Riesel číslo - Riesel number
v matematika, a Riesel číslo je zvláštní přirozené číslo k pro který je kompozitní pro všechna přirozená čísla n (sekvence A101036 v OEIS ). Jinými slovy, kdy k je číslo Riesel, všichni členové následujících soubor jsou složené:
Pokud je místo toho formulář , pak k je Sierpinského číslo.
Rieselův problém
![]() | Nevyřešený problém v matematice: Je 509 203 nejmenší číslo Riesel? (více nevyřešených úloh z matematiky) |
V roce 1956 Hans Riesel ukázal, že existují nekonečný počet celých čísel k takhle není primární pro jakékoli celé číslon. Ukázal, že číslo 509203 má tuto vlastnost, stejně jako 509203 plus jakékoli kladné celé číslo násobek 11184810.[1] The Rieselův problém spočívá v určení nejmenšího čísla Riesel. Protože ne krycí sada byl nalezen pro všechny k méně než 509203, to je domnělý být nejmenší Riesel číslo.
Zkontrolovat, zda existují k <509203, Projekt Riesel Sieve (analogicky k Sedmnáct nebo Busta pro Sierpinski čísla ) začalo 101 kandidáty k. V květnu 2018 z toho 52 k byl odstraněn Riesel Sieve, PrimeGrid nebo vnější osoby.[2] Zbývajících 49 hodnot k které přinesly pouze složená čísla pro všechny hodnoty n dosud testovány jsou
- 2293, 9221, 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 93839, 97139, 107347, 121889, 129007, 143047, 161669, 192971, 206039, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743.
Poslední eliminace byla v listopadu 2020, kdy 146561 × 211280802 - PrimeGrid zjistil, že 1 je hlavní. Toto číslo má 3 395 865 číslic.[3]
V únoru 2020 PrimeGrid prohledal zbývající kandidáty až n = 10,000,000.[4]
Známá čísla Riesel
Pořadí aktuálně známý Čísla Riesel začínají:
- 509203, 762701, 777149, 790841, 992077, 1106681, 1247173, 1254341, 1330207, 1330319, 1715053, 1730653, 1730681, 1744117, 1830187, 1976473, 2136283, 2251349, 2313487, 2344211, 25548 A101036 v OEIS )
Krycí sada
Číslo lze ukázat jako číslo Riesel vystavením a krycí sada: sada prvočísel, která rozdělí libovolného člena sekvence, tzv. protože se říká, že tuto sekvenci „pokrývá“. Jediné osvědčené počty Rieselů pod milionem mají následující krycí sady:
- má krycí sadu {3, 5, 7, 13, 17, 241}
- má krycí sadu {3, 5, 7, 13, 17, 241}
- má krycí sadu {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
- má krycí sadu {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
- má krycí sadu {3, 5, 7, 13, 17, 241}.
Nejmenší n pro který k · 2n - 1 je hlavní
Tady je sekvence pro k = 1, 2, .... Je definována takto: je nejmenší n ≥ 0 takové, že je prvočíslo nebo -1, pokud takové prvočíslo neexistuje.
- 2, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 3, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 4, 0, 3, 2, 1, 3, 4, 0, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 3, 1, 2, 0, 7, 0, 1, 3, 4, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 3, 12, 0, 3, 0, 2, 1, 4, 1, 5, 0, 1, 1, 2, 0, 7, 0, 1, ... (sekvence A040081 v OEIS ). První neznámý n je k tomu k = 2293.
Související sekvence jsou OEIS: A050412 (nepovoleno n = 0), pro liché ks, viz OEIS: A046069 nebo OEIS: A108129 (nepovoleno n = 0)
Současně Riesel a Sierpiński
Řada může být současně Riesel a Sierpiński. Říká se jim Brierova čísla. Nejmenší pět známých příkladů je 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949, ... (A076335 ).[5]
Problém dvojí Riesel
The duální čísla Riesel jsou definována jako lichá přirozená čísla k takové, že | 2n - k| je složený pro všechna přirozená čísla n. Existuje domněnka, že množina těchto čísel je stejná jako množina Riesellových čísel. Například | 2n - 509203 | je složený pro všechna přirozená čísla na 509203 se předpokládá, že je nejmenším dvojitým Rieslovým číslem.
