Perfektní digitální invariant - Perfect digital invariant

v teorie čísel, a perfektní digitální invariant (PDI) je číslo dané číselná základna ${ displaystyle b}$ to je součet vlastních číslic, z nichž každá je zvýšena na danou hodnotu Napájení ${ displaystyle p}$ .^[1]^[2]

Definice

Nechat ${ displaystyle n}$ být přirozené číslo. Definujeme perfektní digitální invariantní funkce (také známý jako šťastná funkce, z šťastná čísla ) pro základnu ${ displaystyle b> 1}$ a moc ${ displaystyle p> 0}$ ${ displaystyle F_ {p, b}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ být následující:

{ displaystyle F_ {p, b} (n) = součet _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} ^ {p}.}

kde ${ displaystyle k = lfloor log _ {b} {n} rfloor +1}$ je počet číslic v čísle v základně ${ displaystyle b}$ , a

{ displaystyle d_ {i} = { frac {n { bmod {b ^ {i + 1}}} - n { bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

je hodnota každé číslice čísla. Přirozené číslo ${ displaystyle n}$ je perfektní digitální invariant pokud je to pevný bod pro ${ displaystyle F_ {p, b}}$ , který nastane, pokud ${ displaystyle F_ {p, b} (n) = n}$ . ${ displaystyle 0}$ a ${ displaystyle 1}$ jsou triviální dokonalé digitální invarianty pro všechny ${ displaystyle b}$ a ${ displaystyle p}$ , všechny ostatní dokonalé digitální invarianty jsou netriviální dokonalé digitální invarianty.

Například číslo 4150 v základně ${ displaystyle b = 10}$ je perfektní digitální invariant s ${ displaystyle p = 5}$ , protože ${ displaystyle 4150 = 4 ^ {5} + 1 ^ {5} + 5 ^ {5} + 0 ^ {5}}$ .

Přirozené číslo ${ displaystyle n}$ je společenský digitální invariant pokud je to periodický bod pro ${ displaystyle F_ {p, b}}$ , kde ${ displaystyle F_ {p, b} ^ {k} (n) = n}$ pro pozitivní celé číslo ${ displaystyle k}$ (tady ${ displaystyle F_ {p, b} ^ {k}}$ je ${ displaystyle k}$ th opakovat z ${ displaystyle F_ {p, b}}$ ), a tvoří a cyklus období ${ displaystyle k}$ . Perfektní digitální invariant je společenský digitální invariant s ${ displaystyle k = 1}$ a přátelský digitální invariant je společenský digitální invariant s ${ displaystyle k = 2}$ .

Všechna přirozená čísla ${ displaystyle n}$ jsou preperiodické body pro ${ displaystyle F_ {p, b}}$ , bez ohledu na základnu. Je to proto, že pokud ${ displaystyle k geq p + 2}$ , ${ displaystyle n geq b ^ {k-1}> b ^ {p} k}$ , takže jakýkoli ${ displaystyle n}$ uspokojí ${ displaystyle n> F_ {b, p} (n)}$ dokud ${ displaystyle n$ . Existuje konečný počet přirozených čísel menší než ${ displaystyle b ^ {p + 1}}$ , takže počet zaručeně dosáhne periodického bodu nebo pevného bodu menšího než ${ displaystyle b ^ {p + 1}}$ , což z něj činí preperiodický bod.

Čísla v základně ${ displaystyle b> p}$ vést k pevným nebo periodickým číselným bodům ${ displaystyle n leq (p-2) ^ {p} + p (b-1) ^ {p}}$ .

