Vynikající vysoce složené číslo - Superior highly composite number

Funkce dělitele d(n) až do n = 250

Faktory primárního výkonu

v matematika, a vynikající vysoce složené číslo je přirozené číslo který má více dělitele než jakékoli jiné číslo měřítko vzhledem k nějaké kladné síle samotného čísla. Je to přísnější omezení než omezení a vysoce složené číslo, což je definováno jako mající více dělitelů než jakékoli menší kladné celé číslo.

Je uvedeno prvních 10 vynikajících vysoce složených čísel a jejich faktorizace.

Graf počtu dělitelů celých čísel od 1 do 1000. Vysoce složená čísla jsou označena tučně a vynikající vysoce složená čísla jsou označena hvězdičkou. v soubor SVG, umístěním kurzoru nad lištu zobrazíte její statistiky.

Pro vynikající vysoce složené číslo n existuje kladné reálné číslo ε taková, že pro všechna přirozená čísla k menší než n my máme

${ displaystyle { frac {d (n)} {n ^ { varepsilon}}} geq { frac {d (k)} {k ^ { varepsilon}}}}$

a pro všechna přirozená čísla k větší než n my máme

${ displaystyle { frac {d (n)} {n ^ { varepsilon}}}> { frac {d (k)} {k ^ { varepsilon}}}}$

kde d (n), funkce dělitele, označuje počet dělitelů n. Termín vytvořil Ramanujan (1915).

Prvních 15 vynikajících vysoce složených čísel, 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (sekvence A002201 v OEIS ) jsou také prvních 15 kolosálně hojná čísla, které splňují podobnou podmínku založenou spíše na funkci součtu dělitelů než na počtu dělitelů.

Vlastnosti

Eulerův diagram z hojný, primitivní hojný, velmi hojný, nadbytečný, kolosálně hojný, vysoce kompozitní, vynikající vysoce kompozitní, podivný a perfektní čísla pod 100 ve vztahu k nedostatečný a složená čísla

Všechna vynikající vysoce složená čísla jsou vysoce kompozitní.

Efektivní konstrukce množiny všech vynikajících vysoce složených čísel je dána následujícím monotónním mapováním z kladných reálných čísel.^[1] Nechat

${ displaystyle e_ {p} (x) = left lfloor { frac {1} {{ sqrt [{x}] {p}} - 1}} right rfloor quad}$

pro jakékoli prvočíslo p a pozitivní skutečné X. Pak

${ displaystyle quad s (x) = prod _ {p in mathbb {P}} p ^ {e_ {p} (x)} quad}$ je vynikající vysoce složené číslo.

Upozorňujeme, že produkt nemusí být počítán neomezeně dlouho, protože pokud ${ displaystyle p> 2 ^ {x}}$ pak ${ displaystyle e_ {p} (x) = 0}$, takže produkt k výpočtu ${ displaystyle s (x)}$ lze ukončit jednou ${ displaystyle p geq 2 ^ {x}}$.

Všimněte si také, že v definici ${ displaystyle e_ {p} (x)}$, ${ displaystyle 1 / x}$ je analogický k ${ displaystyle varepsilon}$ v implicitní definici vynikajícího vysoce složeného čísla.

Navíc pro každé vynikající vysoce složené číslo ${ displaystyle s ^ { prime}}$ existuje napůl otevřený interval ${ displaystyle I podmnožina mathbb {R} ^ {+}}$ takhle ${ displaystyle forall x in I: s (x) = s ^ { prime}}$ .

Tato reprezentace znamená, že existuje nekonečná posloupnost ${ displaystyle pi _ {1}, pi _ {2}, ldots in mathbb {P}}$ takové, že pro n- vynikající vysoce složené číslo ${ displaystyle s_ {n}}$ drží

${ displaystyle s_ {n} = prod _ {i = 1} ^ {n} pi _ {i}}$

První ${ displaystyle pi _ {i}}$ jsou 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... (sekvence A000705 v OEIS ). Jinými slovy, kvocient dvou po sobě jdoucích vyšších vysoce složených čísel je prvočíslo.

Vynikající vysoce kompozitní radices

Prvních několik vynikajících vysoce složených čísel bylo často používáno jako radice, kvůli jejich vysoké dělitelnosti pro jejich velikost. Například:

• Binární (základ 2)
• Senary (základ 6)
• Duodecimální (základ 12)
• Sexagesimal (základ 60)

Větší SHCN lze použít i jinými způsoby. 120 se zobrazí jako dlouhá stovka, zatímco číslo 360 se zobrazuje jako počet stupňů v kruhu.

Poznámky

Reference

• Ramanujan, S. (1915). „Vysoce složená čísla“ (PDF). Proc. London Math. Soc. Řada 2. 14: 347–409. doi:10.1112 / plms / s2_14.1.347. JFM  45.1248.01. Přetištěno Shromážděné dokumenty (Ed. G. H. Hardy a kol.), New York: Chelsea, s. 78–129, 1962
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, vyd. (2006). Příručka teorie čísel I. Dordrecht: Springer-Verlag. str. 45–46. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Vynikající vysoce složené číslo“. MathWorld.