Nejmenší n který 2n - k je prime jsou (pro liché ks, a tato sekvence vyžaduje, aby 2n > k)
- 2, 3, 3, 39, 4, 4, 4, 5, 6, 5, 5, 6, 5, 5, 5, 7, 6, 6, 11, 7, 6, 29, 6, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 6, 6, 8, 8, 7, 7, 10, 9, 7, 8, 9, 7, 8, 7, 7, 8, 7, 8, 10, 7, 7, 26, 9, 7, 8, 7, 7, 10, 7, 7, 8, 7, 7, 7, 47, 8, 14, 9, 11, 10, 9, 10, 8, 9, 8, 8, ... (sekvence A096502 v OEIS )
Divný ks kterým k - 2n jsou všechny složené pro všechny 2n < k (dále jen čísla de Polignac) jsou
- 1, 127, 149, 251, 331, 337, 373, 509, 599, 701, 757, 809, 877, 905, 907, 959, 977, 997, 1019, 1087, 1199, 1207, 1211, 1243, 1259, 1271, 1477, ... (sekvence A006285 v OEIS )
Neznámé hodnoty[je zapotřebí objasnění ] z ks jsou (pro které 2n > k)
- 1871, 2293, 25229, 31511, 36971, 47107, 48959, 50171, 56351, 63431, 69427, 75989, 81253, 83381, 84491, ...
Riesel číselná základna b
Dá se zobecnit Rieselův problém na celočíselnou základnu b ≥ 2. A Riesel číselná základna b je kladné celé číslo k takhle gcd (k − 1, b - 1) = 1. (pokud je gcd (k − 1, b - 1)> 1, pak gcd (k − 1, b - 1) je triviální faktor k×bn - 1 (Definice triviálních faktorů pro domněnky: Každý n-hodnota má stejný faktor))[6][7] Pro každé celé číslo b ≥ 2, existuje nekonečně mnoho čísel Riesel čísel b.
Příklad 1: Všechna čísla shodná s 84687 mod 10124569 a neodpovídající 1 mod 5 jsou Rieslova čísla základna 6, kvůli krycí sadě {7, 13, 31, 37, 97}. Kromě toho k nejsou triviální, protože gcd (k + 1, 6 - 1) = 1 pro tyto k. (Domněnka základny Riesel 6 není prokázána, zbývají 3 ka to 1597, 9582 a 57492)
Příklad 2: 6 je Rieselovo číslo pro všechny báze b shodný s 34 mod 35, protože pokud b je shodný s 34 mod 35, pak 6 ×bn - 1 je dělitelné 5 pro všechny sudé n a dělitelné 7 pro všechny liché n. Kromě toho 6 není triviální k v těchto základnách b od gcd (6 - 1, b - 1) = 1 pro tyto báze b.
Příklad 3: Všechny čtverce k shodné s 12 mod 13 a ne shodné s 1 mod 11 jsou čísla Riesel čísel 12, protože pro všechny takové k, k×12n - 1 má algebraické faktory pro všechny sudé n a dělitelné 13 pro všechny liché n. Kromě toho k nejsou triviální, protože gcd (k + 1, 12 - 1) = 1 pro tyto k. (Domněnka o základu Riesel 12 je prokázána)
Příklad 4: Pokud k je tedy mezi násobkem 5 a násobkem 11 k×109n - 1 je dělitelná 5 nebo 11 pro všechna kladná celá čísla n. Prvních pár takových k jsou 21, 34, 76, 89, 131, 144, ... Nicméně, všechny tyto k <144 je také triviálních k (tj. gcd (k - 1, 109 - 1) není 1). Nejmenší základna Rieslova čísla 109 je tedy 144. (Domněnka základny Riesel 109 není prokázána, má jednu zbývající ka sice 84)
Příklad 5: Pokud k je tedy čtverec k×49n - 1 má algebraické faktory pro všechna kladná celá čísla n. Prvních několik kladných čtverců je 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... Nicméně, všechny tyto k <36 jsou také triviální k (tj. gcd (k - 1, 49 - 1) není 1). Nejmenší základna Rieslova čísla 49 je tedy 36. (je prokázána domněnka základny Riesel 49)
Chceme najít a ověřit nejmenší číselnou základnu Riesel b pro každé celé číslo b ≥ 2. Existuje domněnka, že pokud k je číselná základna Riesel b, pak platí alespoň jedna ze tří podmínek:
- Všechna čísla formuláře k×bn - 1 má faktor v nějaké krycí sadě. (Například, b = 22, k = 4461, pak všechna čísla formuláře k×bn - 1 má faktor v krycí sadě: {5, 23, 97})
- k×bn - 1 má algebraické faktory. (Například, b = 9, k = Tedy 4 k×bn - 1 lze započítat do (2 × 3n − 1) × (2×3n + 1))
- Pro některé n, čísla formuláře k×bn - 1 má faktor v nějaké krycí sadě; a pro všechny ostatní n, k×bn - 1 má algebraické faktory. (Například, b = 19, k = 144, pak pokud n je tedy zvláštní k×bn - 1 je dělitelné 5, pokud n je tedy vyrovnaný k×bn - 1 lze započítat do (12 × 19n/2 − 1) × (12×19n/2 + 1))
V následujícím seznamu vezmeme v úvahu pouze ta pozitivní celá čísla k takový, že gcd (k − 1, b - 1) = 1 a celé číslo n musí být ≥ 1.
