Kvaziregulární mnohostěn - Quasiregular polyhedron

Quasiregular postavy Domény pravoúhlého trojúhelníku (p q 2), = r {p, q} r {4,3} r {5,3} r {6,3} r {7,3}... r {∞, 3} (3.4)2 (3.5)2 (3.6)2 (3.7)2 (3.∞)2 Rovnoramenné trojúhelníkové domény (p p 3), = = h {6, p} h {6,4} h {6,5} h {6,6} h {6,7} ... h {6, ∞} = = = = = (4.3)4 (5.3)5 (6.3)6 (7.3)7 (∞.3)∞ Rovnoramenné trojúhelníkové domény (p p 4), = = h {8, p} h {8,3} h {8,5} h {8,6} h {8,7} ... h {8, ∞} = = = = = (4.3)3 (4.5)5 (4.6)6 (4.7)7 (4.∞)∞ Scalene trojúhelníková doména (5 4 3), (3.5)4 (4.5)3 (3.4)5 A kvaziregulární mnohostěn nebo obklady má přesně dva druhy pravidelné tváře, které se střídají kolem každého vrcholu. Jejich vrcholové postavy jsou isogonal polygons.

Pravidelné a quasiregular postavy Domény pravoúhlého trojúhelníku (p p 2), = = r {p, p} = {p, 4}​1⁄2 {3,4}​1⁄2 r {3,3} {4,4}​1⁄2 r {4,4} {5,4}​1⁄2 r {5,5} {6,4}​1⁄2 r {6,6} ... {∞,4}​1⁄2 r {∞, ∞} = = = = = (3.3)2 (4.4)2 (5.5)2 (6.6)2 (∞.∞)2 Rovnoramenné trojúhelníkové domény (p p 3), = = {p, 6}​1⁄2 {3,6}​1⁄2 {4,6}​1⁄2 {5,6}​1⁄2 {6,6}​1⁄2... {∞,6}​1⁄2 = = = = = (3.3)3 (4.4)3 (5.5)3 (6.6)3 (∞.∞)3 Rovnoramenné trojúhelníkové domény (p p 4), = = {p, 8}​1⁄2 {3,8}​1⁄2 {4,8}​1⁄2 {5,8}​1⁄2 {6,8}​1⁄2... {∞,8}​1⁄2 = = = = = (3.3)4 (4.4)4 (5.5)4 (6.6)4 (∞.∞)4 A pravidelný mnohostěn nebo obklady lze považovat za kvaziregulární, pokud má kolem každého vrcholu sudý počet tváří (a může tedy mít střídavě zbarvené tváře).

v geometrie, a kvaziregulární mnohostěn je jednotný mnohostěn který má přesně dva druhy normální tváře, které se kolem každého střídají vrchol. Oni jsou vrchol-tranzitivní a hrana tranzitivní, tedy o krok blíže k pravidelné mnohostěny než semiregulární, které jsou pouze vrcholné.

Jejich duální čísla jsou tvář-tranzitivní a hranové tranzitivní; mají přesně dva druhy pravidelných vrcholové postavy, které se kolem každého střídají tvář. Někdy jsou také považovány za kvaziregulární.

Jsou jen dva konvexní quasiregular polyhedra: the cuboctahedron a icosidodecahedron. Jejich jména, daná Kepler, pocházejí z poznání, že jejich tváře jsou všechny tváře (obrácené odlišně) dvojí -pár krychle a osmistěn, v prvním případě, a dvojitého páru dvacetistěnu a dvanáctistěn ve druhém případě.

Těmto formám představujícím dvojici pravidelné postavy a její duální lze dát svislici Schläfliho symbol ${displaystyle {egin {Bmatrix} p qend {Bmatrix}}}$ nebo r {p, q}, což znamená, že jejich tváře jsou všechny tváře (otočené odlišně) obou pravidelných {p, q} a dvojí pravidelný {q, p}. Kvaziregulární mnohostěn s tímto symbolem bude mít a konfigurace vrcholů p.q.p.q (nebo (p.q)²).

Obecněji může kvaziregulační postava mít a konfigurace vrcholů (p.q)^r, zastupující r (2 nebo více) sekvence ploch kolem vrcholu.

Obklady roviny může být také kvaziregulární, konkrétně trihexagonal obklady, s konfigurací vrcholů (3.6)². Další kvaziregulární obklady existují v hyperbolické rovině, jako triheptagonal obklady, (3.7)². Nebo obecněji: (p.q)², s 1 / p + 1 / q <1/2.

