Přátelské číslo - Friendly number - Wikipedia

v teorie čísel, přátelská čísla jsou dva nebo více přirozená čísla se společným hojnost index, poměr mezi součtem dělitele čísla a samotného čísla. Dvě čísla se stejnou „hojností“ tvoří a přátelský pár; n čísla se stejnou "hojností" tvoří a přátelský n-tuple.

Být vzájemně přátelský je vztah ekvivalence, a tím indukuje a rozdělit pozitivních přírodních látek do kluby (třídy ekvivalence ) vzájemně „přátelských čísel“.

Volá se číslo, které není součástí žádného přátelského páru osamělý.

Index "hojnosti" n je racionální číslo σ (n) / n, ve kterém σ označuje součet funkce dělitelů. Číslo n je „přátelské číslo“, pokud existuje m ≠ n takové, že σ (m) / m = σ (n) / n. „Hojnost“ není totéž jako hojnost, který je definován jako σ (n) − 2n.

„Hojnost“ lze také vyjádřit jako ${ displaystyle sigma _ {- ! 1} (n)}$ kde ${ displaystyle sigma _ {k}}$ označuje funkci dělitele pomocí ${ displaystyle sigma _ {k} (n)}$ rovnající se součtu k-té pravomoci dělitelů n.

Čísla 1 až 5 jsou osamělá. Nejmenší „přátelské číslo“ je 6, tvořící například „přátelský“ pár 6 a 28 s „hojností“ σ (6) / 6 = (1 + 2 + 3 + 6) / 6 = 2, stejně jako σ (28) / 28 = (1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28) / 28 = 2. Sdílená hodnota 2 je v tomto případě celé číslo, ale v mnoha jiných případech ne. Čísla s "hojností" 2 jsou také známá jako perfektní čísla. Existuje několik nevyřešených problémů týkajících se „přátelských čísel“.

Navzdory podobnosti v názvu neexistuje žádný konkrétní vztah mezi přátelskými čísly a přátelská čísla nebo společenská čísla, ačkoli definice posledních dvou zahrnuje také funkci dělitele.

Příklady

Jako další příklad tvoří 30 a 140 přátelský pár, protože 30 a 140 mají stejnou „hojnost“:

${ displaystyle { tfrac { sigma (30)} {30}} = { tfrac {1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30} {30}} = { tfrac {72} { 30}} = { tfrac {12} {5}}}$

${ displaystyle { tfrac { sigma (140)} {140}} = { tfrac {1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 10 + 14 + 20 + 28 + 35 + 70 + 140} {140}} = { tfrac {336} {140}} = { tfrac {12} {5}}.}$

Čísla 2480, 6200 a 40640 jsou také členy tohoto klubu, protože každý z nich má „hojnost“ rovnou 12/5.

Pro příklad zvláštní čísla jsou přátelská, zvažte 135 a 819 („hojnost“ 16/9). Existují také případy, že jsou dokonce „přátelští“ k lichým, například 42 a 544635 („hojnost“ 16/7). Lichý „přítel“ může být menší než sudý, jako v 84729645 a 155315394 („hojnost“ 896/351).

A číslo umocněné na druhou mohou být přátelské, například 693479556 (čtverec 26334) a 8640 mají „hojnost“ 127/36 (tento příklad je akreditován Deanovi Hickersonovi).

Stav pro malé n

Modrá čísla jsou dokázal přátelský (sekvence A074902 v OEIS ), tmavě červená čísla jsou dokázal osamělý (sekvence A095739 v OEIS ), čísla n takhle n a ${ displaystyle sigma (n)}$ jsou coprime (sekvence A014567 v OEIS ) zde nejsou zbarvené tmavě, i když je o nich známo, že jsou osamělé. Ostatní čísla mají neznámý stav a jsou zvýrazněna žlutě.