Poznámka: k-hodnoty, které jsou násobkem b a kde k−1 není prvočíslo, jsou zahrnuty v dohadech (a jsou zahrnuty ve zbývajících k s Červené barva, pokud pro ně nejsou známy žádné prvočísla k-hodnoty), ale vyloučeny z testování (Tedy, nikdy ne k „největší 5 nalezených prvočísel“), protože takové k-hodnoty budou mít stejné prvočíslo jako k / b.
b | domnělý nejmenší Riesel k | pokrývající množinu / algebraické faktory | zbývající k bez známých prvočísel (červená označuje k-hodnoty, které jsou násobkem b a k−1 není prvočíslo) | počet zbývajících k bez známých prvočísel (kromě červené ks) | testovací limit n (kromě červené ks) | nalezeno 5 hlavních prvočísel (kromě červené ks) |
2 | 509203 | {3, 5, 7, 13, 17, 241} | 2293, 4586, 9172, 9221, 18344, 18442, 23669, 31859, 36688, 36884, 38473, 46663, 47338, 63718, 67117, 73376, 73768, 74699, 76946, 81041, 93326, 93839, 94676, 97139, 107347, 121889, 127436, 129007, 134234, 143047, 146561, 146752, 147536, 149398, 153892, 161669, 162082, 186652, 187678, 189352, 192971, 194278, 206039, 206231, 214694, 215443, 226153, 234343, 243778, 245561, 250027, 254872, 258014, 268468, 286094, 293122, 293504, 295072, 298796, 307784, 315929, 319511, 323338, 324011, 324164, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 351134, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 373304, 375356, 378704, 384539, 385942, 386801, 388556, 397027, 409753, 412078, 412462, 429388, 430886, 444637, 452306, 468686, 470173, 474491, 477583, 478214, 485557, 487556, 491122, 494743, 500054 | 49 | k = 351134 a 478214 v n = 4,7 mil. k = 342847 a 444637 v n = 10 mil. PrimeGrid právě hledá všechny ostatní ks ve společnosti n > 8,9 mil | 273809×28932416-1[8] 502573×27181987−1 402539×27173024−1 40597×26808509−1 304207×26643565−1 |
3 | 63064644938 | {5, 7, 13, 17, 19, 37, 41, 193, 757} | 3677878, 6793112, 10463066, 10789522, 11033634, 16874152, 18137648, 20379336, 21368582, 29140796, 31064666, 31389198, 32368566, 33100902, 38394682, 40175404, 40396658, 50622456, 51672206, 52072432, 54412944, 56244334, 59077924, 59254534, 61138008, 62126002, 62402206, 64105746, 65337866, 71248336, 87422388, 88126834, 93193998, 94167594, 94210372, 97105698, 97621124, 99302706, ... | 150322 | k = 3677878 v n = 5M, 4M < k ≤ 2,147 G při n = 900 K, 2,147 G < k ≤ 6 G při n = 500K, 6G < k ≤ 10 G při n = 225 tis., 10 G < k ≤ 25 G při n = 100K, 25G < k ≤ 55 G při n = 50K, 55G < k ≤ 60 G při n = 100K, 60G < k ≤ 63 G při n = 50 tis., k > 63 G při n = 500 tis | 756721382×3899698−1 1552470604×3896735−1 698408584×3891823−1 1237115746×3879941−1 10691528×3877546−1 |
4 | 9 | 9×4n − 1 = (3×2n − 1) × (3×2n + 1) | žádný (prokázáno) | 0 | − | 8×41−1 6×41−1 5×41−1 3×41−1 2×41−1 |
