Čtvercové trojúhelníkové číslo - Square triangular number

Čtvercové trojúhelníkové číslo 36 zobrazené jako trojúhelníkové číslo a jako čtvercové číslo.

v matematika, a čtvercové trojúhelníkové číslo (nebo trojúhelníkové čtvercové číslo) je číslo, které je a trojúhelníkové číslo a a perfektní čtverec. Existují nekonečně mnoho čtvercová trojúhelníková čísla; prvních pár je:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (sekvence A001110 v OEIS )

Explicitní vzorce

Psát si $N k$ pro $k$ čtvercové trojúhelníkové číslo a napište $s k$ a $t k$ pro strany příslušného čtverce a trojúhelníku, takže

{ displaystyle N_ {k} = s_ {k} ^ {2} = { frac {t_ {k} (t_ {k} +1)} {2}}.}

Definujte trojúhelníkový kořen trojúhelníkového čísla $N = n (n + 1) / 2$ být $n$ . Z této definice a kvadratického vzorce

{ displaystyle n = { frac {{ sqrt {8N + 1}} - 1} {2}}.}

Proto, $N$ je trojúhelníkový ( $n$ je celé číslo) kdyby a jen kdyby $8 N + 1$ je čtverec. V důsledku toho čtvercové číslo $M 2$ je také trojúhelníkový právě tehdy $8 M 2 + 1$ je čtverec, to znamená, že existují čísla $X$ a $y$ takhle $X 2 - 8 y 2 = 1$ . Toto je instance Pellova rovnice s $n = 8$ . Všechny Pellovy rovnice mají triviální řešení $X = 1, y = 0$ pro všechny $n$ ; toto se nazývá nulté řešení a indexuje se jako $(X 0, y 0) = (1,0)$ . Li $(X k, y k)$ označuje $k$ netriviální řešení jakékoli Pellovy rovnice pro konkrétní $n$ , lze to ukázat metodou sestupu, že

{ displaystyle { begin {sladěno} x_ {k + 1} & = 2x_ {k} x_ {1} -x_ {k-1}, y_ {k + 1} & = 2y_ {k} x_ {1 } -y_ {k-1}. end {zarovnáno}}}

Proto existuje nekonečno řešení jakékoli Pellovy rovnice, pro kterou existuje jedna netriviální, která platí kdykoli $n$ není čtverec. První netriviální řešení, když $n = 8$ je snadné najít: je (3,1). Řešení $(X k, y k)$ k Pellově rovnici pro $n = 8$ získá čtvercové trojúhelníkové číslo a jeho čtvercové a trojúhelníkové kořeny takto:

{ displaystyle s_ {k} = y_ {k}, quad t_ {k} = { frac {x_ {k} -1} {2}}, quad N_ {k} = y_ {k} ^ {2 }.}

Proto je první čtvercové trojúhelníkové číslo, odvozené od (3,1), 1, a další, odvozené od 6 × (3,1) − (1,0) = (17,6), je 36.

Sekvence $N k$ , $s k$ a $t k$ jsou OEIS sekvence OEIS: A001110, OEIS: A001109, a OEIS: A001108 resp.

V roce 1778 Leonhard Euler stanovil explicitní vzorec^[1]^[2]^:12–13

{ displaystyle N_ {k} = left ({ frac { left (3 + 2 { sqrt {2}} right) ^ {k} - left (3-2 { sqrt {2}} vpravo) ^ {k}} {4 { sqrt {2}}}} vpravo) ^ {2}.}

Jiné ekvivalentní vzorce (získané rozšířením tohoto vzorce), které mohou být vhodné, zahrnují

{ displaystyle { begin {aligned} N_ {k} & = { tfrac {1} {32}} left ( left (1 + { sqrt {2}} right) ^ {2k} - left (1 - { sqrt {2}} right) ^ {2k} right) ^ {2} & = { tfrac {1} {32}} left ( left (1 + { sqrt { 2}} right) ^ {4k} -2+ left (1 - { sqrt {2}} right) ^ {4k} right) & = { tfrac {1} {32}} left ( left (17 + 12 { sqrt {2}} right) ^ {k} -2+ left (17-12 { sqrt {2}} right) ^ {k} right). konec {zarovnáno}}}

Odpovídající explicitní vzorce pro $s k$ a $t k$ jsou:^[2]^:13

{ displaystyle { begin {aligned} s_ {k} & = { frac { left (3 + 2 { sqrt {2}} right) ^ {k} - left (3-2 { sqrt { 2}} right) ^ {k}} {4 { sqrt {2}}}}, t_ {k} & = { frac { left (3 + 2 { sqrt {2}} right ) ^ {k} + doleva (3-2 { sqrt {2}} doprava) ^ {k} -2} {4}}. end {zarovnáno}}}

