Kepler – Poinsotův mnohostěn - Kepler–Poinsot polyhedron

Velký dvanáctistěn

Malý hvězdný dvanáctistěn

Velký dvacetistěn

Velký hvězdný dvanáctistěn

v geometrie, a Kepler – Poinsotův mnohostěn je některý ze čtyř pravidelný hvězda mnohostěn.^[1]

Mohou být získány hvězdný pravidelný konvexní dvanáctistěn a dvacetistěnu a liší se od nich pravidelností pentagrammic tváře nebo vrcholové postavy. Všichni je lze tak či onak považovat za trojrozměrné analogy pentagramu.

Vlastnosti

Bez konvexity

Tyto údaje mají pentagramy (hvězdné pětiúhelníky) jako tváře nebo vrcholové postavy. Malý a velký hvězdný dvanáctistěn mít nekonvexní pravidelné pentagram tváře. The velký dvanáctistěn a velký dvacetistěn mít konvexní polygonální tváře, ale pentagramové vrcholové postavy.

Ve všech případech se mohou dvě plochy protínat podél čáry, která není hranou žádné z ploch, takže část každé plochy prochází vnitřkem obrázku. Tyto průsečíky nejsou součástí mnohostěnné struktury a někdy se jim říká falešné hrany. Podobně tam, kde se tři takové čáry protínají v bodě, který není rohem žádné plochy, jsou tyto body falešnými vrcholy. Na obrázcích níže jsou koule ve skutečných vrcholech a modré pruty podél skutečných hran.

Například malý hvězdný dvanáctistěn má 12 pentagram tváře s centrální pětiúhelníkový část skrytá uvnitř tělesa. Viditelné části každé tváře obsahují pět rovnoramenné trojúhelníky které se dotýkají v pěti bodech kolem pětiúhelníku. Tyto trojúhelníky bychom mohli považovat za 60 samostatných ploch, abychom získali nový, nepravidelný mnohostěn, který vypadá navenek identicky. Každá hrana by nyní byla rozdělena na tři kratší hrany (dvou různých druhů) a 20 falešných vrcholů by se stalo skutečnými, takže bychom měli celkem 32 vrcholů (opět dvou druhů). Skryté vnitřní pětiúhelníky již nejsou součástí polyedrického povrchu a mohou zmizet. Nyní Eulerův vzorec platí: 60 - 90 + 32 = 2. Tento mnohostěn však již není tím, který popsal Schläfliho symbol {5/2, 5}, a tak to nemůže být pevná látka Kepler – Poinsot, i když stále vypadá jako zvenčí.

Eulerova charakteristika χ

Mnohostěn Kepler – Poinsot pokrývá svou ohraničenou sféru více než jednou, přičemž středy ploch fungují jako navíjecí body na obrázcích, které mají pentagrammické plochy, a vrcholy v ostatních. Z tohoto důvodu nejsou nutně topologicky ekvivalentní sféře jako platonické pevné látky, zejména pak Eulerův vztah

${displaystyle chi = V-E + F = 2}$

ne vždy platí. Schläfli si myslel, že všechny mnohostěny musí mít χ = ​​2, a odmítl malý hvězdný dodecahedron a velký dodecahedron jako správný mnohostěn. Tento názor nebyl nikdy široce zastáván.

Upravená forma Eulerova vzorce pomocí hustota (D) z vrcholové postavy (${displaystyle d_ {v}}$) a tváře (${displaystyle d_ {f}}$) byl dán Arthur Cayley, a platí jak pro konvexní mnohostěny (kde korekční faktory jsou všechny 1), tak pro Kepler – Poinsotův mnohostěn:

${displaystyle d_ {v} V-E + d_ {f} F = 2D.}$

Polygony duality a Petrie

Mnohostěny Kepler – Poinsot existují v dvojí páry. Duální mají stejné Petrie polygon nebo přesněji Petrieho polygony se stejnou dvourozměrnou projekcí.

Následující obrázky ukazují dva duální sloučeniny se stejným poloměr hrany. Ukazují také, že polygony Petrie jsou překroutit Na obrázcích jsou také snadno vidět dva vztahy popsané v následujícím článku: Že fialové hrany jsou stejné a že zelené tváře leží ve stejných rovinách.