5 | 346802 | {3, 7, 13, 31, 601} | 3622, 4906, 18110, 23906, 24530, 26222, 35248, 52922, 63838, 64598, 68132, 71146, 76354, 81134, 88444, 90550, 92936, 102818, 102952, 109238, 109862, 119530, 122650, 127174, 131110, 131848, 134266, 136804, 143632, 145462, 145484, 146756, 147844, 151042, 152428, 154844, 159388, 164852, 170386, 170908, 176240, 177742, 179080, 182398, 187916, 189766, 190334, 195872, 201778, 204394, 206894, 213988, 231674, 239062, 239342, 246238, 248546, 259072, 264610, 265702, 267298, 271162, 273662, 285598, 285728, 298442, 304004, 313126, 318278, 319190, 322498, 322990, 325922, 335414, 338866, 340660 | 62 | PrimeGrid aktuálně testuje na n> 3M | 109838×53168862-1[9] 207494×53017502-1[10] |
6 | 84687 | {7, 13, 31, 37, 97} | 1597, 9582, 57492 | 1 | 5 mil | 36772×61723287−1 43994×6569498−1 77743×6560745−1 51017×6528803−1 57023×6483561−1 |
7 | 408034255082 | {5, 13, 19, 43, 73, 181, 193, 1201} | 315768, 1356018, 1620198, 2096676, 2210376, 2494112, 2539898, 2631672, 3423408, 3531018, 3587876, 3885264, 4322834, 4326672, 4363418, 4382984, 4635222, 4780002, 4870566, 4990788, 5119538, 5333174, 5529368, 5646066, 6279074, 6463028, 6544614, 6597704, 7030248, 7115634, 7320606, 7446728, 7553594, 8057622, 8354966, 8389476, 8640204, 8733908, 8737902, 9012942, 9492126, 9761156, 9829784, 9871172, ... | 8391 ks ≤ 500 mil | k ≤ 2M při n = 350 tis., 2 mil. < k ≤ 110 M při n = 150 tis., 110 mil. < k ≤ 500 M při n = 25 tis | 328226×7298243−1 623264×7240060−1 1365816×7232094−1 839022×7190538−1 29142942×7149201−1 |
8 | 14 | {3, 5, 13} | žádný (prokázáno) | 0 | − | 11×818−1 5×84−1 12×83−1 7×83−1 2×82−1 |
9 | 4 | 4×9n − 1 = (2×3n − 1) × (2×3n + 1) | žádný (prokázáno) | 0 | − | 2×91−1 |
10 | 10176 | {7, 11, 13, 37} | 4421 | 1 | 1,72 mil | 7019×10881309−1 8579×10373260−1 6665×1060248−1 1935×1051836−1 1803×1045882−1 |
11 | 862 | {3, 7, 19, 37} | žádný (prokázáno) | 0 | − | 62×1126202−1 308×11444−1 172×11187−1 284×11186−1 518×1178−1 |
12 | 25 | {13} pro liché n, 25×12n − 1 = (5×12n/2 − 1) × (5×12n/2 + 1) pro sudé n | žádný (prokázáno) | 0 | − | 24×124−1 18×122−1 17×122−1 13×122−1 10×122−1 |
13 | 302 | {5, 7, 17} | žádný (prokázáno) | 0 | − | 288×13109217−1 146×1330−1 92×1323−1 102×1320−1 300×1310−1 |
14 | 4 | {3, 5} | žádný (prokázáno) | 0 | − | 2×144−1 3×141−1 |
15 | 36370321851498 | {13, 17, 113, 211, 241, 1489, 3877} | 381714, 3347624, 3889018, 4242104, 4502952, 5149158, 5237186, 5255502, 5725710, 5854146, 7256276, 8524154, 9105446, 9535278, 9756404, ... | 14 ks ≤ 10 mil | k ≤ 10M při n = 200 tis | 937474×15195209−1 9997886×15180302−1 8168814×15158596−1 300870×15156608−1 940130×15147006−1 |
16 | 9 | 9×16n − 1 = (3×4n − 1) × (3×4n + 1) | žádný (prokázáno) | 0 | − | 8×161−1 5×161−1 3×161−1 2×161−1 |
17 | 86 | {3, 5, 29} | žádný (prokázáno) | 0 | − | 44×176488−1 36×17243−1 10×17117−1 26×17110−1 58×1735−1 |
18 | 246 | {5, 13, 19} | žádný (prokázáno) | 0 | − | 151×18418−1 78×18172−1 50×18110−1 79×1863−1 237×1844−1 |
19 | 144 | {5} pro liché n, 144×19n − 1 = (12×19n/2 − 1) × (12×19n/2 + 1) pro sudé n | žádný (prokázáno) | 0 | − | 134×19202−1 104×1918−1 38×1911−1 128×1910−1 108×196−1 |
20 | 8 | {3, 7} | žádný (prokázáno) | 0 | − | 2×2010−1 6×202−1 5×202−1 7×201−1 3×201−1 |
21 | 560 | {11, 13, 17} | žádný (prokázáno) | 0 | − | 64×212867−1 494×21978−1 154×21103−1 84×2188−1 142×2148−1 |
