Mocné číslo - Powerful number

Demonstrace, s Pruty Cuisenaire, mocné povahy 1, 4, 8 a 9

A mocné číslo je kladné celé číslo m tak, že pro každého prvočíslo str dělení m, str² také rozděluje m. Ekvivalentně je silné číslo produktem a náměstí a a krychle, tj. číslo m formuláře m = A²b³, kde A a b jsou kladná celá čísla. Mocná čísla jsou také známá jako čtvercový, plný čtverecnebo 2-plné. Paul Erdős a George Szekeres studoval taková čísla a Solomon W. Golomb pojmenoval taková čísla silný.

Následuje seznam všech výkonných čísel od 1 do 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, ... (sekvence A001694 v OEIS ).

Ekvivalence těchto dvou definic

Li m = A²b³, pak každý prime v Prvočíselný rozklad z A se objeví v primární faktorizaci m s exponentem nejméně dvou a každý prvočíslo v prvočíselné faktorizaci b se objeví v primární faktorizaci m s exponentem nejméně tří; proto, m je silný.

V opačném směru, předpokládejme to m je silný, s primární faktorizací

${ displaystyle m = prod p_ {i} ^ { alpha _ {i}},}$

kde každý α_i ≥ 2. Definujte y_i být tři, pokud α_i je liché a jinak nula a definujte β_i = α_i − y_i. Poté všechny hodnoty β_i jsou nezáporná sudá celá čísla a všechny hodnoty γ_i jsou buď nula, nebo tři, takže

${ displaystyle m = left ( prod p_ {i} ^ { beta _ {i}} right) left ( prod p_ {i} ^ { gamma _ {i}} right) = left ( prod p_ {i} ^ { beta _ {i} / 2} vpravo) ^ {2} vlevo ( prod p_ {i} ^ { gamma _ {i} / 3} vpravo) ^ { 3}}$

dodává požadované zastoupení m jako produkt čtverce a krychle.

Neformálně, vzhledem k primární faktorizaci m, vzít b být produktem hlavních faktorů m které mají lichý exponent (pokud nejsou žádné, pak vezměte b být 1). Protože m je silný, každý primární faktor s lichým exponentem má exponent, který je alespoň 3, takže m/b³ je celé číslo. Kromě toho každý hlavní faktor m/b³ má sudý exponent, takže m/b³ je perfektní čtverec, tak tomu říkejte A²; pak m = A²b³. Například:

${ displaystyle m = 21600 = 2 ^ {5} krát 3 ^ {3} krát 5 ^ {2} ,,}$

${ displaystyle b = 2 krát 3 = 6 ,,}$

${ displaystyle a = { sqrt { frac {m} {b ^ {3}}}} = { sqrt {2 ^ {2} krát 5 ^ {2}}} = 10 ,,}$

${ displaystyle m = a ^ {2} b ^ {3} = 10 ^ {2} krát 6 ^ {3} ,.}$

Zastoupení m = A²b³ vypočtený tímto způsobem má vlastnost, která b je bez čtverce, a je jednoznačně definována touto vlastností.

Matematické vlastnosti

Součet převrácených čísel mocných čísel konverguje. Hodnotu této částky lze zapsat několika dalšími způsoby, například jako nekonečný produkt

${ displaystyle prod _ {p} left (1 + { frac {1} {p (p-1)}} right) = { frac { zeta (2) zeta (3)} { zeta (6)}} = { frac {315} {2 pi ^ {4}}} zeta (3),}$

kde str běží přes všechna prvočísla, ζ (s) označuje Funkce Riemann zeta, a ζ(3) je Apéryho konstanta.^[1]Obecněji je součet převrácených hodnot indexu sth mocniny mocných čísel (a Dirichletova řada generující funkce) se rovná

${ displaystyle { frac { zeta (2s) zeta (3s)} { zeta (6s)}}}$

kdykoli konverguje.

Nechat k(X) označuje počet mocných čísel v intervalu [1,X]. Pak k(X) je úměrný odmocnina z X. Přesněji,

${ displaystyle cx ^ {1/2} -3x ^ {1/3} leq k (x) leq cx ^ {1/2}, c = zeta (3/2) / zeta (3) = 2,173 ldots}$

(Golomb, 1970).