Sloučenina sD a gD s Petrie šestiúhelníky (sD a gD sama)

Sloučenina gI a gsD s Petrieho dekagramy (gI a gsD sama)

souhrn

název (Conwayova zkratka)	Obrázek	Sférické obklady	Stelace diagram	Schläfli {p, q} a Coxeter-Dynkin	Tváře {p}	Hrany	Vrcholy {q}	Vrchol postava (konfigurace)	Petrie polygon	χ	Hustota	Symetrie	Dvojí
velký dvanáctistěn (gD)				{5, 5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	(55)/2	{6}	−6	3	Jáh	malý hvězdný dvanáctistěn
malý hvězdný dvanáctistěn (sD)				{5/2, 5}	12 {5/2}	30	12 {5}	(5/2)5	{6}	−6	3	Jáh	velký dvanáctistěn
velký dvacetistěn (gI)				{3, 5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	(35)/2	{10/3}	2	7	Jáh	velký hvězdný dvanáctistěn
velký hvězdný dvanáctistěn (sgD = gsD)				{5/2, 3}	12 {5/2}	30	20 {3}	(5/2)3	{10/3}	2	7	Jáh	velký dvacetistěn

Vztahy mezi běžnými mnohostěnmi

Conwayův systém vztahů mezi šesti polyhedry (seřazený svisle podle hustota )^[2]

Conwayova provozní terminologie

John Conway definuje mnohosteny Kepler – Poinsot jako opery a stellations konvexních pevných látek.
V jeho konvence pojmenování the malý hvězdný dvanáctistěn je jen hvězdný dvanáctistěn.

Stelace mění pětiúhelníkové tváře na pentagramy. (V tomto smyslu je stellace jedinečnou operací a neměla by být zaměňována s obecnější stellation popsané níže.)

Zvýraznění udržuje typ tváří, posouvá je a mění jejich velikost do rovnoběžných rovin.

Ilustrovány vztahy Conway
diagram	Mnohostěny v této části jsou zobrazeny stejně midradius.
stellation	D sD gD sgD = gsD
zesílení	D a gD Já a gI sD a gsD
dualita	D a Já gD a sD gI a gsD

Stellations a fazety

The velký dvacetistěn jeden z stellations z dvacetistěnu. (Vidět Padesát devět Icosahedra )
Tři další jsou všechny hvězdy dvanáctistěn.

The velký hvězdný dvanáctistěn je fazetování dodecahedron.
Tři další jsou aspekty dvacetistěnu.

Stellations a fazety
Konvexní	dvacetistěnu			dvanáctistěn
Stellations	gI (ten se žlutými tvářemi)			gD	sD	gsD
Facetings	gI	gD	sD	gsD (ten se žlutými vrcholy)

Pokud se s průniky zachází jako s novými hranami a vrcholy, získané hodnoty nebudou pravidelný, ale stále se o nich dá uvažovat stellations.^{[potřebné příklady ]}

(Viz také Seznam Wenningerových mnohostěnných modelů )

Sdílené vrcholy a hrany

Velký hvězdný dodecahedron sdílí své vrcholy s dodecahedron. Další tři mnohostěny Kepler – Poinsot sdílejí své s dvacetistěnem.The kostry vrcholů sdílejících pevné látky jsou topologicky ekvivalent.

dvacetistěnu	velký dvanáctistěn	velký dvacetistěn	malý hvězdný dvanáctistěn	dvanáctistěn	velký hvězdný dvanáctistěn
sdílet vrcholy a hrany		sdílet vrcholy a hrany		sdílet vrcholy, kostry se tvoří dodekahedrální graf
sdílejte vrcholy, tvoří se kostry icosahedral graf

Hvězdná dodekahedra

Trup a jádro

The malý a skvělý stellated dodecahedron lze považovat za pravidelný a a velký dvanáctistěn s jejich hranami a tvářemi nataženými, dokud se neprotínají.
Pětiúhelníkové plochy těchto jader jsou neviditelnými částmi pentagramových ploch hvězdné mnohostěny.
Trup je pro malý hvězdný dodekahedron ${displaystyle varphi}$ krát větší než jádro, a to je skvělé ${displaystyle varphi + 1 = varphi ^ {2}}$ krát větší.(Vidět Zlatý řez )
(The midradius je běžným měřítkem pro porovnání velikosti různých mnohostěnů.)

