Refaktorovatelné číslo - Refactorable number

Demonstrace, s Pruty Cuisenaire, že 1, 2, 8, 9 a 12 jsou refaktorovatelné

A refaktorovatelné číslo nebo tau číslo je celé číslo n to je dělitelné počtem jeho dělitele, nebo řečeno algebraicky, n je takový ${displaystyle au (n) střední n}$. Prvních několik refaktorovatelných čísel je uvedeno v (pořadí A033950 v OEIS ) tak jako

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96, 104, 108, 128, 132, 136, 152, 156, 180, 184, 204, 225, 228, 232, 240, 248, 252, 276, 288, 296, ...

Například 18 má 6 dělitelů (1 a 18, 2 a 9, 3 a 6) a je dělitelné číslem 6. Existuje nekonečně mnoho refaktorovatelných čísel.

Vlastnosti

Cooper a Kennedy dokázali, že refaktorovatelná čísla ano přirozená hustota nula. Zelinsky dokázal, že žádná tři po sobě jdoucí celá čísla nemohou být všechna refaktorovatelná.^[1] Colton dokázal, že žádné refaktorovatelné číslo není perfektní. Rovnice ${displaystyle gcd (n, x) = au (n)}$ má řešení, pouze pokud ${displaystyle n}$ je refaktorovatelné číslo, kde ${displaystyle gcd}$ je největší společný dělitel funkce.

Nechat ${displaystyle T (x)}$ být počet refaktorovatelných čísel, který je maximálně ${displaystyle x}$. Problém stanovení asymptotiky pro ${displaystyle T (x)}$ je otevřeno. Spiro to dokázal ${displaystyle T (x) = {frac {x} {{sqrt {log x}} (log log x) ^ {o (1)}}}}$^[2]

Stále existují nevyřešené problémy týkající se refaktorovatelných čísel. Colton se zeptal, jestli tam jsou libovolně velké ${displaystyle n}$ takové, že oba ${displaystyle n}$ a ${displaystyle n + 1}$ jsou refaktorovatelné. Zelinského napadlo, jestli existuje refaktorovatelné číslo ${displaystyle n_ {0} ekv. amod m}$, nutně existují ${displaystyle n> n_ {0}}$ takhle ${displaystyle n}$ je refaktorovatelný a ${displaystyle nequiv amod m}$.

Dějiny

Nejprve definováno Curtis Cooper a Robert E. Kennedy^[3] kde ukázali, že čísla tau mají přirozená hustota nula, byly později znovu objeveny Simon Colton pomocí počítačového programu, který vytvořil, který vynalézá a posuzuje definice z různých oblastí matematiky, jako např teorie čísel a teorie grafů.^[4] Colton nazval taková čísla „refactorable“. Zatímco počítačové programy objevily důkazy dříve, tento objev byl jedním z prvních případů, kdy počítačový program objevil nový nebo dříve nejasný nápad. Colton prokázal mnoho výsledků týkajících se refaktorovatelných čísel, což ukazuje, že jich bylo nekonečně mnoho, a prokázal řadu omezení shody v jejich distribuci. Colton byl až později upozorněn, že Kennedy a Cooper předtím toto téma prošetřili.

Viz také

• Funkce dělitele

Reference