Alikvotní sekvence - Aliquot sequence

Question, Web Fundamentals.svgNevyřešený problém v matematice:
Končí všechny alikvotní sekvence nakonec prvočíslem, dokonalým číslem nebo sadou přátelských nebo společenských čísel? (Katalánský alikvotní domněnkový sled)
(více nevyřešených úloh z matematiky)

v matematika, an alikvotní sekvence je posloupnost kladných celých čísel, ve kterých je každý člen součtem řádní dělitelé předchozího období. Pokud posloupnost dosáhne čísla 1, končí, protože součet správných dělitelů 1 je 0.

Definice a přehled

Alikvotní sekvence začínající kladným celým číslem k lze formálně definovat z hlediska funkce součtu dělitelů σ1 nebo alikvotní částka funkce s následujícím způsobem:[1]

s0 = k
sn = s(sn−1) = σ1(sn−1) − sn−1 -li sn−1 > 0
sn = 0 pokud sn−1 = 0 ---> (pokud přidáme tuto podmínku, pak výrazy po 0 budou všechny 0 a všechny alikvotní sekvence budou nekonečnou sekvencí a můžeme předpokládat, že všechny alikvotní sekvence jsou konvergentní, limit těchto sekvencí je obvykle 0 nebo 6)

a s(0) není definováno.

Například alikvotní sekvence 10 je 10, 8, 7, 1, 0, protože:

σ1(10) − 10 = 5 + 2 + 1 = 8,
σ1(8) − 8 = 4 + 2 + 1 = 7,
σ1(7) − 7 = 1,
σ1(1) − 1 = 0.

Mnoho alikvotních sekvencí končí na nule; všechny takové sekvence nutně končí a prvočíslo následuje 1 (protože jediný správný dělitel prvočísla je 1), následuje 0 (protože 1 nemá správné dělitele). Viz (sekvence A080907 v OEIS ) pro seznam takových čísel až 75. Existuje řada způsobů, jak se alikvotní sekvence nemusí ukončit:

  • A perfektní číslo má opakující se alikvotní sekvenci období 1. Alikvotní sekvence 6 je například 6, 6, 6, 6, ...
  • An přátelské číslo má opakující se alikvotní sekvenci období 2. Například alikvotní sekvence 220 je 220, 284, 220, 284, ...
  • A společenské číslo má opakující se alikvotní sekvenci období 3 nebo větší. (Někdy termín společenské číslo se používá také k zahrnutí přátelských čísel.) Například alikvotní sekvence 1264460 je 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ...
  • Některá čísla mají alikvotní sekvenci, která je nakonec periodická, ale samotné číslo není dokonalé, přátelské ani společenské. Například alikvotní sekvence 95 je 95, 25, 6, 6, 6, 6, .... Jsou volána čísla jako 95, která nejsou dokonalá, ale mají nakonec se opakující alikvotní sekvenci období 1 aspirující čísla.[2]
nAlikvotní sekvence ndélka (OEIS: A098007)nAlikvotní sekvence ndélka (OEIS: A098007)nAlikvotní sekvence ndélka (OEIS: A098007)nAlikvotní sekvence ndélka (OEIS: A098007)
0011212, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 082424, 36, 55, 17, 1, 063636, 55, 17, 1, 05
11, 021313, 1, 032525, 623737, 1, 03
22, 1, 031414, 10, 8, 7, 1, 062626, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 083838, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 08
33, 1, 031515, 9, 4, 3, 1, 062727, 13, 1, 043939, 17, 1, 04
44, 3, 1, 041616, 15, 9, 4, 3, 1, 07282814040, 50, 43, 1, 05
55, 1, 031717, 1, 032929, 1, 034141, 1, 03
6611818, 21, 11, 1, 053030, 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0164242, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 015
77, 1, 031919, 1, 033131, 1, 034343, 1, 03
88, 7, 1, 042020, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 083232, 31, 1, 044444, 40, 50, 43, 1, 06
99, 4, 3, 1, 052121, 11, 1, 043333, 15, 9, 4, 3, 1, 074545, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 08
1010, 8, 7, 1, 052222, 14, 10, 8, 7, 1, 073434, 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 094646, 26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 09
1111, 1, 032323, 1, 033535, 13, 1, 044747, 1, 03

Délky alikvotních sekvencí, které začínají na n jsou

1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... (sekvence A044050 v OEIS )

Konečné podmínky (kromě 1) alikvotních sekvencí, které začínají na n jsou

1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... (sekvence A115350 v OEIS )