Důkaz —
Li ${ displaystyle b> p}$ , pak ${ displaystyle n$ vázané lze snížit ${ displaystyle r}$ je číslo, pro které je součet čtverců číslic největší z čísel menších než ${ displaystyle b ^ {p}}$ .
${ displaystyle r = b ^ {p} -1 = součet _ {t = 0} ^ {p} (b-1) b ^ {t}}$
${ displaystyle F_ {p, b} (r) = (p + 1) (b-1) ^ {p} <(p + 1) b ^ {p} leq b ^ {p + 1}}$ protože ${ displaystyle b geq (p + 1)}$
Nechat ${ displaystyle s}$ je číslo, pro které je součet čtverců číslic největší z čísel menších než ${ displaystyle (p + 1) (b-1) ^ {p}}$ .
${ displaystyle s = (p + 1) b ^ {p} -1 = pb ^ {p} + součet _ {t = 0} ^ {p-1} (b-1) b ^ {t}}$
${ displaystyle F_ {p, b} (s) = p ^ {p} + p (b-1) ^ {p}$ protože ${ displaystyle b geq p}$
Nechat ${ displaystyle t}$ je číslo, pro které je součet čtverců číslic největší z čísel menších než ${ displaystyle pb ^ {p}}$ .
${ displaystyle t = (p-1) b ^ {p} + součet _ {t = 0} ^ {p-1} (b-1) b ^ {t}}$
${ displaystyle F_ {p, b} (t) = (p-1) ^ {p} + p (b-1) ^ {p}}$
Nechat ${ displaystyle u}$ je číslo, pro které je součet čtverců číslic největší z čísel menších než ${ displaystyle F_ {p, b} (t) +1}$ .
${ displaystyle u = (p-2) b ^ {p} + součet _ {t = 0} ^ {p-1} (b-1) b ^ {t}}$
${ displaystyle F_ {p, b} (u) = (p-2) ^ {p} + p (b-1) ^ {p} <(p-1) ^ {p} + p (b-1) ^ {p} = n _ { ell +1}}$
${ displaystyle u leq F_ {p, b} (u)$ . Tedy čísla v základu ${ displaystyle b> p}$ vést k cyklům nebo pevným bodům čísel ${ displaystyle n leq F_ {p, b} (u) = (p-1) ^ {p} + p (b-1) ^ {p}}$ .

Počet iterací ${ displaystyle i}$ potřebné pro ${ displaystyle F_ {p, b} ^ {i} (n)}$ dosažení pevného bodu je perfektní digitální invariantní funkce vytrvalost z ${ displaystyle n}$ , a nedefinováno, pokud nikdy nedosáhne pevného bodu.

${ displaystyle F_ {1, b}}$ je součet číslic. Jedinými dokonalými digitálními invarianty jsou jednociferná čísla v základně ${ displaystyle b}$ a neexistují žádné periodické body s hlavní dobou větší než 1.

${ displaystyle F_ {p, 2}}$ snižuje na ${ displaystyle F_ {1,2}}$ , stejně jako u jakékoli síly ${ displaystyle p}$ , ${ displaystyle 0 ^ {p} = 0}$ a ${ displaystyle 1 ^ {p} = 1}$ .

Pro každé přirozené číslo ${ displaystyle k> 1}$ , pokud ${ displaystyle p$ , ${ displaystyle (b-1) equiv 0 { bmod {k}}}$ a ${ displaystyle (p-1) equiv 0 { bmod { phi}} (k)}$ , pak pro každé přirozené číslo ${ displaystyle n}$ , pokud ${ displaystyle n equiv m { bmod {k}}}$ , pak ${ displaystyle F_ {p, b} (n) equiv m { bmod {k}}}$ , kde ${ displaystyle phi (k)}$ je Eulerova totientová funkce.

Důkaz —
Nechat
${ displaystyle n = suma _ {i = 0} ^ {j} d_ {i} b ^ {i}}$
být přirozené číslo s ${ displaystyle j}$ číslice, kde ${ displaystyle 0 leq d_ {i}$ , a ${ displaystyle (b-1) equiv 0 { bmod {k}}}$ , kde ${ displaystyle k}$ je přirozené číslo větší než 1.
Podle pravidla dělitelnosti základny ${ displaystyle b}$ , pokud ${ displaystyle b-1 equiv 0 { bmod {k}}}$ , pak pokud ${ displaystyle n equiv m { bmod {k}}}$ , pak součet číslic
${ displaystyle F_ {1, b} (n) = součet _ {i = 0} ^ {j} d_ {i} ekviv m { bmod {k}}}$
Pokud číslice ${ displaystyle d_ {i} equiv m { bmod {k}}}$ , pak ${ displaystyle d_ {i} ^ {p} equiv m ^ {p} { bmod {k}}}$ . Podle Eulerova věta, pokud ${ displaystyle (p-1) equiv 0 { bmod { phi}} (k)}$ , ${ displaystyle m ^ {p} { bmod {k}} = m { bmod {k}}}$ . Pokud tedy součet číslic ${ displaystyle F_ {1, b} (n) equiv m { bmod {k}}}$ , pak ${ displaystyle F_ {p, b} (n) equiv m { bmod {k}}}$ .
Proto pro jakékoli přirozené číslo ${ displaystyle k}$ , pokud ${ displaystyle p$ , ${ displaystyle (b-1) equiv 0 { bmod {k}}}$ a ${ displaystyle (p-1) equiv 0 { bmod { phi}} (k)}$ , pak pro každé přirozené číslo ${ displaystyle n}$ , pokud ${ displaystyle n equiv m { bmod {k}}}$ , pak ${ displaystyle F_ {p, b} (n) equiv m { bmod {k}}}$ .

