Polydivovatelné číslo - Polydivisible number

v matematika A více dělitelné číslo (nebo magické číslo) je číslo v daném číselná základna s číslice abcde ... který má následující vlastnosti:

Jeho první číslice A není 0.
Číslo tvořené prvními dvěma číslicemi ab je násobkem 2.
Číslo tvořené prvními třemi číslicemi abc je násobkem 3.
Číslo tvořené prvními čtyřmi číslicemi abeceda je násobkem 4.
atd.^[1]

Definice

Nechat ${ displaystyle n}$ být přirozené číslo, a nechť ${ displaystyle k = lfloor log _ {b} {n} rfloor +1}$ být počet číslic v počtu v základně ${ displaystyle b}$ . ${ displaystyle n}$ je více dělitelné číslo pokud pro všechny ${ displaystyle 0 leq i$ ,

{ displaystyle { frac {n- (n { bmod {b}} ^ {k-i-1})} {b ^ {k-i-1}}} equiv 0 { bmod {i}}}

.

Například 10801 je sedmimístné polydivovatelné číslo v základna 4, tak jako

{ displaystyle { frac {10801- (10801 { bmod {4}} ^ {7-0-1})} {4 ^ {7-0-1}}} = { frac {10801- (10801 { bmod {4}} ^ {6})} {4 ^ {6}}} = { frac {10801- (10801 { bmod {4}} 096)} {4096}} = { frac {10801- 2609} {4096}} = { frac {8192} {4096}} = 2 equiv 0 { bmod {1}}}

{ displaystyle { frac {10801- (10801 { bmod {4}} ^ {7-1-1})} {4 ^ {7-1-1}}} = { frac {10801- (10801 { bmod {4}} ^ {5})} {4 ^ {5}}} = { frac {10801- (10801 { bmod {1}} 024)} {1024}} = { frac {10801- 561} {1024}} = { frac {10240} {1024}} = 10 equiv 0 { bmod {2}}}

{ displaystyle { frac {10801- (10801 { bmod {4}} ^ {7-2-1})} {4 ^ {7-2-1}}} = { frac {10801- (10801 { bmod {4}} ^ {4})} {4 ^ {4}}} = { frac {10801- (10801 { bmod {2}} 56)} {256}} = { frac {10801- 49} {256}} = { frac {10752} {256}} = 42 equiv 0 { bmod {3}}}

{ displaystyle { frac {10801- (10801 { bmod {4}} ^ {7-3-1})} {4 ^ {7-3-1}}} = { frac {10801- (10801 { bmod {4}} ^ {3})} {4 ^ {3}}} = { frac {10801- (10801 { bmod {6}} 4)} {64}} = { frac {10801- 49} {64}} = { frac {10752} {64}} = 168 equiv 0 { bmod {4}}}

{ displaystyle { frac {10801- (10801 { bmod {4}} ^ {7-4-1})} {4 ^ {7-4-1}}} = { frac {10801- (10801 { bmod {4}} ^ {2})} {4 ^ {2}}} = { frac {10801- (10801 { bmod {1}} 6)} {16}} = { frac {10801- 1} {16}} = { frac {10800} {16}} = 675 equiv 0 { bmod {5}}}

{ displaystyle { frac {10801- (10801 { bmod {4}} ^ {7-5-1})} {4 ^ {7-5-1}}} = { frac {10801- (10801 { bmod {4}} ^ {1})} {4 ^ {1}}} = { frac {10801- (10801 { bmod {4}})}} {4}} = { frac {10801-1 } {4}} = { frac {10800} {4}} = 2700 equiv 0 { bmod {6}}}

{ displaystyle { frac {10801- (10801 { bmod {4}} ^ {7-6-1})} {4 ^ {7-6-1}}} = { frac {10801- (10801 { bmod {4}} ^ {0})} {4 ^ {0}}} = { frac {10801- (10801 { bmod {1}})} {1}} = { frac {10801-0 } {1}} = { frac {10801} {1}} = 10801 equiv 0 { bmod {7}}}

Výčet

Pro jakoukoli danou základnu ${ displaystyle b}$ , existuje pouze konečný počet dělitelných čísel.

Maximální počet dělitelných čísel

Následující tabulka uvádí maximální počet dělitelných čísel pro některé báze b, kde $A-Z$ představují číselné hodnoty 10 až 35.

