Leonardovo číslo - Leonardo number

tento článek příliš spoléhá na Reference na primární zdroje. Vylepšete to přidáním sekundární nebo terciární zdroje. (Července 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Leonardova čísla jsou posloupností čísel daných opakováním:

${displaystyle L (n) = {egin {cases} 1 & {mbox {if}} n = 0 1 & {mbox {if}} n = 1 L (n-1) + L (n-2) + 1 & { mbox {if}} n> 1 end {cases}}}$

Edsger W. Dijkstra^[1] použil je jako jeho nedílnou součást smoothsort algoritmus,^[2] a také je podrobně analyzoval.^[3]

Hodnoty

Prvních pár Leonardových čísel je

${displaystyle 1; 1; 3; 5; 9; 15; 25; 41; 67; 109; 177; 287; 465; 753; 1219; 1973; 3193;; 5167;; 8361, ldots}$ (sekvence A001595 v OEIS )

Vztah k Fibonacciho číslům

Čísla Leonarda se vztahují k Fibonacciho čísla vztahem ${displaystyle L (n) = 2F (n + 1) -1, ngeq 0}$.

Z tohoto vztahu je přímé odvodit a uzavřený výraz pro čísla Leonardo, analogická s Binetovým vzorcem pro čísla Fibonacci:

${displaystyle L (n) = 2 {frac {varphi ^ {n + 1} -psi ^ {n + 1}} {varphi -psi}} - 1 = {frac {2} {sqrt {5}}} vlevo ( varphi ^ {n + 1} -psi ^ {n + 1} vpravo) -1 = 2F (n + 1) -1}$

Kde Zlatý řez ${displaystyle varphi = left (1+ {sqrt {5}} ight) / 2}$ a ${displaystyle psi = left (1- {sqrt {5}} ight) / 2}$ jsou kořeny kvadratický polynom ${displaystyle x ^ {2} -x-1 = 0}$.

Reference

externí odkazy

• OEIS sekvence A001595