Pro velikost dokonalých digitálních invariantů v dané základně a libovolnou mocnost nelze určit horní hranici a v současné době není známo, zda je počet dokonalých digitálních invariantů pro libovolnou základnu konečný nebo nekonečný.^[1]

Perfektní digitální invarianty F_2,b

Podle definice jakýkoli třímístný dokonalý digitální invariant ${ displaystyle n = d_ {2} d_ {1} d_ {0}}$ pro ${ displaystyle F_ {2, b}}$ s přirozenými číslicemi ${ displaystyle 0 leq d_ {0}$ , ${ displaystyle 0 leq d_ {1}$ , ${ displaystyle 0 leq d_ {2}$ musí uspokojit krychlový Diophantine rovnice ${ displaystyle d_ {0} ^ {2} + d_ {1} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0} }$ . Nicméně, ${ displaystyle d_ {2}}$ musí být rovno 0 nebo 1 pro libovolný ${ displaystyle b> 2}$ , protože maximální hodnota ${ displaystyle n}$ může vzít je ${ displaystyle n = (2-1) ^ {2} +2 (b-1) ^ {2} = 1 + 2 (b-1) ^ {2} <2b ^ {2}}$ . Výsledkem je, že ve skutečnosti existují dva související kvadratický Diophantine rovnice k řešení:

${ displaystyle d_ {0} ^ {2} + d_ {1} ^ {2} = d_ {1} b + d_ {0}}$ když ${ displaystyle d_ {2} = 0}$ , a

${ displaystyle d_ {0} ^ {2} + d_ {1} ^ {2} + 1 = b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ když ${ displaystyle d_ {2} = 1}$ .

Dvoumístné přirozené číslo ${ displaystyle n = d_ {1} d_ {0}}$ je v základu dokonalý digitální invariant

${ displaystyle b = d_ {1} + { frac {d_ {0} (d_ {0} -1)} {d_ {1}}}.}$

To lze dokázat tím, že vezmeme první případ, kde ${ displaystyle d_ {2} = 0}$ a řešení pro ${ displaystyle b}$ . To znamená, že pro některé hodnoty ${ displaystyle d_ {0}}$ a ${ displaystyle d_ {1}}$ , ${ displaystyle n}$ není dokonalý digitální invariant v žádné základně, jako ${ displaystyle d_ {1}}$ není dělitel z ${ displaystyle d_ {0} (d_ {0} -1)}$ . Navíc, ${ displaystyle d_ {0}> 1}$ , protože jestli ${ displaystyle d_ {0} = 0}$ nebo ${ displaystyle d_ {0} = 1}$ , pak ${ displaystyle b = d_ {1}}$ , což je v rozporu s dřívějším tvrzením, že ${ displaystyle 0 leq d_ {1}$ .

Neexistují žádné tříciferné dokonalé digitální invarianty ${ displaystyle F_ {2, b}}$ , což lze dokázat tím, že vezmeme druhý případ, kde ${ displaystyle d_ {2} = 1}$ a nechat ${ displaystyle d_ {0} = b-a_ {0}}$ a ${ displaystyle d_ {1} = b-a_ {1}}$ . Pak se stane diofantická rovnice pro třímístný dokonalý digitální invariant

${ displaystyle (b-a_ {0}) ^ {2} + (b-a_ {1}) ^ {2} + 1 = b ^ {2} + (b-a_ {1}) b + (b-a_ {0})}$

${ displaystyle b ^ {2} -2a_ {0} b + a_ {0} ^ {2} + b ^ {2} -2a_ {1} b + a_ {1} ^ {2} + 1 = b ^ { 2} + (b-a_ {1}) b + (b-a_ {0})}$

${ displaystyle 2b ^ {2} -2 (a_ {0} + a_ {1}) b + a_ {0} ^ {2} + a_ {1} ^ {2} + 1 = b ^ {2} + ( b-a_ {1}) b + (b-a_ {0})}$

