Izotoxální postava - Isotoxal figure
v geometrie, a polytop (například a polygon nebo a mnohostěn ), nebo a obklady, je isotoxální nebo hrana tranzitivní Pokud je to symetrie akt přechodně na jeho okrajích. Neformálně to znamená, že k objektu existuje pouze jeden typ hrany: vzhledem ke dvěma hranám existuje posun, rotace a / nebo odraz, který přesune jednu hranu na druhou, přičemž oblast obsazená objektem zůstane beze změny.
Termín isotoxální je odvozen z řeckého τοξον významu oblouk.
Isotoxální polygony
Isotoxální polygon je rovnostranný mnohoúhelník, ale ne všechny rovnostranné polygony jsou isotoxální. The duální isotoxálních polygonů jsou isogonal polygons.
Obecně platí, že isotoxal 2n-gon bude mít Dn (*nn) dihedrální symetrie. A kosočtverec je isotoxální polygon s D2 (* 22) symetrie.
Všechno pravidelné mnohoúhelníky (rovnostranný trojúhelník, náměstí atd.) jsou isotoxální a mají dvojnásobek minimálního pořadí symetrie: běžný n-gon má Dn (*nn) vzepětí symetrie. Pravidelný 2n-gon je izotoxální polygon a lze jej označit střídavě zbarvenými vrcholy, čímž odstraní linii odrazu středními okraji.
| D2 (*22) | D3 (*33) | D4 (*44) | D5 (*55) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Kosočtverec | Rovnostranný trojúhelník | Konkávní šestiúhelník | Protínající se šestiúhelník | Konvexní osmiúhelník | Pravidelný Pentagon | Self-protínající (pravidelné) pentagram | Sebeprotínající se dekagram | |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |
Isotoxální mnohostěn a obklady
Pravidelný mnohostěn jsou isohedral (face-transitive), isogonal (vertex-transitive) a isotoxal (edge-transitive).
Quasiregular mnohostěn, jako cuboctahedron a icosidodecahedron, jsou izogonální a isotoxální, ale ne izohedrální. Jejich duály, včetně kosočtverečný dvanáctistěn a kosočtverečný triacontahedron, jsou izohedrální a isotoxální, ale nejsou izogonní.
| Quasiregular mnohostěn | Quasiregular dual mnohostěn | Quasiregular hvězdný mnohostěn | Quasiregular dual hvězdný mnohostěn | Quasiregular obklady | Quasiregular dual obklady |
|---|---|---|---|---|---|
 A cuboctahedron je isogonal a isotoxal polyhedron |  A kosočtverečný dvanáctistěn je isohedral a isotoxal polyhedron |  A velký icosidodecahedron je isogonal and isotoxal star polyhedron |  A velký kosočtverečný triacontahedron je isohedral a isotoxal hvězda mnohostěn |  The trihexagonal obklady je izogonální a isotoxální obklad |  The kosočtverečný obklad je isohedrální a isotoxální obklad se symetrií p6m (* 632). |
Ne každý mnohostěn nebo 2-dimenzionální mozaikování postavena z pravidelné mnohoúhelníky je isotoxální. Například zkrácený dvacetistěn (známý soccerball) není isotoxální, protože má dva typy okrajů: šestiúhelník-šestiúhelník a šestiúhelník-pětiúhelník a není možné, aby symetrie tělesa posunula hranu šestiúhelník-šestiúhelník na hranu šestiúhelník-pětiúhelník.
Isotoxal polyhedron has the same vzepětí úhel pro všechny hrany.
Duál konvexního mnohostěnu je také konvexní mnohostěn.[1]
Duál nekonvexního mnohostěnu je také nekonvexní mnohostěn.[1] (Kontrapozicí.)
Duál isotoxálního mnohostěnu je také isotoxálním mnohostěnem. (Viz Duální mnohostěn článek.)
Je jich devět konvexní isotoxální mnohostěn: pět (pravidelný ) Platonické pevné látky, dva (quasiregular ) společná jádra duálních platonických pevných látek a jejich dvě duální.
Existuje čtrnáct nekonvexních isotoxálních mnohostěnů: čtyři (pravidelné) Kepler – Poinsotův mnohostěn, dvě (kvaziregulární) společná jádra duálních Kepler – Poinsotových mnohostěnů a jejich dvě duální plus tři kvaziregulární ditrigonal (3 | str q) hvězdný mnohostěn a jejich tři duály.
Existuje nejméně pět isotoxálních polyedrických sloučenin: pět pravidelné polyedrické sloučeniny; jejich pět dualů je také pět pravidelných polyedrických sloučenin (nebo jedno chirální dvojče).
Existuje nejméně pět isotoxálních polygonálních obkladů euklidovské roviny a nekonečně mnoho izotoxálních polygonálních obkladů hyperbolické roviny, včetně Wythoffových konstrukcí z pravidelné hyperbolické obklady {str,q} a nepravý (p q r) skupiny.
Viz také
Reference
- Peter R. Cromwell, Mnohostěn, Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2, str. 371 Transitivita
- Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Obklady a vzory. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (6,4 Isotoxal tilings, 309-321)
- Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S .; Miller, J. C. P. (1954), „Uniform polyhedra“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A. Matematické a fyzikální vědy, 246 (916): 401–450, Bibcode:1954RSPTA.246..401C, doi:10.1098 / rsta.1954.0003, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, PAN 0062446, S2CID 202575183