Trup a jádro hvězdné dodekahedry
Trup	Hvězdný mnohostěn	Jádro	${displaystyle {frac {ext {hull midradius}} {ext {core midradius}}}}$	${displaystyle {frac {ext {core midradius}} {ext {hull midradius}}}}$
			${displaystyle {frac {{sqrt {5}} + 1} {2}} = 1,61803 ...}$	${displaystyle {frac {{sqrt {5}} - 1} {2}} = 0,61803 ...}$
			${displaystyle {frac {3+ {sqrt {5}}} {2}} = 2,61803 ...}$	${displaystyle {frac {3- {sqrt {5}}} {2}} = 0,38196 ...}$
Platonické trupy na těchto obrázcích mají stejné midradius. To znamená, že pentagramy mají stejnou velikost a že jádra mají stejnou délku okraje. (Porovnejte pětinásobné ortografické projekce níže.)

Augmentace

Tradičně byly dvě hvězdné mnohostěny definovány jako augmentace (nebo kumulace),tj. jako dvanáctistěn a dvacetistěn s pyramidami přidanými k jejich obličejům.

Kepler nazývá malou hvězdu an rozšířený dvanáctistěn (pak jej přezdívku ježek).^[3]

Podle jeho názoru je velká hvězdná příbuznost k dvacetistěnu, zatímco malá k dvanáctistěnu.^[4]

Tyto naivní definice se stále používají. např. MathWorld uvádí, že dvě hvězdné mnohostěny lze zkonstruovat přidáním pyramid k plochám platonických těles.^[5][6]

Jedná se pouze o pomoc při vizualizaci tvaru těchto těles, nikoli o tvrzení, že průsečíky hran (falešné vrcholy) jsou vrcholy.Pokud by byly, byla by dvouhvězda mnohostěn topologicky ekvivalent k pentakis dodecahedron a triakis icosahedron.

Stellated dodecahedra jako augmentace
Jádro	Hvězdný mnohostěn	Katalánština pevná

Symetrie

Všechny mnohostěny Kepler – Poinsot mají plné ikosahedrální symetrie, stejně jako jejich konvexní trupy.

The velký dvacetistěn a je to dvojí připomínají ikosahedron a jeho dvojí v tom, že mají tváře a vrcholy na osách 3-násobné (žluté) a 5-násobné (červené) symetrie.
V velký dvanáctistěn a je to dvojí všechny plochy a vrcholy jsou na 5násobných osách symetrie (na těchto obrázcích tedy nejsou žádné žluté prvky).

Následující tabulka ukazuje pevné látky ve dvojicích duálů. V horním řádku jsou zobrazeny s pyritohedrální symetrie, ve spodním řádku s ikosahedrickou symetrií (ke které se uvedené barvy vztahují).

Tabulka níže ukazuje pravopisné projekce z 5násobné (červené), 3násobné (žluté) a 2násobné (modré) osy symetrie.

{3, 5} (Já ) a {5, 3} (D )	{5, 5/2} (gD ) a {5/2, 5} (sD )	{3, 5/2} (gI ) a {5/2, 3} (gsD )
(animace )	(animace )	(animace )
(animace )	(animace )	(animace )

pravopisné projekce
Platonické trupy na těchto obrázcích mají stejné midradius, takže všechny pětinásobné projekce níže jsou v a desetiúhelník stejné velikosti.(Srovnej projekce sloučeniny.)To z toho vyplývá sD, gsD a gI mají stejnou délku okraje, jmenovitě délku strany pentagramu v okolním dekagonu.