${ displaystyle b ^ {2} + (b-2 (a_ {0} + a_ {1})) b + a_ {0} ^ {2} + a_ {1} ^ {2} + 1 = b ^ { 2} + (b-a_ {1}) b + (b-a_ {0})}$

Nicméně, ${ displaystyle 2 (a_ {0} + a_ {1})> a_ {1}}$ pro všechny hodnoty ${ displaystyle 0$ . Neexistují tedy žádná řešení pro diofantickou rovnici a neexistují žádné trojciferné dokonalé digitální invarianty pro ${ displaystyle F_ {2, b}}$ .

Perfektní digitální invarianty F_3,b

Po jednotě jsou jen čtyři čísla, což jsou součty kostek jejich číslic:
${ displaystyle 153 = 1 ^ {3} + 5 ^ {3} + 3 ^ {3}}$
${ displaystyle 370 = 3 ^ {3} + 7 ^ {3} + 0 ^ {3}}$
${ displaystyle 371 = 3 ^ {3} + 7 ^ {3} + 1 ^ {3}}$
${ displaystyle 407 = 4 ^ {3} + 0 ^ {3} + 7 ^ {3}.}$
Jedná se o podivná fakta, velmi vhodná pro logické sloupy a pravděpodobně pobaví amatéry, ale není v nich nic, co by matematika oslovilo. (sekvence A046197 v OEIS )
— G. H. Hardy, Matematikova omluva

Podle definice jakýkoli čtyřmístný dokonalý digitální invariant ${ displaystyle n}$ pro ${ displaystyle F_ {3, b}}$ s přirozenými číslicemi ${ displaystyle 0 leq d_ {0}$ , ${ displaystyle 0 leq d_ {1}$ , ${ displaystyle 0 leq d_ {2}$ , ${ displaystyle 0 leq d_ {3}$ musí uspokojit kvartální Diophantine rovnice ${ displaystyle d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} + d_ {3} ^ {3} = d_ {3} b ^ {3} + d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ . Nicméně, ${ displaystyle d_ {3}}$ musí být rovno 0, 1, 2 pro libovolný ${ displaystyle b> 3}$ , protože maximální hodnota ${ displaystyle n}$ může vzít je ${ displaystyle n = (3-2) ^ {3} +3 (b-1) ^ {3} = 1 + 3 (b-1) ^ {3} <3b ^ {3}}$ . Výsledkem je, že ve skutečnosti existují tři související krychlový Diophantine rovnice k řešení

${ displaystyle d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0} }$ když ${ displaystyle d_ {3} = 0}$

${ displaystyle d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} + 1 = b ^ {3} + d_ {2} b ^ {2} + d_ { 1} b + d_ {0}}$ když ${ displaystyle d_ {3} = 1}$

${ displaystyle d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} + 8 = 2b ^ {3} + d_ {2} b ^ {2} + d_ { 1} b + d_ {0}}$ když ${ displaystyle d_ {3} = 2}$

Vezmeme první případ, kde ${ displaystyle d_ {3} = 0}$ .

b = 3k + 1

Nechat ${ displaystyle k}$ být kladné celé číslo a číselná základna ${ displaystyle b = 3k + 1}$ . Pak:

${ displaystyle n_ {1} = kb ^ {2} + (2k + 1) b}$ je perfektní digitální invariant pro ${ displaystyle F_ {3, b}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$ .

Důkaz —
Nechte číslice ${ displaystyle n_ {1} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ být ${ displaystyle d_ {2} = k}$ , ${ displaystyle d_ {1} = 2k + 1}$ , a ${ displaystyle d_ {0} = 0}$ . Pak
${ displaystyle { begin {sladěno} F_ {3, b} (n_ {1}) & = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} & = k ^ {3} + (2k + 1) ^ {3} + 0 ^ {3} & = (k ^ {2} -k (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2 }) (k + (2k + 1)) & = (k ^ {2} -2k ^ {2} -k + 4k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1) & = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 1) & = (3k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) & = (k + 1) (3k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) & = k (3k + 1) (3k + 1) + (3k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) & = k (3k + 1) ^ {2} + (2k + 1) (3k + 1) +0 & = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0 } & = n_ {1} end {zarovnáno}}}$
Tím pádem ${ displaystyle n_ {1}}$ je perfektní digitální invariant pro ${ displaystyle F_ {3, b}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$ .