Základna ${ displaystyle b}$	Maximální počet dělitelných čísel (OEIS: A109032)	Počet základenb číslice (OEIS: A109783)
2	$102$	2
3	$20 0220 3$	6
4	$222 0301 4$	7
5	$40220 42200 5$	10
10	$36085 28850 36840 07860 36725$ ^[2]^[3]^[4]	25
12	$6068 903468 50BA68 00B036 206464 12$	28

Odhad pro ${ displaystyle F_ {b} (n)}$ a ${ Displaystyle Sigma (b)}$

Graf počtu

{ displaystyle n}

-místná dělitelná čísla v základu 10

{ displaystyle F_ {10} (n)}

vs odhad z

{ displaystyle F_ {10} (n)}

Nechat ${ displaystyle n}$ být počet číslic. Funkce ${ displaystyle F_ {b} (n)}$ určuje počet dělitelných čísel, která má ${ displaystyle n}$ číslice v základně ${ displaystyle b}$ a funkce ${ displaystyle Sigma (b)}$ je celkový počet dělitelných čísel v základně ${ displaystyle b}$ .

Li ${ displaystyle k}$ je v základu polydivovatelné číslo ${ displaystyle b}$ s ${ displaystyle n-1}$ číslic, lze jej rozšířit a vytvořit tak polydivovatelné číslo pomocí ${ displaystyle n}$ číslice, pokud je mezi nimi číslo ${ displaystyle bk}$ a ${ displaystyle b (k + 1) -1}$ to je dělitelné ${ displaystyle n}$ . Li ${ displaystyle n}$ je menší nebo rovno ${ displaystyle b}$ , pak je vždy možné prodloužit ${ displaystyle n-1}$ polyciferné číslo s číslicí na ${ displaystyle n}$ -digitálně dělitelné číslo tímto způsobem a ve skutečnosti může existovat více než jedna možná přípona. Li ${ displaystyle n}$ je větší než ${ displaystyle b}$ , není vždy možné rozšířit polydivovatelné číslo tímto způsobem a jako ${ displaystyle n}$ se zvětší, šance na schopnost rozšířit dané polydivovatelné číslo se zmenší. V průměru každé dělitelné číslo s ${ displaystyle n-1}$ číslice lze rozšířit na více dělitelné číslo pomocí ${ displaystyle n}$ číslice v ${ displaystyle { frac {b} {n}}}$ různé způsoby. To vede k následujícímu odhadu pro ${ displaystyle F_ {b} (n)}$ :

{ displaystyle F_ {b} (n) cca (b-1) { frac {b ^ {n-1}} {n!}}.}

Sečtením všech hodnot n tento odhad naznačuje, že celkový počet polydivitivních čísel bude přibližně

{ displaystyle Sigma (b) přibližně { frac {b-1} {b}} (e ^ {b} -1)}

Základna ${ displaystyle b}$	${ displaystyle Sigma (b)}$	Odhad z ${ Displaystyle Sigma (b)}$	Chyba procenta
2	2	${ displaystyle { frac {1} {2}} (e ^ {2} -1) přibližně 3,1945}$	59.7%
3	15	${ displaystyle { frac {2} {3}} (e ^ {3} -1) přibližně 12 725}$	-15.1%
4	37	${ displaystyle { frac {3} {4}} (e ^ {4} -1) přibližně 40.199}$	8.64%
5	127	${ displaystyle { frac {4} {5}} (e ^ {5} -1) přibližně 117,93}$	−7.14%
10	20456^[2]	${ displaystyle { frac {9} {10}} (e ^ {10} -1) přibližně 19823}$	-3.09%

Specifické základy

Všechna čísla jsou uvedena v základně ${ displaystyle b}$ , pomocí A-Z reprezentovat číselné hodnoty 10 až 35.

Základna 2

Délka n	F₂(n)	Odhad vypnuto₂(n)	Polydivovatelná čísla
1	1	1	1
2	1	1	10

Základna 3

Délka n	F₃(n)	Odhad vypnuto₃(n)	Polydivovatelná čísla
1	2	2	1, 2
2	3	3	11, 20, 22
3	3	3	110, 200, 220
4	3	2	1100, 2002, 2200
5	2	1	11002, 20022
6	2	1	110020, 200220
7	0	0	${ displaystyle varnothing}$

Základna 4

Délka n	F₄(n)	Odhad vypnuto₄(n)	Polydivovatelná čísla
1	3	3	1, 2, 3
2	6	6	10, 12, 20, 22, 30, 32
3	8	8	102, 120, 123, 201, 222, 300, 303, 321
4	8	8	1020, 1200, 1230, 2010, 2220, 3000, 3030, 3210
5	7	6	10202, 12001, 12303, 20102, 22203, 30002, 32103
6	4	4	120012, 123030, 222030, 321030
7	1	2	2220301
8	0	1	${ displaystyle varnothing}$