Pravidelné mnohostěny a obklady se sudým počtem ploch na každém vrcholu lze také považovat za kvaziregulační tím, že rozlišujeme mezi plochami stejného řádu tím, že je odlišně reprezentujeme, jako bychom je střídavě obarvili (bez definice jakékoli povrchové orientace). Pravidelná postava s Schläfliho symbol {p, q} lze považovat za kvaziregulární s konfigurací vrcholů (str.)^{q / 2}, pokud q je sudý.

Příklady:

Pravidelný osmistěn, přičemž Schläfliho symbol {3,4} a 4 jsou sudé, lze považovat za kvaziregulační jako a tetratetrahedron (2 sady 4 trojúhelníků z čtyřstěn ), s konfigurací vrcholů (3.3)^4/2 = (3_A.3_b)², střídající dvě barvy trojúhelníkových ploch.

The čtvercové obklady, s konfigurací vrcholů 4⁴ a 4 jsou sudá, lze je považovat za kvaziregulární, s vertexovou konfigurací (4.4)^4/2 = (4_A.4_b)², zbarvené jako šachovnice.

The trojúhelníkové obklady, s konfigurací vrcholů 3⁶ a 6 je sudé, lze je považovat za kvaziregulární, s vertexovou konfigurací (3.3)^6/2 = (3_A.3_b)³, střídající dvě barvy trojúhelníkových ploch.

Wythoffova konstrukce

Pravidelné (p | 2 q) a kvaziregulární mnohostěn (2 | p q) jsou vytvořeny z a Wythoffova konstrukce s bodem generátoru v jednom ze 3 rohů základní domény. To definuje jednu hranu v základní doméně.

Kvaziregulární mnohostěny jsou generovány ze všech 3 rohů základní domény pro Schwarzovy trojúhelníky které nemají pravé úhly:
q | 2 str, p | 2 q, 2 | p q

Coxeter definuje a kvaziregulární mnohostěn jako ten, kdo má a Wythoffův symbol ve formě p | q r, a je normální, pokud q = 2 nebo q = r.^[1]

The Coxeter-Dynkinův diagram je další symbolické znázornění, které ukazuje kvaziregulární vztah mezi dvěma formami dvojího regulárního tvaru:

Schläfliho symbol		Coxeterův diagram	Wythoffův symbol
${displaystyle {egin {Bmatrix} p, qend {Bmatrix}}}$	{p, q}		q | 2 str
${displaystyle {egin {Bmatrix} q, pend {Bmatrix}}}$	{q, p}		p | 2 q
${displaystyle {egin {Bmatrix} p qend {Bmatrix}}}$	r {p, q}	nebo	2 | p q

Konvexní kvaziregulární mnohostěn

Existují dvě uniformy konvexní kvaziregulární mnohostěn:

1. The cuboctahedron ${displaystyle {egin {Bmatrix} 3 4end {Bmatrix}}}$, konfigurace vrcholů (3.4)², Coxeter-Dynkinův diagram
2. The icosidodecahedron ${displaystyle {egin {Bmatrix} 3 5end {Bmatrix}}}$, konfigurace vrcholů (3.5)², Coxeter-Dynkinův diagram

Kromě toho osmistěn, což je také pravidelný, ${displaystyle {egin {Bmatrix} 3 3end {Bmatrix}}}$, konfigurace vrcholu (3.3)², lze považovat za kvaziregulační, pokud alternativní tváře dostávají různé barvy. V této podobě se někdy označuje jako tetratetrahedron. Zbývající konvexní pravidelné mnohostěny mají v každém vrcholu lichý počet ploch, takže je nelze obarvit tak, aby byla zachována hraniční přechodnost. Má to Coxeter-Dynkinův diagram

Každá z nich tvoří společné jádro a dvojí pár pravidelný mnohostěn. Názvy dvou z nich dávají vodítka k přidruženému dvojici: resp krychle ${displaystyle cap}$ osmistěn, a dvacetistěnu ${displaystyle cap}$ dvanáctistěn. The osmistěn je společné jádro dvojice dvojic čtyřstěn (sloučenina známá jako stella octangula ); pokud jsou odvozeny tímto způsobem, osmistěn se někdy nazývá tetratetrahedron, tak jako čtyřstěn ${displaystyle cap}$ čtyřstěn.