${ displaystyle n_ {2} = kb ^ {2} + (2k + 1) b + 1}$ je perfektní digitální invariant pro ${ displaystyle F_ {3, b}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$ .

Důkaz —
Nechte číslice ${ displaystyle n_ {2} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ být ${ displaystyle d_ {2} = k}$ , ${ displaystyle d_ {1} = 2k + 1}$ , a ${ displaystyle d_ {0} = 1}$ . Pak
${ displaystyle { begin {aligned} F_ {3, b} (n_ {2}) & = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} & = k ^ {3} + (2k + 1) ^ {3} + 1 ^ {3} & = (k ^ {2} -k (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2 }) (k + (2k + 1)) + 1 & = (k ^ {2} -2k ^ {2} -k + 4k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1) +1 & = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 1) +1 & = (3k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) +1 & = (k + 1) (3k + 1) (3k + 1) -k (3k + 1) +1 & = k (3k + 1) (3k + 1) + (3k + 1) (3k +1) -k (3k + 1) +1 & = k (3k + 1) ^ {2} + (2k + 1) (3k + 1) +1 & = d_ {2} b ^ { 2} + d_ {1} b + d_ {0} & = n_ {2} end {zarovnáno}}}$
Tím pádem ${ displaystyle n_ {2}}$ je perfektní digitální invariant pro ${ displaystyle F_ {3, b}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$ .

${ displaystyle n_ {3} = (k + 1) b ^ {2} + (2k + 1)}$ je perfektní digitální invariant pro ${ displaystyle F_ {3, b}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$ .

Důkaz —
Nechte číslice ${ displaystyle n_ {3} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ být ${ displaystyle d_ {2} = k + 1}$ , ${ displaystyle d_ {1} = 0}$ , a ${ displaystyle d_ {0} = 2k + 1}$ . Pak
${ displaystyle { begin {zarovnáno} F_ {3, b} (n_ {3}) & = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3} & = (k + 1) ^ {3} + 0 ^ {3} + (2k + 1) ^ {3} & = ((k + 1) ^ {2} - (k + 1) (2k +1) + (2k + 1) ^ {2}) ((k + 1) + (2k + 1)) & = ((k + 1) ^ {2} + k (2k + 1) (3k +2) & = (k ^ {2} + 2k + 1 + 2k ^ {2} + k) (3k + 2) & = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 2 ) & = (3k ^ {2} + 3k) (3k + 2) + (3k + 2) & = 3k (k + 1) (3k + 2) + (3k + 2) & = (k + 1) ((3k + 1) ^ {2} -1) + (3k + 2) & = (k + 1) (3k + 1) ^ {2} - (k + 1) + ( 3k + 2) & = (k + 1) (3k + 1) ^ {2} +0 (3k + 1) + (2k + 1) & = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0} & = n_ {3} end {zarovnáno}}}$
Tím pádem ${ displaystyle n_ {3}}$ je perfektní digitální invariant pro ${ displaystyle F_ {3, b}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$ .

Perfektní digitální invarianty
${ displaystyle k}$	${ displaystyle b}$	${ displaystyle n_ {1}}$	${ displaystyle n_ {2}}$	${ displaystyle n_ {3}}$
1	4	130	131	203
2	7	250	251	305
3	10	370	371	407
4	13	490	491	509
5	16	5B0	5B1	60B
6	19	6D0	6D1	70D
7	22	7F0	7F1	80F
8	25	8H0	8H1	90H
9	28	9J0	9J1	A0J

b = 3k + 2

Nechat ${ displaystyle k}$ být kladné celé číslo a číselná základna ${ displaystyle b = 3k + 2}$ . Pak:

${ displaystyle n_ {1} = kb ^ {2} + (2k + 1)}$ je perfektní digitální invariant pro ${ displaystyle F_ {3, b}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$ .

