Číslo pentatopu - Pentatope number

Odvození čísel pentatopu od levého zarovnání Pascalův trojúhelník

A pentatope číslo je číslo v páté buňce libovolného řádku Pascalův trojúhelník počínaje řadou 5 termínů 1 4 6 4 1 zleva doprava nebo zprava doleva.

Prvních několik čísel tohoto druhu je:

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365 (sekvence A000332 v OEIS )

A pentatope s délkou strany 5 obsahuje 70 3 koulí. Každá vrstva představuje jednu z prvních pěti čtyřboká čísla. Například spodní (zelená) vrstva má celkem 35 koulí.

Čísla Pentatope patří do třídy figurativní čísla, které lze reprezentovat jako pravidelné diskrétní geometrické vzory.^[1]

Vzorec

Vzorec pro nčíslo pentatopu je 4. rostoucí faktoriál z n děleno faktoriál ze 4:

${ displaystyle P_ {n} = { frac {n ^ { overline {4}}} {4!}} = { frac {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} { 24}}.}$

Čísla pentatopů lze také vyjádřit jako binomické koeficienty:

${ displaystyle P_ {n} = { binom {n + 3} {4}},}$

což je počet odlišných čtyřnásobky z nichž lze vybrat n + 3 objekty a čte se nahlas jako „n plus tři vyberte čtyři ".

Vlastnosti

Dvě ze tří čísel pentatopu jsou také pětiboká čísla. Abych byl přesný, (3k − 2)číslo pentatopu je vždy (3k² − k/2)th pětiúhelníkové číslo a (3k − 1)číslo pentatopu je vždy (3k² + k/2)th pětiúhelníkové číslo. The (3k)th pentatope number is the zobecněné pětiúhelníkové číslo získáno převzetím záporného indexu −3k² + k/2 ve vzorci pro pětiúhelníková čísla. (Tyto výrazy vždy dávají celá čísla).^[2]

Nekonečný součet převrácených hodnot všech čísel pentatopu je 4/3.^[3] To lze odvodit pomocí teleskopická řada.

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {4!} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}} = { frac {4} { 3}}}$

Čísla pentatopů lze také vyjádřit jako součet prvních n čtyřboká čísla:^[2]

${ displaystyle P_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} Te_ {n}}$

Vztah k jednomu čtyřbokému číslu:

${ displaystyle P_ {n} = { tfrac {1} {4}} (n + 3) Te_ {n},}$

Ne prvočíslo je předchůdcem čísla pentatopu a je největším poloprime což je předchůdce čísla pentatopu je 1819.

Podobně jediné prvočísla předcházející a Šestimístné číslo jsou 83 a 461.

Vyzkoušejte čísla pentatopu

Tento test můžeme odvodit ze vzorce pro nth pentatope number.

Dáno kladné celé číslo X, abychom otestovali, zda se jedná o číslo pentatopu, které můžeme vypočítat

${ displaystyle n = { frac {{ sqrt {5 + 4 { sqrt {24x + 1}}}} - 3} {2}}.}$

Číslo X je pentatope právě tehdy n je přirozené číslo. V tom případě X je nth pentatope number.

Generující funkce

The generující funkce pro čísla pentatopů je:^[4]

${ displaystyle { frac {x} {(1-x) ^ {5}}} = x + 5x ^ {2} + 15x ^ {3} + 35x ^ {4} + ...}$

Aplikace

V biochemii představují počet možných uspořádání n různých polypeptidových podjednotek v tetramerním (čtyřboký) proteinu.

Reference

Tento číslo článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.