Prvotní - Primorial
v matematika, a to zejména v teorie čísel, primitivní, označený „#“, je a funkce z přirozená čísla na přirozená čísla podobná faktoriál funkce, ale namísto postupného násobení kladných celých čísel se funkce pouze násobí prvočísla.
Název „prvotní“, vytvořený uživatelem Harvey Dubner, kreslí analogii k připraví podobně jako název „faktoriál“ faktory.
Definice prvočísel

Pro nth prvočíslo pn, primární pn# je definován jako produkt prvního n prvočísla:[1][2]
- ,
kde pk je kth prvočíslo. Například, p5# označuje produkt prvních 5 prvočísel:
Prvních pět prvenství pn# jsou:
Sekvence také zahrnuje p0# = 1 tak jako prázdný produkt. Asymptoticky, úvodníky pn# rostou podle:
kde Ó( ) je Malá O notace.[2]
Definice přirozených čísel

Obecně pro kladné celé číslo n, jeho prvotní, n #, je produktem prvočísel, která nejsou větší než n; to je[1][3]
- ,
kde π(n) je funkce počítání prvočísel (sekvence A000720 v OEIS ), který udává počet prvočísel ≤ n. To odpovídá:
Například 12 # představuje produkt těchto prvočísel ≤ 12:
Od té doby π(12) = 5, to lze vypočítat jako:
Zvažte prvních 12 hodnot n#:
- 1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.
Vidíme to pro kompozit n každý termín n# jednoduše duplikuje předchozí termín (n − 1)#, jak je uvedeno v definici. Ve výše uvedeném příkladu máme 12# = p5# = 11# protože 12 je složené číslo.
Primorials souvisí s prvním Čebyševova funkce, psaný ϑ(n) nebo θ(n) podle:
Od té doby ϑ(n) asymptoticky se blíží n pro velké hodnoty n, primiáře proto rostou podle:
Myšlenka znásobení všech známých prvočísel se vyskytuje v některých důkazech nekonečnost prvočísel, kde se používá k odvození existence dalšího prvočísla.
Vlastnosti
- Nechat a být dvě sousední prvočísla. Vzhledem k jakékoli , kde :
- Pro Primorial je známá následující aproximace:[5]
- .
- Dále:
- Pro , hodnoty jsou menší než ,[6] ale pro větší , hodnoty funkce překračují limit a nekonečně oscilovat později.
- Nechat být -té prime, tedy má přesně dělitele. Například, má 2 dělitele, má 4 dělitele, má 8 dělitelů a již má dělitele, protože 97 je 25. prime.
- Součet vzájemných hodnot prvočísla konverguje směrem ke konstantě
- The Engel expanze tohoto čísla vede k posloupnosti prvočísel (Viz (posloupnost A064648 v OEIS ))
- Podle Euklidova věta, se používá k prokázání nekonečnosti všech prvočísel.
Aplikace a vlastnosti
Při hledání hrají roli primárky prvočísla v aditivních aritmetických postupech. Například, 2236133941 + 23 # má za následek prvočíslo, začíná sekvencí třinácti nalezených prvočísel opakovaným přidáváním 23 # a končí znakem 5136341251. 23 # je také běžný rozdíl v aritmetických postupech patnácti a šestnácti prvočísel.
Každý vysoce složené číslo je produktem prvenství (např. 360 = 2 × 6 × 30).[7]
Primoriály jsou všechny celá čísla bez čtverců a každý z nich má více odlišností hlavní faktory než jakékoli menší číslo. Pro každého primátora nzlomek φ(n)/n je menší než pro jakékoli menší celé číslo, kde φ je Funkce Euler totient.
Žádný zcela multiplikativní funkce je definována svými hodnotami v prvočíslech, protože je definována svými hodnotami v prvočíslech, které lze obnovit dělením sousedních hodnot.
Základní systémy odpovídající prvenství (například základna 30, nesmí být zaměňována s systém počátečních čísel ) mají nižší podíl opakující se zlomky než jakákoli menší základna.