Pravidelný	Dvojitý pravidelný	Kvaziregulární společné jádro	Vrcholová postava
Čtyřstěn {3,3} 3 | 2 3	Čtyřstěn {3,3} 3 | 2 3	Tetratetrahedron r {3,3} 2 | 3 3	3.3.3.3
Krychle {4,3} 3 | 2 4	Octahedron {3,4} 4 | 2 3	Cuboctahedron r {3,4} 2 | 3 4	3.4.3.4
Dodecahedron {5,3} 3 | 2 5	Dvacetistěnu {3,5} 5 | 2 3	Icosidodecahedron r {3,5} 2 | 3 5	3.5.3.5

Každý z těchto kvaziregulárních mnohostěnů může být sestaven pomocí a náprava operace na běžného rodiče, zkrácení vrcholy úplně, dokud se každá původní hrana nezredukuje na střed.

Quasiregular obklady

Tato sekvence pokračuje jako trihexagonal obklady, vrchol obrázek (3.6)² - a quasiregular obklady založeno na trojúhelníkové obklady a šestihranný obklad.

Pravidelný	Dvojitý pravidelný	Kvaziregulární kombinace	Vrcholová postava
Šestihranný obklad {6,3} 6 | 2 3	Trojúhelníkový obklad {3,6} 3 | 2 6	Trihexagonální obklady r {6,3} 2 | 3 6	(3.6)2

The šachovnice vzor je kvaziregulární zbarvení čtvercové obklady, vrchol obrázek (4.4)²:

Pravidelný	Dvojitý pravidelný	Kvaziregulární kombinace	Vrcholová postava
{4,4} 4 | 2 4	{4,4} 4 | 2 4	r {4,4} 2 | 4 4	(4.4)2

The trojúhelníkové obklady lze také považovat za kvaziregulární, se třemi sadami střídavých trojúhelníků u každého vrcholu, (3.3)³:

h {6,3} 3 | 3 3 =

V hyperbolické rovině tato sekvence pokračuje dále, například triheptagonal obklady, vrchol obrázek (3.7)² - a quasiregular obklady založeno na objednávka-7 trojúhelníkové obklady a sedmiúhelníkové obklady.

Pravidelný	Dvojitý pravidelný	Kvaziregulární kombinace	Vrcholová postava
Heptagonální obklady {7,3} 7 | 2 3	Trojúhelníkový obklad {3,7} 3 | 2 7	Triheptagonal obklady r {3,7} 2 | 3 7	(3.7)2

Nekonvexní příklady

Coxeter, H.S.M. et al. (1954) také klasifikují jisté hvězda mnohostěn, které mají stejné vlastnosti, jako jsou kvaziregulační.

Dva jsou založeny na dvojicích pravidelných Kepler – Poinsotovy pevné látky stejným způsobem jako u konvexních příkladů:

the velký icosidodecahedron ${displaystyle {egin {Bmatrix} 3 5 / 2end {Bmatrix}}}$a dodecadodecahedron ${displaystyle {egin {Bmatrix} 5 5 / 2end {Bmatrix}}}$:

Pravidelný	Dvojitý pravidelný	Kvaziregulární společné jádro	Vrcholová postava
Velký hvězdný dvanáctistěn {5/2,3} 3 | 2 5/2	Velký dvacetistěn {3,5/2} 5/2 | 2 3	Velký icosidodecahedron r {3,5/2} 2 | 3 5/2	3.5/2.3.5/2
Malý hvězdný dvanáctistěn {5/2,5} 5 | 2 5/2	Velký dvanáctistěn {5,5/2} 5/2 | 2 5	Dodecadodecahedron r {5,5/2} 2 | 5 5/2	5.5/2.5.5/2

Devět dalších jsou hemipolyhedra, což jsou tváří v tvář formy výše zmíněných kvaziregulárních mnohostěn odvozených z rektifikace pravidelných mnohostěnů. Patří mezi ně rovníkové plochy procházející středem mnohostěnu:

Quasiregular (opraveno)	Tetratetrahedron	Cuboctahedron	Icosidodecahedron	Velký icosidodecahedron	Dodecadodecahedron
Quasiregular (hemipolyhedra)	Tetrahemihexahedron 3/2 3 | 2	Octahemioctahedron 3/2 3 | 3	Malý icosihemidodecahedron 3/2 3 | 5	Velký icosihemidodecahedron 3/2 3 | 5/3	Malý dodecahemicosahedron 5/3 5/2 | 3
Vrcholová postava	3.4.3/2.4	3.6.3/2.6	3.10.3/2.10	3.10/3.3/2.10/3	5/2.6.5/3.6
Quasiregular (hemipolyhedra)		Cubohemioctahedron 4/3 4 | 3	Malý dodekahemidodekedr 5/4 5 | 5	Velký dodekahemidodekedr 5/3 5/2 | 5/3	Velký dodecahemicosahedron 5/4 5 | 3
Vrcholová postava		4.6.4/3.6	5.10.5/4.10	5/2.10/3.5/3.10/3	5.6.5/4.6

Nakonec jsou tři ditrigonal formy, všechny fazety pravidelného dodekaedru, jehož vrcholové postavy obsahují tři střídání dvou typů ploch:

obraz	Broušená forma Wythoffův symbol Coxeterův diagram	Vrcholová postava
	Ditrigonal dodecadodecahedron 3 | 5/3 5 nebo	(5.5/3)3
	Malý ditrigonal icosidodecahedron 3 | 5/2 3 nebo	(3.5/2)3
	Velký ditrigonal icosidodecahedron 3/2 | 3 5 nebo	((3.5)3)/2

V euklidovské rovině sekvence hemipolyhedry pokračuje následujícími čtyřmi hvězdami, kde apeirogony se objeví jako výše uvedené rovníkové polygony:

Originál opraveno obklady	Okraj diagram	Pevný	Vrchol Konfigurace	Wythoff	Skupina symetrie
Náměstí obklady			4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞	4/3 4 | ∞	p4m
Trojúhelníkový obklady			(3.∞.3.∞.3.∞)/2	3/2 | 3 ∞	p6m
Trihexagonal obklady			6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞	6/5 6 | ∞
			∞.3.∞.3/2 ∞.3.∞.-3	3/2 3 | ∞

Quasiregular duals

Některé úřady tvrdí, že jelikož duály kvaziregulárních těles sdílejí stejné symetrie, měly by se také tyto duální systémy nazývat kvaziregulár. Ale ne každý používá tuto terminologii. Tyto duály jsou tranzitivní na svých okrajích a tvářích (ale ne na svých vrcholech); jsou hraniční tranzitivní Katalánština pevné látky. Konvexní jsou v odpovídajícím pořadí, jak je uvedeno výše:

1. The kosočtverečný dvanáctistěn, se dvěma typy střídavých vrcholů, 8 se třemi kosočtverečnými plochami a 6 se čtyřmi kosočtverečnými plochami.
2. The kosočtverečný triacontahedron, se dvěma typy střídavých vrcholů, 20 se třemi kosočtverečnými plochami a 12 s pěti kosočtverečnými plochami.

Navíc, dualitou s osmistěnem, krychle, což je obvykle pravidelný, lze udělat kvaziregulační, pokud alternativní vrcholy dostanou různé barvy.

Jejich konfigurace obličeje jsou ve formě V3.n.3.n a Coxeter-Dynkinův diagram

Krychle V (3,3)2	Kosočtverečný dvanáctistěn V (3,4)2	Kosočtverečný triacontahedron V (3,5)2	Obklady kosočtverce V (3.6)2	V (3,7)2	V (3,8)2

Tyto tři quasiregular duals se také vyznačují tím, že mají kosočtverečný tváře.

Tento kosočtverečný vzor pokračuje jako V (3.6)², kosočtverečný obklad.

Quasiregular polytopes a voštiny

Ve vyšších dimenzích definoval Coxeter kváziregulární mnohostěn nebo plástev, aby měl pravidelné fazety a kvasiregulární tvary vrcholů. Z toho vyplývá, že všechny vrcholové figury jsou shodné a že existují dva druhy fazet, které se střídají.^[2]

V euklidovském 4-prostoru, pravidelný 16 buněk lze také považovat za kvaziregulační jako alternativní tesseract, h {4,3,3}, Coxeterovy diagramy: = , složený ze střídání čtyřstěn a čtyřstěn buňky. Své vrchol obrázek je quasiregular tetratetrahedron (osmistěn s čtyřboká symetrie), .