Důkaz —
Nechte číslice ${ displaystyle n_ {1} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ být ${ displaystyle d_ {2} = k}$ , ${ displaystyle d_ {1} = 2k + 1}$ , a ${ displaystyle d_ {0} = 0}$ . Pak
${ displaystyle F_ {3, b} (n_ {1}) = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3}}$
${ displaystyle = k ^ {3} + 0 ^ {3} + (2k + 1) ^ {3}}$
${ displaystyle = (k ^ {2} -k (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2}) (k + (2k + 1))}$
${ displaystyle = (k ^ {2} -2k ^ {2} -k + 4k ^ {2} + 4k + 1) (3k + 1)}$
${ displaystyle = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 1)}$
${ displaystyle = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 2) - (3k ^ {2} + 3k + 1)}$
${ displaystyle = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 2) - (3k ^ {2} + 2k + k + 1)}$
${ displaystyle = (3k ^ {2} + 3k + 1) (3k + 2) -k (3k + 2) - (k + 1)}$
${ displaystyle = (3k ^ {2} + 2k + 1) (3k + 2) - (k + 1)}$
${ displaystyle = (3k ^ {2} + 2k) (3k + 2) + (3k + 2) - (k + 1)}$
${ displaystyle = k (3k + 2) ^ {2} + (2k + 1)}$
${ displaystyle = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$
${ displaystyle = n_ {1}}$
Tím pádem ${ displaystyle n_ {1}}$ je perfektní digitální invariant pro ${ displaystyle F_ {3, b}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$ .

Perfektní digitální invarianty
${ displaystyle k}$	${ displaystyle b}$	${ displaystyle n_ {1}}$
1	5	103
2	8	205
3	11	307
4	14	409
5	17	50B
6	20	60D
7	23	70F
8	26	80H
9	29	90J

b = 6k + 4

Nechat ${ displaystyle k}$ být kladné celé číslo a číselná základna ${ displaystyle b = 6k + 4}$ . Pak:

${ displaystyle n_ {4} = kb ^ {2} + (3k + 2) b + (2k + 1)}$ je perfektní digitální invariant pro ${ displaystyle F_ {3, b}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$ .

Důkaz —
Nechte číslice ${ displaystyle n_ {4} = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$ být ${ displaystyle d_ {2} = k + 1}$ , ${ displaystyle d_ {1} = 3k + 2}$ , a ${ displaystyle d_ {0} = 2k + 1}$ . Pak
${ displaystyle F_ {3, b} (n_ {3}) = d_ {0} ^ {3} + d_ {1} ^ {3} + d_ {2} ^ {3}}$
${ displaystyle = (k) ^ {3} + (3k + 2) ^ {3} + (2k + 1) ^ {3}}$
${ displaystyle = k ^ {3} + ((3k + 2) ^ {2} - (3k + 2) (2k + 1) + (2k + 1) ^ {2}) ((3k + 2) + ( 2k + 1))}$
${ displaystyle = k ^ {3} + ((3k + 2) (k + 1) + (2k + 1) ^ {2}) (5k + 3)}$
${ displaystyle = k ^ {3} + (3k ^ {2} + 5k + 2 + 4k ^ {2} + 4k + 1) (5k + 3)}$
${ displaystyle = k ^ {3} + (7k ^ {2} + 9k + 3) (5k + 3)}$
${ displaystyle = k ^ {3} + 5k (7k ^ {2} + 9k + 3) +3 (7k ^ {2} + 9k + 3)}$
${ displaystyle = k ^ {3} + 35k ^ {3} + 45k ^ {2} + 15k + 21k ^ {2} + 27k + 9}$
${ displaystyle = 36k ^ {3} + 66k ^ {2} + 42k + 9}$
${ displaystyle = (6k + 4) (6k ^ {2}) + 42k ^ {2} + 42k + 9}$
${ displaystyle = (6k + 4) (6k ^ {2}) + (6k + 4) (4k ^ {2}) + 18k ^ {2} + 26k + 9}$
${ displaystyle = (6k + 4) (6k ^ {2} + 4k) + 18k ^ {2} + 26k + 9}$
${ displaystyle = k (6k + 4) ^ {2} + (6k + 4) (3k) + 14k + 9}$
${ displaystyle = k (6k + 4) ^ {2} + (3k + 2) (6k + 4) + 2k + 1}$
${ displaystyle = d_ {2} b ^ {2} + d_ {1} b + d_ {0}}$
${ displaystyle = n_ {4}}$
Tím pádem ${ displaystyle n_ {4}}$ je perfektní digitální invariant pro ${ displaystyle F_ {3, b}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$ .