Každý primiář je a řídce totient číslo.[8]
The n-kompozitář a složené číslo n je produktem všech složených čísel až do včetně n.[9] The n-compositorial se rovná n-faktoriál děleno primárním n#. Skladatelé jsou
Vzhled
The Funkce Riemann zeta při kladných celých číslech lze vyjádřit více než jeden[11] pomocí primární funkce a Jordanova totientová funkce Jk(n):
Tabulka prvenství
n | n# | pn | pn#[12] | Primární prime ? | |
---|---|---|---|---|---|
pn# + 1[13] | pn# − 1[14] | ||||
0 | 1 | N / A | 1 | Ano | Ne |
1 | 1 | 2 | 2 | Ano | Ne |
2 | 2 | 3 | 6 | Ano | Ano |
3 | 6 | 5 | 30 | Ano | Ano |
4 | 6 | 7 | 210 | Ano | Ne |
5 | 30 | 11 | 2310 | Ano | Ano |
6 | 30 | 13 | 30030 | Ne | Ano |
7 | 210 | 17 | 510510 | Ne | Ne |
8 | 210 | 19 | 9699690 | Ne | Ne |
9 | 210 | 23 | 223092870 | Ne | Ne |
10 | 210 | 29 | 6469693230 | Ne | Ne |
11 | 2310 | 31 | 200560490130 | Ano | Ne |
12 | 2310 | 37 | 7420738134810 | Ne | Ne |
13 | 30030 | 41 | 304250263527210 | Ne | Ano |
14 | 30030 | 43 | 13082761331670030 | Ne | Ne |
15 | 30030 | 47 | 614889782588491410 | Ne | Ne |
16 | 30030 | 53 | 32589158477190044730 | Ne | Ne |
17 | 510510 | 59 | 1922760350154212639070 | Ne | Ne |
18 | 510510 | 61 | 117288381359406970983270 | Ne | Ne |
19 | 9699690 | 67 | 7858321551080267055879090 | Ne | Ne |
20 | 9699690 | 71 | 557940830126698960967415390 | Ne | Ne |
21 | 9699690 | 73 | 40729680599249024150621323470 | Ne | Ne |
22 | 9699690 | 79 | 3217644767340672907899084554130 | Ne | Ne |
23 | 223092870 | 83 | 267064515689275851355624017992790 | Ne | Ne |
24 | 223092870 | 89 | 23768741896345550770650537601358310 | Ne | Ano |
25 | 223092870 | 97 | 2305567963945518424753102147331756070 | Ne | Ne |
26 | 223092870 | 101 | 232862364358497360900063316880507363070 | Ne | Ne |
27 | 223092870 | 103 | 23984823528925228172706521638692258396210 | Ne | Ne |
28 | 223092870 | 107 | 2566376117594999414479597815340071648394470 | Ne | Ne |
29 | 6469693230 | 109 | 279734996817854936178276161872067809674997230 | Ne | Ne |
30 | 6469693230 | 113 | 31610054640417607788145206291543662493274686990 | Ne | Ne |
31 | 200560490130 | 127 | 4014476939333036189094441199026045136645885247730 | Ne | Ne |
32 | 200560490130 | 131 | 525896479052627740771371797072411912900610967452630 | Ne | Ne |
33 | 200560490130 | 137 | 72047817630210000485677936198920432067383702541010310 | Ne | Ne |
34 | 200560490130 | 139 | 10014646650599190067509233131649940057366334653200433090 | Ne | Ne |
35 | 200560490130 | 149 | 1492182350939279320058875736615841068547583863326864530410 | Ne | Ne |
36 | 200560490130 | 151 | 225319534991831177328890236228992001350685163362356544091910 | Ne | Ne |
37 | 7420738134810 | 157 | 35375166993717494840635767087951744212057570647889977422429870 | Ne | Ne |
38 | 7420738134810 | 163 | 5766152219975951659023630035336134306565384015606066319856068810 | Ne | Ne |
39 | 7420738134810 | 167 | 962947420735983927056946215901134429196419130606213075415963491270 | Ne | Ne |
40 | 7420738134810 | 173 | 166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989710 | Ne | Ne |
Viz také
Poznámky
- ^ A b Weisstein, Eric W. "Primorial". MathWorld.
- ^ A b (sekvence A002110 v OEIS )
- ^ (sekvence A034386 v OEIS )
- ^ Weisstein, Eric W. "Čebyševovy funkce". MathWorld.
- ^ G. H. Hardy, E. M. Wright: Úvod do teorie čísel. 4. vydání. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.
Věta 415, s. 341 - ^ L. Schoenfeld: Ostřejší hranice pro Čebyševovy funkce a . II. Matematika. Comp. Sv. 34, č. 134 (1976) 337–360; str. 359.
Citováno v: G. Robin: Odhad de la fonction de Tchebychef sur le -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction , nombre de diviseurs premiers de . Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731 kB ); str. 371 - ^ Sloane, N. J. A. (vyd.). "Pořadí A002182 (vysoce složená čísla)". The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
- ^ Masser, D.W.; Shiu, P. (1986). „Na řídce totient čísla“. Pac. J. Math. 121 (2): 407–426. doi:10.2140 / pjm.1986.121.407. ISSN 0030-8730. PAN 0819198. Zbl 0538.10006.
- ^ Wells, David (2011). Prime Numbers: Nejzáhadnější postavy v matematice. John Wiley & Sons. str. 29. ISBN 9781118045718. Citováno 16. března 2016.
- ^ Sloane, N. J. A. (vyd.). "Pořadí A036691 (skladatelská čísla: součin prvních n složených čísel.)". The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
- ^ Mező, István (2013). "Funkce Primorial a Riemann zeta". Americký matematický měsíčník. 120 (4): 321.
- ^ http://planetmath.org/TableOfTheFirst100Primorials
- ^ Sloane, N. J. A. (vyd.). "Pořadí A014545 (prvotní plus 1 primární indexy)". The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
- ^ Sloane, N. J. A. (vyd.). „Sequence A057704 (Primorial - 1 prime indexices)“. The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
Reference
- Dubner, Harvey (1987). "Faktoriální a primitivní prvočísla". J. Recr. Matematika. 19: 197–203.
- Spencer, Adam „Top 100“, číslo 59, část 4.