Jediným kvaziregulárním plástem v euklidovském 3-prostoru je střídaný kubický plástev, h {4,3,4}, Coxeterovy diagramy: = , složený ze střídavých čtyřboků a osmistěn buňky. Jeho vrcholná postava je kvaziregula cuboctahedron, .^[2]

V hyperbolickém 3-prostoru je jeden kvaziregulární plástev střídaný objednávkový 5 kubický plástev, h {4,3,5}, Coxeterovy diagramy: = , složený ze střídavých čtyřboků a icosahedral buňky. Jeho vrcholná postava je kvaziregula icosidodecahedron, . Související paracompact střídaný objednávkový 6 kubický plástev, h {4,3,6} má střídavé čtyřboké a šestihranné obkladové buňky s vrcholem je kvaziregula trihexagonal obklady, .

Kvaziregulární polychora a voštiny: h {4, p, q}
Prostor	Konečný	Afinní	Kompaktní	Paracompact
Schläfli symbol	h {4,3,3}	h {4,3,4}	h {4,3,5}	h {4,3,6}	h {4,4,3}	h {4,4,4}
	${displaystyle left {3, {3 atop 3} ight}}$	${displaystyle left {3, {4 atop 3} ight}}$	${displaystyle left {3, {5 atop 3} ight}}$	${displaystyle left {3, {6 atop 3} ight}}$	${displaystyle left {4, {4 atop 3} ight}}$	${displaystyle left {4, {4 atop 4} ight}}$
Coxeter diagram	↔	↔	↔	↔	↔	↔
	↔					↔
obraz
Vrchol postava r {p, 3}

Pravidelné polychory nebo voštiny ve tvaru {p, 3,4} nebo může mít symetrii sníženou na polovinu do kvaziregulární formy , vytvářející střídavě barevné {p, 3} buňky. Mezi tyto případy patří euklidovský kubický plástev {4,3,4} s krychlový buňky a kompaktní hyperbolické {5,3,4} s dodekahedrál buňky a paracompact {6,3,4} s nekonečným šestihranný obklad buňky. Mají čtyři buňky kolem každého okraje, střídající se ve 2 barvách. Jejich vrcholové postavy jsou kvaziregulární tetratetrahedra, = .

Společným vrcholem je kvaziregulární tetratetrahedron, , stejně jako normální osmistěn

Pravidelné a kvaziregulární voštiny: {p, 3,4} a {p, 31,1}
Prostor	Euklidovský 4prostor	Euklidovský 3prostor	Hyperbolický 3prostor
název	{3,3,4} {3,31,1} = ${displaystyle left {3, {3 atop 3} ight}}$	{4,3,4} {4,31,1} = ${displaystyle left {4, {3 atop 3} ight}}$	{5,3,4} {5,31,1} = ${displaystyle left {5, {3 atop 3} ight}}$	{6,3,4} {6,31,1} = ${displaystyle left {6, {3 atop 3} ight}}$
Coxeter diagram	=	=	=	=
obraz
Buňky {p, 3}

Podobně pravidelné hyperbolické voštiny ve tvaru {p, 3,6} nebo může mít symetrii sníženou na polovinu do kvaziregulární formy , vytvářející střídavě barevné {p, 3} buňky. Mají šest buněk kolem každého okraje a střídají se ve 2 barvách. Jejich vrcholové postavy jsou kvaziregulární trojúhelníkové obklady, .

Běžný vrchol obrázek je quasiregular trojúhelníkové obklady, =

Hyperbolické jednotné voštiny: {p, 3,6} a {p, 3^[3]}

[

• proti
• t
• E

]

Formulář	Paracompact				Nekompaktní
název	{3,3,6} {3,3[3]}	{4,3,6} {4,3[3]}	{5,3,6} {5,3[3]}	{6,3,6} {6,3[3]}	{7,3,6} {7,3[3]}	{8,3,6} {8,3[3]}	... {∞,3,6} {∞,3[3]}
obraz
Buňky	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Viz také

• Chirální polytop
• Oprava (geometrie)

Poznámky

Reference

• Cromwell, P. Mnohostěn, Cambridge University Press (1977).
• Coxeter, Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN  0-486-61480-8, 2.3 Kvazi-pravidelný mnohostěn. (str. 17), Kvazi-pravidelné voštiny str. 69

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Quasiregular polyhedron". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Jednotný mnohostěn". MathWorld. Kvazi-regulární mnohostěn: (p.q)^r
• George Hart, Kvaziregulární mnohostěn