Dokonalé totient číslo - Perfect totient number - Wikipedia

v teorie čísel, a perfektní totient číslo je celé číslo to se rovná součtu jeho iterací totients. To znamená, že aplikujeme totient funkce na číslo n, aplikujte jej znovu na výsledný totient atd., dokud nedosáhnete čísla 1, a sečtěte výslednou posloupnost čísel; pokud se součet rovná n, pak n je perfektní totient číslo.

Například jich je šest kladná celá čísla méně než 9 a relativně prime k tomu, takže součet 9 je 6; existují dvě čísla menší než 6 a relativně k tomu primární, takže totient 6 je 2; a je zde jedno číslo menší než 2 a relativně k němu primární, takže totient 2 je 1; a 9 = 6 + 2 + 1, takže 9 je perfektní totient číslo.

Prvních pár dokonalých čísel totientů je

3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, ... (sekvence A082897 v OEIS ).

V symbolech se píše

${ displaystyle varphi ^ {i} (n) = left {{ begin {matrix} varphi (n) & { mbox {if}} i = 1 varphi ( varphi ^ {i- 1} (n)) & { mbox {jinak}} end {matrix}} vpravo.}$

pro iterovanou funkci totientu. Pak pokud C je celé číslo takové, že

${ displaystyle displaystyle varphi ^ {c} (n) = 2,}$

jeden to má n je perfektní totient číslo, pokud

${ displaystyle n = sum _ {i = 1} ^ {c + 1} varphi ^ {i} (n).}$

Násobky a síly tří

Lze pozorovat, že mnoho dokonalých totientů je násobkem 3; ve skutečnosti je 4375 nejmenší dokonalé totientové číslo, které není dělitelné 3. Všechny mocniny 3 jsou dokonalými totientními čísly, jak lze vidět na indukci pomocí skutečnosti, že

${ displaystyle displaystyle varphi (3 ^ {k}) = varphi (2 krát 3 ^ {k}) = 2 krát 3 ^ {k-1}.}$

Venkataraman (1975) našel další rodinu dokonalých totientů: pokud p = 4 × 3^k + 1 je prvočíslo, potom 3p je perfektní totient číslo. Hodnoty k vedoucí k dokonalému počtu totientů tímto způsobem jsou

0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, ... (sekvence A005537 v OEIS ).

Obecněji, pokud p je prvočíslo větší než 3 a 3p je tedy perfektní totient číslo p ≡ 1 (mod 4) (Mohan and Suryanarayana 1982). Ne vše p této formy vedou k dokonalým celkovým číslům; například 51 není dokonalé totient číslo. Iannucci a kol. (2003) ukázali, že pokud 9p je tedy perfektní totient číslo p je prvočíslo jedné ze tří konkrétních forem uvedených v jejich příspěvku. Není známo, zda existují dokonalá čísla totientů ve formuláři 3^kp kde p je hlavní a k > 3.

Reference

• Pérez-Cacho Villaverde, Laureano (1939). "Sobre la suma de indicadores de ordenes sucesivos". Revista Matematica Hispano-Americana. 5 (3): 45–50.

• Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel. New York: Springer-Verlag. str. §B41. ISBN  0-387-20860-7.

• Iannucci, Douglas E .; Deng, Moujie; Cohen, Graeme L. (2003). „Na dokonalých počtech totientů“ (PDF). Journal of Integer Sequences. 6 (4): 03.4.5. PAN  2051959.

• Luca, Florian (2006). „O distribuci dokonalých totientů“ (PDF). Journal of Integer Sequences. 9 (4): 06.4.4. PAN  2247943. Archivovány od originál (PDF) dne 11. 8. 2017. Citováno 2007-02-07.

• Mohan, A.L .; Suryanarayana, D. (1982). Msgstr "Dokonalé počty čísel". Teorie čísel (Mysore, 1981). Lecture Notes in Mathematics, roč. 938, Springer-Verlag. 101–105. PAN  0665442.

• Venkataraman, T. (1975). "Dokonalé číslo totientu". Student matematiky. 43: 178. PAN  0447089.

Tento článek včlení materiál od Perfect Totient Number dne PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.