Čísla, jejichž alikvotní sekvence končí 1, jsou

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (sekvence A080907 v OEIS )

Čísla, jejichž alikvotní sekvence končí a perfektní číslo, kromě samotných dokonalých čísel (6, 28, 496, ...), jsou

25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... (sekvence A063769 v OEIS )

Čísla, jejichž alikvotní sekvence končí v cyklu s délkou alespoň 2, jsou

220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, 1420, 1490, 1604, 1690, 1692, 1772, 1816, 1898, 2008, 2122, 2152, 2172, 2362, ... ( sekvence A121507 v OEIS )

Čísla, jejichž alikvotní sekvence není známa jako konečná nebo případně periodická, jsou

276, 306, 396, 552, 564, 660, 696, 780, 828, 888, 966, 996, 1074, 1086, 1098, 1104, 1134, 1218, 1302, 1314, 1320, 1338, 1350, 1356, 1392, 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... (sekvence A131884 v OEIS )

Číslo, které nikdy není nástupcem v alikvotní sekvenci, se nazývá nedotknutelné číslo.

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (sekvence A005114 v OEIS )

Katalánsko-Dicksonova domněnka

Důležitý dohad kvůli Katalánština, někdy nazývaný katalánština -Dicksone domněnka je, že každá alikvotní sekvence končí jedním z výše uvedených způsobů: prvočíslem, dokonalým číslem nebo množinou přátelských nebo společenských čísel.[3] Alternativou by bylo, že existuje číslo, jehož alikvotní sekvence je nekonečná, ale nikdy se neopakuje. Každé z mnoha čísel, jejichž alikvotní sekvence nebyly zcela určeny, může být takové číslo. Prvních pět čísel kandidátů se často nazývá Lehmer pět (pojmenoval podle Lehmer ): 276, 552, 564, 660 a 966.[4] Stojí však za zmínku, že 276 může ve svém alikvotním sledu dosáhnout vysokého vrcholu a poté sestoupit; číslo 138 dosáhne vrcholu 179931895322, než se vrátí na 1.

Chlap a Selfridge věřte, že katalánsko-dicksonská domněnka je nepravdivá (domnívají se tedy, že některé alikvotní sekvence jsou neomezený výše (nebo se rozcházejí)).[5]

Od dubna 2015, bylo 898 pozitivních celých čísel menších než 100 000, jejichž alikvotní sekvence nebyly zcela stanoveny, a 9190 takových celých čísel menších než 1 000 000.[6]

Systematicky vyhledávat alikvotní sekvence

Alikvotní sekvenci lze reprezentovat jako a řízený graf, , pro dané celé číslo , kde označuje součet správných dělitelů .[7]Cykly v představují společenská čísla v intervalu . Dva speciální případy jsou smyčky, které představují perfektní čísla a cykly délky dva, které představují přátelské páry.

Viz také

Poznámky

  1. ^ Weisstein, Eric W. „Alikvotní sekvence“. MathWorld.
  2. ^ Sloane, N. J. A. (vyd.). "Pořadí A063769 (Aspirující čísla: čísla, jejichž alikvotní sekvence končí dokonalým číslem.)". The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
  3. ^ Weisstein, Eric W. „Katalánská domněnka o alikvotní posloupnosti“. MathWorld.
  4. ^ Creyaufmüller, Wolfgang (24. května 2014). „Lehmer Five“. Citováno 14. června 2015.
  5. ^ A. S. Mosunov, Co víme o alikvotních sekvencích?
  6. ^ Creyaufmüller, Wolfgang (29. dubna 2015). „Alikvotní stránky“. Citováno 14. června 2015.
  7. ^ Rocha, Rodrigo Caetano; Thatte, Bhalchandra (2015), Detekce distribuovaného cyklu ve velkých řídkých grafech, Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), doi:10.13140 / RG.2.1.1233.8640

Reference

  • Manuel Benito; Wolfgang Creyaufmüller; Juan Luis Varona; Paul Zimmermann. Alikvotní sekvence 3630 končí po dosažení 100 číslic. Experimentální matematika, sv. 11, č. 2, Natick, MA, 2002, s. 2. 201-206.
  • W. Creyaufmüller. Primzahlfamilien - Das Catalan'sche Problem und die Familien der Primzahlen im Bereich 1 až 3000 im Detail. Stuttgart 2000 (3. vydání), 327s.

externí odkazy