Základna 5

Polydivovatelná čísla v základně 5 jsou

1, 2, 3, 4, 11, 13, 20, 22, 24, 31, 33, 40, 42, 44, 110, 113, 132, 201, 204, 220, 223, 242, 311, 314, 330, 333, 402, 421, 424, 440, 443, 1102, 1133, 1322, 2011, 2042, 2200, 2204, 2231, 2420, 2424, 3113, 3140, 3144, 3302, 3333, 4022, 4211, 4242, 4400, 4404, 4431, 11020, 11330, 13220, 20110, 20420, 22000, 22040, 22310, 24200, 24240, 31130, 31400, 31440, 33020, 33330, 40220, 42110, 42420, 44000, 44040, 44310, 110204, 113300, 132204, 201102, 204204, 220000, 220402, 223102, 242000, 242402, 311300, 314000, 314402, 330204, 333300, 402204, 421102, 424204, 440000, 440402, 443102, 1133000, 1322043, 2011021, 2042040, 2204020, 2420003, 2424024, 3113002, 3140000, 3144021, 4022042, 4211020, 4431024, 11330000, 13220431, 20110211, 20420404, 24200031, 31400004, 31440211, 40220422, 42110202, 44310242, 132204314, 201102110, 242000311, 314000044, 402204220, 443102421, 1322043140, 2011021100, 3140000440, 4022042200

Nejmenší základna 5 dělitelných čísel s n číslice jsou

1, 11, 110, 1102, 11020, 110204, 1133000, 11330000, 132204314, 1322043140, 0, 0, 0...

Největší základna 5 dělitelných čísel s n číslice jsou

4, 44, 443, 4431, 44310, 443102, 4431024, 44310242, 443102421, 4022042200, 0, 0, 0...

Počet základních 5 dělitelných čísel s n číslice jsou

4, 10, 17, 21, 21, 21, 13, 10, 6, 4, 0, 0, 0...

Délka n	F₅(n)	Odhad vypnuto₅(n)
1	4	4
2	10	10
3	17	17
4	21	21
5	21	21
6	21	17
7	13	12
8	10	8
9	6	4
10	4	2

Základna 10

Polydivovatelná čísla v základně 10 jsou

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 102, 105, 108, 120, 123, 126, 129, 141, 144, 147, 162, 165, 168, 180, 183, 186, 189, ... (sekvence A144688 v OEIS )

Nejmenší základna 10 dělitelných čísel s n číslice jsou

1, 10, 102, 1020, 10200, 102000, 1020005, 10200056, 102000564, 1020005640, 10200056405, 102006162060, 1020061620604, 10200616206046, 102006162060465, 1020061620604656, 10200616206046568, 1080548010000000 1080, 1080, 1080, 1080 A214437 v OEIS )

Největší základna 10 dělitelných čísel s n číslice jsou

9, 98, 987, 9876, 98765, 987654, 9876545, 98765456, 987654564, 9876545640, 98765456405, 987606963096, 9876069630960, 98760696309604, 987606963096045, 987606243036496, 9676096, 96750, 967 A225608 v OEIS )

Počet základních 10 dělitelných čísel s n číslice jsou

9, 45, 150, 375, 750, 1200, 1713, 2227, 2492, 2492, 2225, 2041, 1575, 1132, 770, 571, 335, 180, 90, 44, 18, 12, 6, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... (sekvence A143671 v OEIS )

Délka n	F₁₀(n)^[5]	Odhad vypnuto₁₀(n)
1	9	9
2	45	45
3	150	150
4	375	375
5	750	750
6	1200	1250
7	1713	1786
8	2227	2232
9	2492	2480
10	2492	2480

Délka n	F₁₀(n) ^[5]	Odhad vypnuto₁₀(n)
11	2225	2255
12	2041	1879
13	1575	1445
14	1132	1032
15	770	688
16	571	430
17	335	253
18	180	141
19	90	74
20	44	37

Délka n	F₁₀(n) ^[5]	Odhad vypnuto₁₀(n)
21	18	17
22	12	8
23	6	3
24	3	1
25	1	1

Příklad programování

Níže uvedený příklad hledá polydivovatelná čísla v Krajta.