Dvě nejmenší po sobě jdoucí mocná čísla jsou 8 a 9. Protože Pellova rovnice X² − 8y² = 1 má nekonečně mnoho integrálních řešení, existuje nekonečně mnoho párů po sobě jdoucích mocných čísel (Golomb, 1970); obecněji lze najít po sobě jdoucí mocná čísla řešením podobné Pellovy rovnice X² − ny² = ±1 pro všechny dokonalá kostka n. Jedno ze dvou mocných čísel v páru takto vytvořeném však musí být čtverec. Podle Guy se Erdős zeptal, zda existuje nekonečně mnoho párů po sobě jdoucích mocných čísel, jako je (23³, 2³3²13²) ve kterém ani jedno číslo v páru není čtverec. Walker (1976) ukázal, že takových párů je skutečně nekonečně mnoho, tím, že to ukázal 3³C² + 1 = 7³d² má nekonečně mnoho řešení. Walkerova řešení této rovnice jsou generována pro jakékoli liché celé číslo k, s ohledem na počet

${ displaystyle (2 { sqrt {7}} + 3 { sqrt {3}}) ^ {7k} = a { sqrt {7}} + b { sqrt {3}},}$

pro celá čísla A dělitelné 7 a b dělitelné 3 a konstruování z A a b po sobě jdoucí mocná čísla 7A² a 3b² s 7A² = 1 + 3b²Nejmenší po sobě jdoucí pár v této rodině je generován pro k = 1, A = 2637362, a b = 4028637 tak jako

${ displaystyle 7 cdot 2637362 ^ {2} = 2 ^ {2} cdot 7 ^ {3} cdot 13 ^ {2} cdot 43 ^ {2} cdot 337 ^ {2} = 48689748233308}$

a

${ displaystyle 3 cdot 4028637 ^ {2} = 3 ^ {3} cdot 139 ^ {2} cdot 9661 ^ {2} = 48689748233307.}$

Nevyřešený problém v matematice: Mohou být tři po sobě jdoucí čísla silná? (více nevyřešených úloh z matematiky)

Je to dohad Erdőse, Mollina a Walsha, že neexistují žádná tři po sobě jdoucí mocná čísla.

Součty a rozdíly mocných čísel

Vizuální důkaz, že rozdíly po sobě jdoucích čtverců jsou po sobě jdoucí lichá čísla

Jakékoli liché číslo je rozdílem dvou po sobě následujících čtverců: (k + 1)² = k² + 2k + 1, takže (k + 1)² − k² = 2k + 1. Podobně jakýkoli násobek čtyř je rozdíl čtverců dvou čísel, která se liší dvěma: (k + 2)² − k² = 4k + 4. Nicméně, a jednotlivě sudé číslo, tj. číslo dělitelné dvěma, ale ne čtyřmi, nelze vyjádřit jako rozdíl čtverců. To motivuje otázku stanovení, která jednotlivá sudá čísla lze vyjádřit jako rozdíly mocných čísel. Golomb vystavoval některá reprezentace tohoto typu:

2 = 3³ − 5²

10 = 13³ − 3⁷

18 = 19² − 7³ = 3⁵ − 15².

Předpokládalo se, že 6 nemůže být tak zastoupeno, a Golomb se domníval, že existuje nekonečně mnoho celých čísel, která nelze reprezentovat jako rozdíl mezi dvěma mocnými čísly. Narkiewicz však ukázal, že 6 může být tak zastoupeno nekonečně mnoha způsoby, jako např

6 = 5⁴7³ − 463²,

a McDaniel ukázal, že každé celé číslo má nekonečně mnoho takových reprezentací (McDaniel, 1982).

Erdős domníval se, že každé dostatečně velké celé číslo je součtem nejvýše tří mocných čísel; toto bylo prokázáno Roger Heath-Brown (1987).