n	${ displaystyle sigma (n)}$	${ displaystyle { frac { sigma (n)} {n}}}$		n	${ displaystyle sigma (n)}$	${ displaystyle { frac { sigma (n)} {n}}}$		n	${ displaystyle sigma (n)}$	${ displaystyle { frac { sigma (n)} {n}}}$		n	${ displaystyle sigma (n)}$	${ displaystyle { frac { sigma (n)} {n}}}$
1	1	1		37	38	38/37		73	74	74/73		109	110	110/109
2	3	3/2		38	60	30/19		74	114	57/37		110	216	108/55
3	4	4/3		39	56	56/39		75	124	124/75		111	152	152/111
4	7	7/4		40	90	9/4		76	140	35/19		112	248	31/14
5	6	6/5		41	42	42/41		77	96	96/77		113	114	114/113
6	12	2		42	96	16/7		78	168	28/13		114	240	40/19
7	8	8/7		43	44	44/43		79	80	80/79		115	144	144/115
8	15	15/8		44	84	21/11		80	186	93/40		116	210	105/58
9	13	13/9		45	78	26/15		81	121	121/81		117	182	14/9
10	18	9/5		46	72	36/23		82	126	63/41		118	180	90/59
11	12	12/11		47	48	48/47		83	84	84/83		119	144	144/119
12	28	7/3		48	124	31/12		84	224	8/3		120	360	3
13	14	14/13		49	57	57/49		85	108	108/85		121	133	133/121
14	24	12/7		50	93	93/50		86	132	66/43		122	186	93/61
15	24	8/5		51	72	24/17		87	120	40/29		123	168	56/41
16	31	31/16		52	98	49/26		88	180	45/22		124	224	56/31
17	18	18/17		53	54	54/53		89	90	90/89		125	156	156/125
18	39	13/6		54	120	20/9		90	234	13/5		126	312	52/21
19	20	20/19		55	72	72/55		91	112	16/13		127	128	128/127
20	42	21/10		56	120	15/7		92	168	42/23		128	255	255/128
21	32	32/21		57	80	80/57		93	128	128/93		129	176	176/129
22	36	18/11		58	90	45/29		94	144	72/47		130	252	126/65
23	24	24/23		59	60	60/59		95	120	24/19		131	132	132/131
24	60	5/2		60	168	14/5		96	252	21/8		132	336	28/11
25	31	31/25		61	62	62/61		97	98	98/97		133	160	160/133
26	42	21/13		62	96	48/31		98	171	171/98		134	204	102/67
27	40	40/27		63	104	104/63		99	156	52/33		135	240	16/9
28	56	2		64	127	127/64		100	217	217/100		136	270	135/68
29	30	30/29		65	84	84/65		101	102	102/101		137	138	138/137
30	72	12/5		66	144	24/11		102	216	36/17		138	288	48/23
31	32	32/31		67	68	68/67		103	104	104/103		139	140	140/139
32	63	63/32		68	126	63/34		104	210	105/52		140	336	12/5
33	48	16/11		69	96	32/23		105	192	64/35		141	192	64/47
34	54	27/17		70	144	72/35		106	162	81/53		142	216	108/71
35	48	48/35		71	72	72/71		107	108	108/107		143	168	168/143
36	91	91/36		72	195	65/24		108	280	70/27		144	403	403/144

Osamělá čísla

Číslo, které patří do jediného klubu, protože žádné jiné číslo s ním není „přátelské“, je osamělé číslo. Je známo, že všechna prvočísla jsou osamělá, stejně jako mocniny prvočísel. Obecněji, pokud jsou čísla n a σ (n) jsou coprime - což znamená, že největší společný dělitel z těchto čísel je 1, takže σ (n)/n je neredukovatelný zlomek - pak číslo n je osamělý (sekvence A014567 v OEIS ). Pro prvočíslo str máme σ (str) = str + 1, který je co-prime s str.

Není známa žádná obecná metoda pro určení, zda je číslo „přátelské“ nebo osamělé. Nejmenší číslo, jehož klasifikace není známa, je 10; předpokládá se, že je osamělý. Pokud tomu tak není, je jeho nejmenší přítel alespoň ${ displaystyle 10 ^ {30}}$.^[1][2] Malá čísla s relativně velkým nejmenším přítelem skutečně existují: například 24 je „přátelských“, přičemž jejich nejmenší přítel je 91 963 648.^[1][2]

Velké kluby

Je otevřeným problémem, zda existují nekonečně velké kluby vzájemně „přátelských“ čísel. The perfektní čísla vytvořit klub a předpokládá se, že jich je nekonečně mnoho perfektní čísla (alespoň tolik, kolik jich je Mersenne připraví ), ale není znám žádný důkaz. Od prosince 2018^{[Aktualizace]}Je známo 51 dokonalých čísel, z nichž největší má více než 49 milionů číslic desetinný notace. Existují kluby se známějšími členy: zejména ty, které tvoří vynásobte dokonalá čísla, což jsou čísla, jejichž „hojnost“ je celé číslo. Na začátku roku 2013 má klub „přátelských“ čísel s „hojností“ rovnou 2094 známých členů.^[3] I když o některých je známo, že jsou poměrně velké, kluby s násobením dokonalých čísel (kromě samotných dokonalých čísel) se domnívají, že jsou konečné.

Asymptotická hustota

Každý pár A, b přátelských čísel vede k pozitivnímu poměru všech přirozených čísel, která jsou přátelská (ale v různých klubech), a to zohledněním párů na, poznámka pro multiplikátory n s gcd (n, ab) = 1. Například z „primitivního“ přátelského páru 6 a 28 vzniknou přátelské páry 6n a 28n pro všechny n to jsou shodný na 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37 nebo 41 modulo 42.^[4]

To ukazuje, že přirozená hustota přátelských čísel (pokud existuje) je kladné.

Anderson a Hickerson navrhli, aby hustota měla být ve skutečnosti 1 (nebo ekvivalentně by hustota osamělých čísel měla být 0).^[4]. Podle MathWorld článek na Osamělé číslo (viz část Odkazy níže), toto dohad nebyl vyřešen, ačkoli Pomerance v jednu chvíli si myslel, že to vyvrátil.

Poznámky

Reference

• Weisstein, Eric W. "Přátelské číslo". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Přátelský pár". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Osamělé číslo“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Hojnost". MathWorld.