def find_polydivisible(základna: int) -> Seznam[int]:    "" "Najít dělitelné číslo." ""    čísla = []    předchozí = []    pro i v rozsah(1, základna):        předchozí.připojit(i)    Nový = []    číslice = 2    zatímco ne předchozí == []:        čísla.připojit(předchozí)        pro i v rozsah(0, len(předchozí)):            pro j v rozsah(0, základna):                číslo = předchozí[i] * základna + j                -li číslo % číslice == 0:                    Nový.připojit(číslo)        předchozí = Nový        Nový = []        číslice = číslice + 1    vrátit se čísla

Související problémy

Polydivovatelná čísla představují zobecnění následujících známých^[2] problém v rekreační matematika :

Uspořádejte číslice 1 až 9 tak, aby první dvě číslice tvořily násobek 2, první tři číslice tvořily násobek 3, první čtyři číslice tvořily násobek 4 atd. A nakonec celé číslo je násobkem 9.

Řešením problému je devítimístné polydivovatelné číslo s další podmínkou, že obsahuje číslice 1 až 9 přesně jednou. Existuje 2 492 devítimístných polydivovatelných čísel, ale jediné, které splňuje další podmínku, je

381 654 729^[6]

Mezi další problémy zahrnující více dělitelná čísla patří:

Hledání více dělitelných čísel s dalšími omezeními na číslice - například nejdelší mnohopočetné číslo, které používá pouze sudé číslice, je

480 006 882 084 660 840 40

Nález palindromický polydivisible numbers - například, nejdelší palindromic polydivisible number is

300 006 000 03

Běžným triviálním rozšířením výše uvedeného příkladu je uspořádání číslic 0 až 9 tak, aby bylo 10místné číslo vytvořeno stejným způsobem, výsledkem je 3816547290. Toto je pandigitální více dělitelné číslo.

Reference

^ De, Moloy, MATH VĚŘÍ NEBO NE
^ ^A ^b ^C Parker, Matt (2014), "Můžeš to vykopat?", Věci, které je třeba dělat a dělat ve čtvrté dimenzi„Special Books“, s. 7–8, ISBN 9780374275655 - prostřednictvím Knih Google
^ Wells, David (1986), Slovník tučňáků zvědavých a zajímavých čísel, Penguin Books, str. 197, ISBN 9780140261493 - prostřednictvím Knih Google
^ Lines, Malcolm (1986), „Jak tyto série končí?“, Číslo pro vaše myšlenky, Taylor a Francis Group, s. 90, ISBN 9780852744956
^ ^A ^b ^C (sekvence A143671 v OEIS )
^ Lanier, Susie, Devítimístné číslo

externí odkazy

YouTube - pandigitální číslo, které lze také rozdělit

[moloy_de-1] De, Moloy, MATH VĚŘÍ NEBO NE

[Parker-2] A ^b ^C Parker, Matt (2014), "Můžeš to vykopat?", Věci, které je třeba dělat a dělat ve čtvrté dimenzi„Special Books“, s. 7–8, ISBN 9780374275655 - prostřednictvím Knih Google

[Wells-3] Wells, David (1986), Slovník tučňáků zvědavých a zajímavých čísel, Penguin Books, str. 197, ISBN 9780140261493 - prostřednictvím Knih Google

[Lines-4] Lines, Malcolm (1986), „Jak tyto série končí?“, Číslo pro vaše myšlenky, Taylor a Francis Group, s. 90, ISBN 9780852744956

[A143671-5] A ^b ^C (sekvence A143671 v OEIS )

[Lanier-6] Lanier, Susie, Devítimístné číslo

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Sady celých čísel založené na dělitelnosti
Přehled	Faktorizace celého čísla Dělitel Unitární dělitel Funkce dělitele hlavní faktor Základní věta o aritmetice
Faktorizační formy	primární Složený Semiprime Pronic Sphenic Bez náměstí Silný Dokonalá síla Achilles Hladký Pravidelný Hrubý Neobvyklý
Omezené částky dělitele	Perfektní Téměř perfektní Quasiperfect Znásobte perfektní Hemiperfect Hyperperfektní Superperfektní Unitary dokonalý Bi-unitární násobení perfektní Semiperfect Praktický Erdős – Nicolas
S mnoha děliteli	Hojné Primitivní hojné Vysoce hojné Nadbytečný Kolosálně hojný Vysoce kompozitní Vynikající vysoce kompozitní Podivný
Alikvotní sekvence -příbuzný	Nedotknutelný Přátelský Společenský Snoubenec
Základna -závislý	Equidigital Extravagantní Skromný Harshad Polydivisible Kovář
Ostatní sady	Aritmetický Nedostatečný Přátelský Osamělý Sublimovat Harmonický dělitel Descartes Refaktorovatelné Superperfektní