Číslo Meertens - Meertens number

v teorie čísel a matematická logika, a Číslo Meertens v daném číselná základna ${ displaystyle b}$ je přirozené číslo to je jeho vlastní Gödelovo číslo. Bylo pojmenováno po Lambert Meertens podle Richard S. Bird jako dárek při oslavě svých 25 let v CWI, Amsterdam.^[1]

Definice

Nechat ${ displaystyle n}$ být přirozené číslo. Definujeme Meertensova funkce pro základnu ${ displaystyle b> 1}$ ${ displaystyle F_ {b}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ být následující:

{ displaystyle F_ {b} (n) = součet _ {i = 0} ^ {k-1} p_ {k-i-1} ^ {d_ {i}}.}

kde ${ displaystyle k = lfloor log _ {b} {n} rfloor +1}$ je počet číslic v čísle v základně ${ displaystyle b}$ , ${ displaystyle p_ {i}}$ je ${ displaystyle i}$ -prvočíslo, a

{ displaystyle d_ {i} = { frac {n { bmod {b ^ {i + 1}}} - n { bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

je hodnota každé číslice čísla. Přirozené číslo ${ displaystyle n}$ je Číslo Meertens pokud je to pevný bod pro ${ displaystyle F_ {b}}$ , který nastane, pokud ${ displaystyle F_ {b} (n) = n}$ . To odpovídá a Gödelovo kódování.

Například číslo 3020 v základně ${ displaystyle b = 4}$ je číslo Meertens, protože

{ displaystyle 3020 = 2 ^ {3} 3 ^ {0} 5 ^ {2} 7 ^ {0}}

.

Přirozené číslo ${ displaystyle n}$ je společenské číslo Meertens pokud je to periodický bod pro ${ displaystyle F_ {b}}$ , kde ${ displaystyle F_ {b} ^ {k} (n) = n}$ pro kladné celé číslo ${ displaystyle k}$ , a tvoří a cyklus období ${ displaystyle k}$ . Meertensovo číslo je společenské Meertensovo číslo s ${ displaystyle k = 1}$ a přátelské Meertensovo číslo je společenské číslo Meertens s ${ displaystyle k = 2}$ .

Počet iterací ${ displaystyle i}$ potřebné pro ${ displaystyle F_ {b} ^ {i} (n)}$ dosažení pevného bodu je funkce Meertens vytrvalost z ${ displaystyle n}$ , a nedefinováno, pokud nikdy nedosáhne pevného bodu.

Čísla a cykly Meertensů ${ displaystyle F_ {b}}$ pro konkrétní ${ displaystyle b}$

Všechna čísla jsou v základně ${ displaystyle b}$ .

${ displaystyle b}$	Meertensova čísla	Cykly	Komentáře
2	10, 110, 1010		${ displaystyle n <2 ^ {96}}$ ^[2]
3	101	11 → 20 → 11	${ displaystyle n <3 ^ {60}}$ ^[2]
4	3020	2 → 10 → 2	${ displaystyle n <4 ^ {48}}$ ^[2]
5	11, 3032000, 21302000		${ displaystyle n <5 ^ {41}}$ ^[2]
6	130	12 → 30 → 12	${ displaystyle n <6 ^ {37}}$ ^[2]
7	202		${ displaystyle n <7 ^ {34}}$ ^[2]
8	330		${ displaystyle n <8 ^ {32}}$ ^[2]
9	7810000		${ displaystyle n <9 ^ {30}}$ ^[2]
10	81312000		${ displaystyle n <10 ^ {29}}$ ^[2]
11	${ displaystyle varnothing}$		${ displaystyle n <11 ^ {44}}$ ^[2]
12	${ displaystyle varnothing}$		${ displaystyle n <12 ^ {40}}$ ^[2]
13	${ displaystyle varnothing}$		${ displaystyle n <13 ^ {39}}$ ^[2]
14	13310		${ displaystyle n <14 ^ {25}}$ ^[2]
15	${ displaystyle varnothing}$		${ displaystyle n <15 ^ {37}}$ ^[2]
16	12	2 → 4 → 10 → 2	${ displaystyle n <16 ^ {24}}$ ^[2]