Zobecnění

Obecněji můžeme vzít v úvahu celá čísla, jejichž hlavní faktory mají alespoň exponenty k. Takové celé číslo se nazývá a k-mocné číslo, k- plné číslo, nebo k- celé číslo.

(2^k+1 − 1)^k,  2^k(2^k+1 − 1)^k,   (2^k+1 − 1)^k+1

jsou k- mocná čísla v aritmetický postup. Navíc pokud A₁, A₂, ..., A_s jsou k-výkonný v aritmetickém postupu se společným rozdílem d, pak

A₁(A_s + d)^k,  

A₂(A_s + d)^k, ..., A_s(A_s + d)^k, (A_s + d)^k+1

jsou s + 1 k-mocná čísla v aritmetickém postupu.

Máme identitu zahrnující k-mocná čísla:

A^k(A^l + ... + 1)^k + A^{k + 1}(A^l + ... + 1)^k + ... + A^{k + l}(A^l + ... + 1)^k = A^k(A^l + ... +1)^k+1.

To dává nekonečně mnoho l+ 1 n-tic z k-mocná čísla, jejichž součet je také k-silný. Nitaj ukazuje, že existuje nekonečně mnoho řešení X+y=z v relativně nejlepších 3 výkonných číslech (Nitaj, 1995). Cohn konstruuje nekonečnou rodinu řešení X+y=z v relativně hlavních ne mocných 3-mocných číslech takto: triplet

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

je řešení rovnice 32X³ + 49Y³ = 81Z³. Můžeme postavit další řešení nastavením X′ = X(49Y³ + 81Z³), Y′ = −Y(32X³ + 81Z³), Z′ = Z(32X³ − 49Y³) a vynecháním společného dělitele.

Viz také

• Achillovo číslo
• Vysoce výkonné číslo

Poznámky

Reference

• Cohn, J. H. E. (1998). „Dohad Erdőse o 3 mocných číslech“. Matematika. Comp. 67 (221): 439–440. doi:10.1090 / S0025-5718-98-00881-3.
• Erdős, Paul & Szekeres, George (1934). „Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem“. Acta Litt. Sci. Segedín. 7: 95–102.
• Golomb, Solomon W. (1970). "Výkonná čísla". Americký matematický měsíčník. 77 (8): 848–852. doi:10.2307/2317020. JSTOR  2317020.
• Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. Oddíl B16. ISBN  978-0-387-20860-2.
• Heath-Brown, Rogere (1988). "Ternární kvadratické tvary a součty tří čtverečních plných čísel". Séminaire de Théorie des Nombres, Paříž, 1986-7. Boston: Birkhäuser. str. 137–163.
• Heath-Brown, Roger (1990). "Součty tří čtverečních plných čísel". Teorie čísel, I (Budapešť, 1987). Colloq. Matematika. Soc. János Bolyai, č. 51. str. 163–171.
• Ivić, Aleksandar (1985). Riemannova zeta funkce. Teorie Riemannovy zeta funkce s aplikacemi. Publikace Wiley-Interscience. New York atd .: John Wiley & Sons. str. 33–34, 407–413. ISBN  978-0-471-80634-9. Zbl  0556.10026.
• McDaniel, Wayne L. (1982). "Reprezentace každého celého čísla jako rozdíl mocných čísel". Fibonacci čtvrtletně. 20: 85–87.
• Nitaj, Abderrahmane (1995). „Na domněnku Erdőse o 3 mocných číslech“. Býk. London Math. Soc. 27 (4): 317–318. CiteSeerX  10.1.1.24.563. doi:10.1112 / blms / 27.4.317.
• Walker, David T. (1976). „Po sobě jdoucí celočíselné páry mocných čísel a související diofantické rovnice“ (PDF). Fibonacciho čtvrtletně. 14 (2): 111–116. PAN  0409348.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

• Plné číslo na Encyclopedia of Mathematics.
• Weisstein, Eric W. „Výkonné číslo“. MathWorld.
• ABC domněnka
• OEIS posloupnost A060355 (čísla n taková, že n a n + 1 jsou dvojice po sobě jdoucích mocných čísel)