Perfektní digitální invarianty
${ displaystyle k}$	${ displaystyle b}$	${ displaystyle n_ {4}}$
0	4	021
1	10	153
2	16	285
3	22	3B7
4	28	4E9

**Perfektní digitální invarianty a cykly F_str,b pro konkrétní str a b**

Všechna čísla jsou uvedena v základně ${ displaystyle b}$ .

${ displaystyle p}$	${ displaystyle b}$	Netriviální dokonalé digitální invarianty	Cykly
2	3	12, 22	2 → 11 → 2
	4	${ displaystyle varnothing}$	${ displaystyle varnothing}$
	5	23, 33	4 → 31 → 20 → 4
	6	${ displaystyle varnothing}$	5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5
	7	13, 34, 44, 63	2 → 4 → 22 → 11 → 2 16 → 52 → 41 → 23 → 16
	8	24, 64	4 → 20 → 4 5 → 31 → 12 → 5 15 → 32 → 15
	9	45, 55	58 → 108 → 72 → 58 75 → 82 → 75
	10	${ displaystyle varnothing}$	4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
	11	56, 66	5 → 23 → 12 → 5 68 → 91 → 75 → 68
	12	25, A5	5 → 21 → 5 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22 → 8 18 → 55 → 42 → 18 68 → 84 → 68
	13	14, 36, 67, 77, A6, C4	28 → 53 → 28 79 → A0 → 79 98 → B2 → 98
	14	${ displaystyle varnothing}$	1B → 8A → BA → 11B → 8B → D3 → CA → 136 → 34 → 1B 29 → 61 → 29
	15	78, 88	2 → 4 → 11 → 2 8 → 44 → 22 → 8 15 → 1B → 82 → 48 → 55 → 35 → 24 → 15 2B → 85 → 5E → EB → 162 → 2B 4E → E2 → D5 → CE → 17A → A0 → 6A → 91 → 57 → 4E 9A → C1 → 9A D6 → DA → 12E → D6
	16	${ displaystyle varnothing}$	D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
3	3	122	2 → 22 → 121 → 101 → 2
	4	20, 21, 130, 131, 203, 223, 313, 332	${ displaystyle varnothing}$
	5	103, 433	14 → 230 → 120 → 14
	6	243, 514, 1055	13 → 44 → 332 → 142 → 201 → 13
	7	12, 22, 250, 251, 305, 505	2 → 11 → 2 13 → 40 → 121 → 13 23 → 50 → 236 → 506 → 665 → 1424 → 254 → 401 → 122 → 23 51 → 240 → 132 → 51 160 → 430 → 160 161 → 431 → 161 466 → 1306 → 466 516 → 666 → 1614 → 552 → 516
	8	134, 205, 463, 660, 661	662 → 670 → 1057 → 725 → 734 → 662
	9	30, 31, 150, 151, 570, 571, 1388	38 → 658 → 1147 → 504 → 230 → 38 152 → 158 → 778 → 1571 → 572 → 578 → 1308 → 660 → 530 → 178 → 1151 → 152 638 → 1028 → 638 818 → 1358 → 818
	10	153, 370, 371, 407	55 → 250 → 133 → 55 136 → 244 → 136 160 → 217 → 352 → 160 919 → 1459 → 919
	11	32, 105, 307, 708, 966, A06, A64	3 → 25 → 111 → 3 9 → 603 → 201 → 9 A → 82A → 1162 → 196 → 790 → 895 → 1032 → 33 → 4A → 888 → 1177 → 576 → 5723 → A3 → 8793 → 1210 → A 25A → 940 → 661 → 364 → 25A 366 → 388 → 876 → 894 → A87 → 1437 → 366 49A → 1390 → 629 → 797 → 1077 → 575 → 49A
	12	577, 668, A83, 11AA
	13	490, 491, 509, B85	13 → 22 → 13
	14	136, 409
	15	C3A, D87
	16	23, 40, 41, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 580, 581, 60B, 64B, 8C0, 8C1, 99A, AA9, AC3, CA8, E69, EA0, EA1
4	3	${ displaystyle varnothing}$	121 → 200 → 121 122 → 1020 → 122
	4	1103, 3303	3 → 1101 → 3
	5	2124, 2403, 3134	1234 → 2404 → 4103 → 2323 → 1234 2324 → 2434 → 4414 → 11034 → 2324 3444 → 11344 → 4340 → 4333 → 3444
	6	${ displaystyle varnothing}$
	7	${ displaystyle varnothing}$
	8	20, 21, 400, 401, 420, 421
	9	432, 2466
5	3	1020, 1021, 2102, 10121	${ displaystyle varnothing}$
5	4	200	3 → 3303 → 23121 → 10311 → 3312 → 20013 → 10110 → 3 3311 → 13220 → 10310 → 3311

Rozšíření na záporná celá čísla

Dokonalé digitální invarianty lze rozšířit na záporná celá čísla pomocí a podepsané číslice reprezentovat každé celé číslo.

