Šestá síla - Sixth power

v aritmetický a algebra the šestý Napájení čísla n je výsledkem násobení šesti instancí n spolu. Tak:

n⁶ = n × n × n × n × n × n.

Šestá síla může být vytvořena vynásobením čísla jeho pátá síla, vynásobením náměstí čísla podle jeho čtvrtá síla, krychlemi čtverce nebo čtvercem a krychle.

Posloupnost šestých mocností celá čísla je:

0, 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561, 2985984, 4826809, 7529536, 11390625, 16777216, 24137569, 34012224, 47045881, 64000000, 85766121, 113579904, 143510 244140625, 308915776, 387420489, 481890304, ... (sekvence A001014 v OEIS )

Zahrnují významné desetinný čísla 10⁶ (A milión ), 100⁶ (A krátký bilion a dlouhodobá miliarda) a 1 000⁶ (A rozsáhlý bilion ).

Čtverce a kostky

Šestou mocninu celých čísel lze charakterizovat jako čísla, která jsou současně čtverci a kostkami.^[1] Tímto způsobem souvisí s dalšími dvěma třídami figurativní čísla: čtvercová trojúhelníková čísla, které jsou současně čtvercové a trojúhelníkové, a řešení dělová koule problém, které jsou současně čtvercové a čtvercové pyramidové.

Vzhledem k jejich spojení se čtverci a kostkami hraje šestá mocnost důležitou roli při studiu Mordellovy křivky, což jsou eliptické křivky formuláře

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + k.}$

Když ${ displaystyle k}$ je dělitelná šestou mocninou, lze tuto rovnici zmenšit dělením touto mocninou, abychom získali jednodušší rovnici stejné formy. Známý výsledek v teorii čísel, prokázaný Rudolf Fueter a Louis J. Mordell, uvádí, že když ${ displaystyle k}$ je celé číslo, které není dělitelné šestou mocninou (kromě výjimečných případů ${ displaystyle k = 1}$ a ${ displaystyle k = -432}$), tato rovnice nemá racionální řešení s oběma ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ nenulové nebo nekonečně mnoho z nich.^[2]

V archaická notace z Robert Recorde, šestá síla čísla byla nazývána „zenzicube“, což znamená čtverec krychle. Podobně nota pro šesté pravomoci použitá ve 12. století Indická matematika podle Bhāskara II také jim říkal buď čtverec kostky, nebo kostka čtverce.^[3]

Součty

Existuje řada známých příkladů šestých mocností, které lze vyjádřit jako součet sedmi dalších šestých mocností, ale dosud nejsou známy žádné příklady šesté moci vyjádřené jako součet pouhých šesti šestých mocností.^[4] Díky tomu je jedinečný mezi mocnostmi s exponentem k = 1, 2, ..., 8, ostatní lze vyjádřit jako součet k jiný k-té pravomoci a některé z nich (v rozporu s Eulerův součet sil dohad ) lze vyjádřit jako součet ještě méně k-té pravomoci.

Ve spojení s Waringův problém, každé dostatečně velké celé číslo lze vyjádřit jako součet nejvýše 24 šestých mocností celých čísel.^[5]

Existuje nekonečně mnoho různých netriviálních řešení Diophantine rovnice^[6]

${ displaystyle a ^ {6} + b ^ {6} + c ^ {6} = d ^ {6} + e ^ {6} + f ^ {6}.}$

Nebylo prokázáno, zda rovnice

${ displaystyle a ^ {6} + b ^ {6} = c ^ {6} + d ^ {6}}$

má netriviální řešení,^[7] ale Lander, Parkin a Selfridge domněnka by znamenalo, že tomu tak není.

Viz také

• Sextová rovnice
• Sedmá síla

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Diophantine Equation — 6th Powers“. MathWorld.