Pellova rovnice

Problém s nalezením čtvercových trojúhelníkových čísel se zmenší na Pellova rovnice následujícím způsobem.^[3]

Každé trojúhelníkové číslo má tvar $t (t + 1) / 2$ . Hledáme proto celá čísla $t$ , $s$ takhle

{ displaystyle { frac {t (t + 1)} {2}} = s ^ {2}.}

Přeskupením se to stane

{ displaystyle left (2t + 1 right) ^ {2} = 8s ^ {2} +1,}

a pak nechat $X = 2 t + 1$ a $y = 2 s$ , dostaneme Diophantine rovnice

{ displaystyle x ^ {2} -2r ^ {2} = 1,}

což je instance Pellova rovnice. Tuto konkrétní rovnici řeší Pell čísla $P k$ tak jako^[4]

{ displaystyle x = P_ {2k} + P_ {2k-1}, quad y = P_ {2k};}

a proto jsou všechna řešení dána

{ displaystyle s_ {k} = { frac {P_ {2k}} {2}}, quad t_ {k} = { frac {P_ {2k} + P_ {2k-1} -1} {2} }, quad N_ {k} = left ({ frac {P_ {2k}} {2}} right) ^ {2}.}

O číslech Pell existuje mnoho identit, které se promítají do identit čtvercových trojúhelníkových čísel.

Vztahy opakování

Existují relace opakování pro čtvercová trojúhelníková čísla, stejně jako pro strany čtverce a trojúhelníku. My máme^[5]^:(12)

{ displaystyle { begin {aligned} N_ {k} & = 34N_ {k-1} -N_ {k-2} +2, & { text {with}} N_ {0} & = 0 { text { and}} N_ {1} = 1; N_ {k} & = left (6 { sqrt {N_ {k-1}}} - { sqrt {N_ {k-2}}} right) ^ {2}, & { text {with}} N_ {0} & = 0 { text {and}} N_ {1} = 1. End {zarovnáno}}}

My máme^[1]^[2]^:13

{ displaystyle { begin {aligned} s_ {k} & = 6s_ {k-1} -s_ {k-2}, & { text {with}} s_ {0} & = 0 { text {and} } s_ {1} = 1; t_ {k} & = 6t_ {k-1} -t_ {k-2} +2, & { text {with}} t_ {0} & = 0 { text {and}} t_ {1} = 1. end {aligned}}}

Další charakterizace

Všechna čtvercová trojúhelníková čísla mají tvar $b 2 C 2$ , kde $b / C$ je konvergentní do pokračující rozšiřování frakcí z √2.^[6]

A. V. Sylwester poskytl krátký důkaz, že existuje nekonečno čtvercových trojúhelníkových čísel:^[7] Pokud $n$ th trojúhelníkové číslo $n (n + 1) / 2$ je čtverec, pak je také větší $4 n (n + 1)$ th trojúhelníkové číslo, protože:

{ displaystyle { frac {{ bigl (} 4n (n + 1) { bigr)} { bigl (} 4n (n + 1) +1 { bigr)}} {2}} = 4 , { frac {n (n + 1)} {2}} , doleva (2n + 1 doprava) ^ {2}.}

Jako produkt tří čtverců je pravá strana čtvercová. Trojúhelníkové kořeny $t k$ jsou střídavě současně jeden menší než čtverec a dvakrát čtverec, pokud $k$ je sudý a současně čtverec a jeden méně než dvakrát čtverec, pokud $k$ je zvláštní. Tím pádem,

49 = 7² = 2 × 5² − 1,

288 = 17² − 1 = 2 × 12², a

1681 = 41² = 2 × 29² − 1.

V obou případech se dvě druhé odmocniny, které jsou zapojeny, vynásobí $s k$ : 5 × 7 = 35, 12 × 17 = 204, a 29 × 41 = 1189.^{[Citace je zapotřebí ]}

Dodatečně:

{ displaystyle N_ {k} -N_ {k-1} = s_ {2k-1};}

36 − 1 = 35, 1225 − 36 = 1189, a 41616 − 1225 = 40391. Jinými slovy, rozdíl mezi dvěma po sobě následujícími čtvercovými trojúhelníkovými čísly je druhá odmocnina jiného čtvercového trojúhelníkového čísla.^{[Citace je zapotřebí ]}

Funkce generování čtvercových trojúhelníkových čísel je:^[8]

{ displaystyle { frac {1 + z} {(1-z) vlevo (z ^ {2} -34z + 1 vpravo)}} = 1 + 36z + 1225z ^ {2} + cdots}

Číselné údaje

Tak jako $k$ poměr se zvětší $t k / s k$ přístupy √2 ≈ 1.41421356a poměr postupných čtvercových trojúhelníkových čísel se blíží (1 + √2)⁴ = 17 + 12√2 ≈ 33.970562748. V tabulce níže jsou uvedeny hodnoty $k$ mezi 0 a 11, které zahrnují všechna čtvercová trojúhelníková čísla až do 10¹⁶.