Vyvážená ternární

v vyvážená ternární, číslice jsou 1, −1 a 0. Výsledkem bude toto:

S zvláštní pravomoci ${ displaystyle p equiv 1 { bmod {2}}}$ , ${ displaystyle F_ {p, { text {bal}} 3}}$ snižuje až na součet číslic iterace, jako ${ displaystyle (-1) ^ {p} = - 1}$ , ${ displaystyle 0 ^ {p} = 0}$ a ${ displaystyle 1 ^ {p} = 1}$ .
S dokonce pravomoci ${ displaystyle p equiv 0 { bmod {2}}}$ , ${ displaystyle F_ {p, { text {bal}} 3}}$ označuje, zda je číslo sudé nebo liché, protože součet každé číslice bude znamenat dělitelnost 2 kdyby a jen kdyby součet číslic končí na 0. As ${ displaystyle 0 ^ {p} = 0}$ a ${ displaystyle (-1) ^ {p} = 1 ^ {p} = 1}$ , pro každou dvojici číslic 1 nebo −1 je jejich součet 0 a součet jejich čtverců 2.

Vztah k šťastným číslům

Šťastné číslo ${ displaystyle n}$ pro danou základnu ${ displaystyle b}$ a danou sílu ${ displaystyle p}$ je preperiodický bod pro dokonalou digitální invariantní funkci ${ displaystyle F_ {p, b}}$ takové, že ${ displaystyle m}$ -tá iterace ${ displaystyle F_ {p, b}}$ se rovná triviálnímu dokonalému digitálnímu invariantu ${ displaystyle 1}$ a nešťastné číslo je takové, že takové neexistuje ${ displaystyle m}$ .

Příklad programování

Následující příklad implementuje dokonalou digitální invariantní funkci popsanou ve výše uvedené definici hledat dokonalé digitální invarianty a cykly v Krajta. To lze použít k vyhledání šťastná čísla.

def pdif(X: int, str: int, b: int) -> int:    "" "Dokonalá digitální invariantní funkce." ""    celkový = 0    zatímco X > 0:        celkový = celkový + prášek(X % b, str)        X = X // b    vrátit se celkovýdef pdif_cycle(X: int, str: int, b: int) -> Seznam[int]:    vidět = []    zatímco X ne v vidět:        vidět.připojit(X)        X = pdif(X, str, b)    cyklus = []    zatímco X ne v cyklus:        cyklus.připojit(X)        X = pdif(X, str, b)    vrátit se cyklus

Viz také

Reference

^ ^A ^b Perfektní a PluPerfect Digital Invariants Archivováno 10. 10. 2007 v Wayback Machine Scott Moore
^ PDI Harvey Heinz

externí odkazy

Digitální invarianty

[moore2-1] ^ ^A ^b Perfektní a PluPerfect Digital Invariants Archivováno 10. 10. 2007 v Wayback Machine Scott Moore

[2] ^ PDI Harvey Heinz

[1]

[2]

${ displaystyle k}$	${ displaystyle b}$	${ displaystyle n_ {1}}$	${ displaystyle n_ {2}}$	${ displaystyle n_ {3}}$
1	4	130	131	203
2	7	250	251	305
3	10	370	371	407
4	13	490	491	509
5	16	5B0	5B1	60B
6	19	6D0	6D1	70D
7	22	7F0	7F1	80F
8	25	8H0	8H1	90H
9	28	9J0	9J1	A0J

${ displaystyle k}$	${ displaystyle b}$	${ displaystyle n_ {1}}$	${ displaystyle n_ {2}}$	${ displaystyle n_ {3}}$
1	4	130	131	203
2	7	250	251	305
3	10	370	371	407
4	13	490	491	509
5	16	5B0	5B1	60B
6	19	6D0	6D1	70D
7	22	7F0	7F1	80F
8	25	8H0	8H1	90H
9	28	9J0	9J1	A0J