22 | 4461 | {5, 23, 97} | 3656 | 1 | 2M | 3104×22161188−1 4001×2236614−1 2853×2227975−1 1013×2226067−1 4118×2212347−1 |
23 | 476 | {3, 5, 53} | 404 | 1 | 1,35 mil | 194×23211140−1 134×2327932−1 394×2320169−1 314×2317268−1 464×237548−1 |
24 | 4 | {5} pro liché n, 4×24n − 1 = (2×24n/2 − 1) × (2×24n/2 + 1) pro sudé n | žádný (prokázáno) | 0 | − | 3×241−1 2×241−1 |
25 | 36 | 36×25n − 1 = (6×5n − 1) × (6×5n + 1) | žádný (prokázáno) | 0 | − | 32×254−1 30×252−1 26×252−1 12×252−1 2×252−1 |
26 | 149 | {3, 7, 31, 37} | žádný (prokázáno) | 0 | − | 115×26520277−1 32×269812−1 73×26537−1 80×26382−1 128×26300−1 |
27 | 8 | 8×27n − 1 = (2×3n − 1) × (4×9n + 2×3n + 1) | žádný (prokázáno) | 0 | − | 6×272−1 4×271−1 2×271−1 |
28 | 144 | {29} pro liché n, 144×28n − 1 = (12×28n/2 − 1) × (12×28n/2 + 1) pro sudé n | žádný (prokázáno) | 0 | − | 107×2874−1 122×2871−1 101×2853−1 14×2847−1 90×2836−1 |
29 | 4 | {3, 5} | žádný (prokázáno) | 0 | − | 2×29136−1 |
30 | 1369 | {7, 13, 19} pro liché n, 1369×30n − 1 = (37×30n/2 − 1) × (37×30n/2 + 1) pro sudé n | 659, 1024 | 2 | 500 tis | 239×30337990−1 249×30199355−1 225×30158755−1 774×30148344−1 25×3034205−1 |
31 | 134718 | {7, 13, 19, 37, 331} | 6962, 55758 | 2 | 1M | 126072×31374323−1 43902×31251859−1 55940×31197599−1 101022×31133208−1 37328×31129973−1 |
32 | 10 | {3, 11} | žádný (prokázáno) | 0 | − | 3×3211−1 2×326−1 9×323−1 8×322−1 5×322−1 |
Vymyslená nejmenší číselná základna Riesel n jsou (začněte n = 2)
- 509203, 63064644938, 9, 346802, 84687, 408034255082, 14, 4, 10176, 862, 25, 302, 4, 36370321851498, 9, 86, 246, 144, 8, 560, 4461, 476, 4, 36, 149, 8, 144, 4, 1369, 134718, 10, 16, 6, 287860, 4, 7772, 13, 4, 81, 8, 15137, 672, 4, 22564, 8177, 14, 3226, 36, 16, 64, 900, 5392, 4, 6852, 20, 144, 105788, 4, 121, 13484, 8, 187258666, 9, ... (sekvence A273987 v OEIS )
Viz také
Reference
- ^ Riesel, Hans (1956). "Några stora primtal". Elementa. 39: 258–260.
- ^ „Statistika problému s Rieselem“. PrimeGrid.
- ^ Brown, Scott (25. listopadu 2020). „TRP Mega Prime!“. PrimeGrid. Citováno 26. listopadu 2020.
- ^ „Statistika problému s Rieselem“. PrimeGrid. Citováno 22. března 2020.
- ^ „Problém 29. - Brierova čísla“.
- ^ „Riesel dohady a důkazy“.
- ^ „Riesel dohady a důkazy o síle 2“.
- ^ „TRP Mega Prime!“. www.primegrid.com.
- ^ Brown, Scott (20. srpna 2020). „SR5 Mega Prime!“. PrimeGrid. Citováno 21. srpna 2020.
- ^ Brown, Scott (31. března 2020). „A další SR5 Mega Prime!“. PrimeGrid. Citováno 1. dubna 2020.
- ^ Brown, Scott (31. března 2020). „Další SR5 Mega Prime!“. PrimeGrid. Citováno 1. dubna 2020.
- ^ Brown, Scott (31. března 2020). „SR5 Mega Prime!“. PrimeGrid. Citováno 1. dubna 2020.
- ^ Brown, Scott (11. března 2020). „SR5 Mega Prime!“. PrimeGrid. Citováno 11. března 2020.
Zdroje
- Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel. Berlín: Springer-Verlag. p. 120. ISBN 0-387-20860-7.
- Ribenboim, Paulo (1996). Nová kniha rekordů prvočísel. New York: Springer-Verlag. str.357 –358. ISBN 0-387-94457-5.