 ^ {224} + 2 ^ {192} + 2 ^ {96} -1}$
• p-384 ${ displaystyle 2 ^ {384} -2 ^ {128} -2 ^ {96} + 2 ^ {32} -1}$

Křivka448 používá solinas prime ${ displaystyle 2 ^ {448} -2 ^ {224} -1}$

Viz také

• Mersenne prime

Reference