$k$	$N k$	$s k$	$t k$	$t k / s k$	$N k / N k - 1$
0	0	0	0	$t k / s k$
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1.33333333	36
3	1225	35	49	1.4	34.027777778
4	41616	204	288	1.41176471	33.972244898
5	1413721	1189	1681	1.41379310	33.970612265
6	48024900	6930	9800	1.41414141	33.970564206
7	1631432881	40391	57121	1.41420118	33.970562791
8	55420693056	235416	332928	1.41421144	33.970562750
9	1882672131025	1372105	1940449	1.41421320	33.970562749
10	63955431761796	7997214	11309768	1.41421350	33.970562748
11	2172602007770041	46611179	65918161	1.41421355	33.970562748

Viz také

Dělová koule problém, na číslech, která jsou současně čtvercová a čtvercová pyramidová
Šestá síla, čísla, která jsou současně čtvercová a krychlová

Poznámky

^ ^A ^b Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. Dějiny teorie čísel. 2. Providence: Americká matematická společnost. p. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.
^ ^A ^b ^C Euler, Leonhard (1813). „Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (Jednoduché pravidlo pro diofantické problémy, které je třeba rychle vyřešit pomocí celých čísel)“. Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (v latině). 4: 3–17. Citováno 2009-05-11. Podle záznamů byl představen Petrohradské akademii 4. května 1778.
^ Barbeau, Edward (2003). Pellova rovnice. Problémové knihy z matematiky. New York: Springer. str.16 –17. ISBN 978-0-387-95529-2. Citováno 2009-05-10.
^ Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). Úvod do teorie čísel (5. vydání). Oxford University Press. p.210. ISBN 0-19-853171-0. Věta 244
^ Weisstein, Eric W. „Čtvercové trojúhelníkové číslo“. MathWorld.
^ Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987). Matematické rekreace a eseje. New York: Dover Publications. p.59. ISBN 978-0-486-25357-2.
^ Pietenpol, J. L .; Sylwester, A. V .; Jen, Erwin; Warten, R. M. (únor 1962). „Základní problémy a řešení: E 1473, čtvercová trojúhelníková čísla“. Americký matematický měsíčník. Mathematical Association of America. 69 (2): 168–169. doi:10.2307/2312558. ISSN 0002-9890. JSTOR 2312558.
^ Plouffe, Simon (Srpen 1992). "1031 Generování funkcí" (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combineatoire et d'informatique mathématique. p. A.129. Citováno 2009-05-11.

externí odkazy

[Dickson-1] A ^b Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. Dějiny teorie čísel. 2. Providence: Americká matematická společnost. p. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.

[Euler-2] A ^b ^C Euler, Leonhard (1813). „Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (Jednoduché pravidlo pro diofantické problémy, které je třeba rychle vyřešit pomocí celých čísel)“. Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (v latině). 4: 3–17. Citováno 2009-05-11. Podle záznamů byl představen Petrohradské akademii 4. května 1778.

[3] Barbeau, Edward (2003). Pellova rovnice. Problémové knihy z matematiky. New York: Springer. str.16 –17. ISBN 978-0-387-95529-2. Citováno 2009-05-10.

[4] Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). Úvod do teorie čísel (5. vydání). Oxford University Press. p.210. ISBN 0-19-853171-0. Věta 244

[5] Weisstein, Eric W. „Čtvercové trojúhelníkové číslo“. MathWorld.

[Ball-6] Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987). Matematické rekreace a eseje. New York: Dover Publications. p.59. ISBN 978-0-486-25357-2.

[Sylwester-7] Pietenpol, J. L .; Sylwester, A. V .; Jen, Erwin; Warten, R. M. (únor 1962). „Základní problémy a řešení: E 1473, čtvercová trojúhelníková čísla“. Americký matematický měsíčník. Mathematical Association of America. 69 (2): 168–169. doi:10.2307/2312558. ISSN 0002-9890. JSTOR 2312558.

[8] Plouffe, Simon (Srpen 1992). "1031 Generování funkcí" (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combineatoire et d'informatique mathématique. p. A.129. Citováno 2009-05-11.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]