Znásobte perfektní číslo - Multiply perfect number

Demonstrace, s Pruty Cuisenaire, 2-dokonalosti čísla 6

v matematika, a vynásobte dokonalé číslo (také zvaný vícenásobné číslo nebo pluperfect číslo) je zobecněním a perfektní číslo.

Za dané přirozené číslo k, číslo n je nazýván k-perfektní (nebo k-krát perfektní) kdyby a jen kdyby součet všech kladných dělitele z n (dále jen funkce dělitele, σ(n)) je rovný kn; číslo je tedy perfektní kdyby a jen kdyby je to 2-perfektní. Číslo, které je k- pro jistotu dokonalé k se nazývá znásobené dokonalé číslo. Od roku 2014, k-perfektní čísla jsou známa pro každou hodnotu k až 11.^[1]

Lze prokázat, že:

• Za dané prvočíslo p, pokud n je p-dokonalé a p nedělí n, pak pn je (p+1) - perfektní. To znamená, že celé číslo n je 3-dokonalé číslo dělitelné 2, ale ne 4, pokud a pouze pokud n/ 2 je liché perfektní číslo, z nichž žádný není znám.
• Pokud 3n je 4k-perfektní a 3 se nedělí n, pak n je 3k-perfektní.

Otevřenou otázkou je, zda všechny k-dokonalá čísla jsou dělitelná k!, kde „!“ je faktoriál.

Příklad

Dělitele 120 jsou 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 a 120. Jejich součet je 360, což se rovná ${ displaystyle 3 krát 120}$, takže 120 je 3 perfektní.

Nejmenší k- dokonalá čísla

Následující tabulka poskytuje přehled těch nejmenších k- dokonalá čísla pro k ≤ 11 (sekvence A007539 v OEIS ):

Vlastnosti

• Počet vícenásobných čísel menší než X je ${ displaystyle o (X ^ { epsilon})}$ pro všechna kladná ε.^[2]
• Jediné známé liché vícenásobné perfektní číslo je 1.^{[Citace je zapotřebí ]}

Specifické hodnoty k

Perfektní čísla

Číslo n s σ (n) = 2n je perfektní.

Triperfect čísla

Číslo n s σ (n) = 3n je triperfect. Liché triperfektní číslo musí přesáhnout 10⁷⁰ a mají alespoň 12 odlišných hlavních faktorů, největší přesahuje 10⁵.^[3]

Variace

Jednotné násobení dokonalých čísel

Kladné celé číslo n se nazývá a unitární multi k-perfektní číslo pokud σ^*(n) = kn. A jednotkové vynásobení dokonalého čísla je prostě unitární multi k-perfektní číslo pro nějaké kladné celé číslo k. Ekvivalentně jsou jednotná násobení dokonalých čísel n pro který n dělí σ^*(n). Unitární multi 2 perfektní číslo se přirozeně nazývá a jednotné dokonalé číslo. V případě k > 2, žádný příklad jednotného multi k- dokonalé číslo je dosud známé. Je známo, že pokud takové číslo existuje, musí být sudé a větší než 10¹⁰² a musí mít více než čtyřicet čtyři liché hlavní faktory. Tento problém je pravděpodobně velmi obtížné vyřešit.

Dělitel d kladného celého čísla n se nazývá a unitární dělitel pokud gcd (d, n/d) = 1. Koncept jednotného dělitele byl původně způsoben R. Vaidyanathaswamy (1931), který takový dělitel nazval blokovým faktorem. Za současnou terminologii stojí E. Cohen (1960). Součet (kladných) unitárních dělitelů n je označeno σ^*(n).

Dvojjednotkové násobení dokonalých čísel

Kladné celé číslo n se nazývá a bi-unitární multi k-perfektní číslo pokud σ^**(n) = kn. Tento koncept je způsoben Peterem Hagisem (1987). A bi-unitární násobení dokonalého čísla je prostě bi-unitární multi k-perfektní číslo pro nějaké kladné celé číslo k. Ekvivalentně, dvojjednotkové násobení dokonalých čísel jsou ty n pro který n dělí σ^**(n). Dvojjednotkové multi 2 perfektní číslo se přirozeně nazývá a dvoujednotkové dokonalé číslo, a bi-unitární multi 3-perfektní číslo se nazývá a bi-unitární triperfect číslo.

Dělitel d kladného celého čísla n se nazývá a dvoujednotkový dělitel z n pokud největší společný jednotný dělitel (gcud) z d a n/d rovná se 1. Tento koncept je způsoben D. Surynarayanou (1972). Součet (kladných) bi-unitárních dělitelů n je označeno σ^**(n).

Reference

Zdroje

• Broughan, Kevin A .; Zhou, Qizhi (2008). „Lichý multiperfektní počet hojnosti 4“ (PDF). J. Teorie čísel. 126 (6): 1566–1575. doi:10.1016 / j.jnt.2007.02.001. PAN  2419178.
• Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. B2. ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.
• Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020). "Bi-unitární multiperfektní čísla, já" (PDF). Poznámky Teorie čísel Diskrétní matematika. 26 (1): 93–171. doi:10,7546 / nntdm.2020.26.1.93-171.
• Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020). "Bi-unitární multiperfektní čísla, II" (PDF). Poznámky Teorie čísel Diskrétní matematika. 26 (2): 1–26. doi:10,7546 / nntdm.2020.26.2.1-26.
• Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020). „Bi-unitární multiperfektní čísla, III“ (PDF). Poznámky Teorie čísel Diskrétní matematika. 26 (3): 33–67. doi:10,7546 / nntdm.2020.26.3.33-67.
• Kishore, Masao (1987). „Lichá triperfektní čísla jsou dělitelná dvanácti odlišnými prvočísly“. J. Aust. Matematika. Soc. Ser. A. 42 (2): 173–182. doi:10.1017 / s1446788700028184. ISSN  0263-6115. Zbl  0612.10006.
• Laatsch, Richard (1986). Msgstr "Měření hojnosti celých čísel". Matematický časopis. 59 (2): 84–92. doi:10.2307/2690424. ISSN  0025-570X. JSTOR  2690424. PAN  0835144. Zbl  0601.10003.
• Merickel, James G. (1999). "Problém 10617 (Dělitelé součtu dělitelů)". Amer. Matematika. Měsíční. 106 (7): 693. doi:10.2307/2589515. JSTOR  2589515. PAN  1543520.
• Ryan, Richard F. (2003). "Jednodušší hustý důkaz týkající se indexu hojnosti". Matematika. Mag. 76 (4): 299–301. JSTOR  3219086. PAN  1573698.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav, vyd. (2004). Příručka teorie čísel II. Dordrecht: Kluwer Academic. str.32 –36. ISBN  1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, vyd. (2006). Příručka teorie čísel I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Sorli, Ronald M. (2003). Algoritmy při studiu multiperfektních a lichých dokonalých čísel (Disertační práce). Sydney: University of Technology. hdl:10453/20034.
• Weiner, Paul A. (2000). "Poměr hojnosti, míra dokonalosti". Matematika. Mag. 73 (4): 307–310. doi:10.1080 / 0025570x.2000.11996860. JSTOR  2690980. PAN  1573474.

externí odkazy

• Stránka Násobení dokonalých čísel
• Hlavní glosář: Znásobte perfektní čísla
• Špína, James. „Šest dokonalých čísel“ (video). Youtube. Brady Haran. Citováno 29. června 2018.