Čtyřboké číslo - Tetrahedral number

Pyramida s délkou strany 5 obsahuje 35 koulí. Každá vrstva představuje jedno z prvních pěti trojúhelníkových čísel.

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Čtyřboké číslo“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Února 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

A čtyřboké číslonebo trojúhelníkové pyramidové číslo, je figurativní číslo to představuje a pyramida s trojúhelníkovou základnou a třemi stranami, nazývané a čtyřstěn. The nth čtyřboké číslo, Te_n, je součet prvního n trojúhelníková čísla, to znamená,

${ displaystyle Te_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} T_ {k} = součet _ {k = 1} ^ {n} { frac {k (k + 1)} {2 }} = sum _ {k = 1} ^ {n} left ( sum _ {i = 1} ^ {k} i right)}$

Čtyřboká čísla jsou:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ... (sekvence A000292 v OEIS )

Vzorec

Odvození čtyřbokého čísla od levého zarovnání Pascalův trojúhelník

Vzorec pro nth čtyřboké číslo je reprezentováno 3 rostoucí faktoriál z n děleno faktoriál ze 3:

${ displaystyle Te_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} T_ {k} = součet _ {k = 1} ^ {n} { frac {k (k + 1)} {2 }} = sum _ {k = 1} ^ {n} left ( sum _ {i = 1} ^ {k} i right) = { frac {n (n + 1) (n + 2) } {6}} = { frac {n ^ { overline {3}}} {3!}}}$

Čtyřboká čísla lze také vyjádřit jako binomické koeficienty:

${ displaystyle Te_ {n} = { binom {n + 2} {3}}.}$

Čtyřboká čísla lze proto najít na čtvrté pozici buď zleva, nebo zprava dovnitř Pascalův trojúhelník.

Důkazy vzorce

Tento důkaz využívá skutečnosti, že nth trojúhelníkové číslo je dáno

${ displaystyle T_ {n} = { frac {n (n + 1)} {2}}.}$

Postupuje tím indukce.

Základní případ

${ displaystyle Te_ {1} = 1 = { frac {1 cdot 2 cdot 3} {6}}.}$

Indukční krok

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Te_ {n + 1} quad & = Te_ {n} + T_ {n + 1} & = { frac {n (n + 1) (n + 2)} {6}} + { frac {(n + 1) (n + 2)} {2}} & = (n + 1) (n + 2) left ({ frac {n} {6} } + { frac {1} {2}} vpravo) & = { frac {(n + 1) (n + 2) (n + 3)} {6}}. end {zarovnáno}} }$

Vzorec lze prokázat také Gosperův algoritmus.

Geometrická interpretace

Čtyřboká čísla lze modelovat skládáním koulí. Například páté čtyřboké číslo (Te₅ = 35) lze modelovat pomocí 35 kulečníkové koule a standardní trojúhelníkový kulečníkový kulový rám, který drží 15 koulí na místě. Pak je na ně naskládáno dalších 10 koulí, pak dalších 6, pak další tři a jedna koule nahoře doplňuje čtyřstěn.

Při objednávcen čtyřstěn postavený z Te_n koule se používají jako jednotka, je možné ukázat, že prostorový obklad s takovými jednotkami může být nejhustší koule balení tak dlouho jak n ≤ 4.^{[1][pochybný – diskutovat]}

Vlastnosti

• Te_n + Te_n−1 = 1² + 2² + 3² ... + n², čtvercová pyramidová čísla.
• A. J. Meyl v roce 1878 dokázal, že jsou také pouze tři čtyřboká čísla perfektní čtverce, a to:

  Te₁ = 1² = 1

  Te₂ = 2² = 4

  Te₄₈ = 140² = 19600.

• Sir Frederick Pollock domníval se, že každé číslo je součtem nejvýše 5 čtyřboká čísel: viz Pollock čtyřboká čísla dohad.
• Jediné čtyřboké číslo, které je také a čtvercové pyramidové číslo je 1 (Beukers, 1988) a jediné čtyřboké číslo, které je také a dokonalá kostka je 1.
• The nekonečný součet převrácených čísel čtyřbokých čísel je 3/2, které lze odvodit pomocí teleskopická řada:

  ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {6} {n (n + 1) (n + 2)}} = { tfrac {3} {2}}.}$

• The parita čtyřboká čísla následuje opakující se vzorec lichý-sudý-sudý-sudý.
• Pozorování čtyřboká čísla:

  Te₅ = Te₄ + Te₃ + Te₂ + Te₁

• Čísla, která jsou trojúhelníková i čtyřboká, musí splňovat binomický koeficient rovnice:

  ${ displaystyle T_ {n} = { binom {n + 1} {2}} = { binom {m + 2} {3}} = Te_ {m}.}$

Jediná čísla, která jsou čtyřboká i trojúhelníková, jsou (posloupnost A027568 v OEIS ):

Te₁ = T₁ = 1

Te₃ = T₄ = 10

Te₈ = T₁₅ = 120

Te₂₀ = T₅₅ = 1540

Te₃₄ = T₁₁₉ = 7140

Populární kultura

Počet dárků každého druhu a počet obdržených každý den a jejich vztah k figurativní čísla

Te₁₂ = 364 je celkový počet dárků „moje pravá láska mi byla poslána“ během všech 12 veršů koledy, “Dvanáct dní Vánoc ".^[2] Kumulativní celkový počet dárků po každém verši je také Te_n pro verš n.

Počet možných KeyForge kombinace tří domů je také čtyřboké číslo, Te_n−2 kde n je počet domů.

Viz také

• Na střed trojúhelníkové číslo

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Čtyřboké číslo“. MathWorld.
• Geometrický důkaz čtyřstěnného číselného vzorce Jim Delany, Demonstrační projekt Wolfram.