Dějiny

Většina, ne-li všechny, Kepler-Poinsotových mnohostěnů byla v nějaké formě známa před Keplerem. Malý stellated dodecahedron se objeví v mramorové tarsia (vykládací panel) na podlaze Bazilika svatého Marka, Benátky, Itálie. Pochází z 15. století a někdy se mu připisuje Paolo Uccello.^[7]

V jeho Perspectiva corporum regularium (Perspektivy regulárních těles), kniha dřevorytů vydaná v roce 1568, Wenzel Jamnitzer líčí velký hvězdný dvanáctistěn a a velký dvanáctistěn (oba níže). Je tam také zkrácen verze malý hvězdný dvanáctistěn.^[8] Z obecného uspořádání knihy je zřejmé, že pouze pět platonických těles považoval za normální.

Malý a velký hvězdný dodekahedra, někdy nazývaný Keplerova mnohostěna, byly nejprve uznány jako pravidelné uživatelem Johannes Kepler kolem roku 1619.^[9] Získal je hvězdný pravidelný konvexní dvanáctistěn, poprvé s ním zacházeno spíše jako s povrchem než s pevnou látkou. Všiml si, že rozšířením okrajů nebo ploch konvexního dodekaedru, dokud se znovu nesetkají, může získat hvězdné pětiúhelníky. Dále poznal, že tyto hvězdné pětiúhelníky jsou také pravidelné. Tímto způsobem zkonstruoval dva hvězdné dodekahedry. Každý z nich má středovou konvexní oblast každé tváře „skrytou“ uvnitř, přičemž jsou vidět pouze trojúhelníková ramena. Keplerovým posledním krokem bylo uznat, že tyto mnohostěny odpovídají definici pravidelnosti, i když tomu tak není konvexní, jako tradiční Platonické pevné látky byly.

V roce 1809 Louis Poinsot znovuobjevil Keplerovy postavy, shromážděním hvězdných pětiúhelníků kolem každého vrcholu. Také shromáždil konvexní polygony kolem hvězdných vrcholů, aby objevil další dvě pravidelné hvězdy, velký dvacetistěn a velký dvanáctistěn. Někteří lidé tomu říkají Poinsot mnohostěn. Poinsot nevěděl, jestli objevil všechny běžné hvězdné mnohostěny.

O tři roky později, Augustin Cauchy prokázal, že seznam je úplný hvězdný the Platonické pevné látky a téměř půl století poté, v roce 1858, Bertrand poskytl elegantnější důkaz od fazetování jim.

Následující rok, Arthur Cayley dal mnohostěnům Kepler – Poinsot jména, pod kterými jsou dnes obecně známí.

O sto let později John Conway vyvinul a systematická terminologie pro výzdoby až ve čtyřech rozměrech. V rámci tohoto schématu malý hvězdný dvanáctistěn je jen hvězdný dvanáctistěn.

Podlaha mozaika v Bazilika svatého Marka, Benátky někdy přičítáno Paolo Uccello

Velký dvanáctistěn a velký hvězdný dvanáctistěn v Perspectiva Corporum Regularium podle Wenzel Jamnitzer (1568)

Stellated dodecahedra, Harmonices Mundi podle Johannes Kepler (1619)

Kartonový model od Tübingenská univerzita (kolem roku 1860)

Pravidelná hvězdná mnohostěna v umění a kultuře

Alexandrova hvězda

A pitva velkého dvanáctistěnu byl použit pro skládačku z 80. let Alexandrova hvězda Pravidelné hvězdné mnohostěny se poprvé objevují v renesančním umění. Malý hvězdný dodecahedron je zobrazen v mramorové tarsii na podlaze baziliky svatého Marka v Benátkách v Itálii, pocházející z ca. 1430 a někdy přičítán Paulo Ucello.

Ve 20. století, umělec M. C. Escher zájem o geometrické tvary často vedl k dílům založeným na nebo zahrnujících pravidelné tělesa; Gravitace je založen na malém hvězdném dvanáctistěnu.

Norský umělec Vebjørn Sands sochařství Keplerova hvězda se zobrazí poblíž Letiště Oslo, Gardermoen. Hvězda má 14 metrů a skládá se z dvacetistěnu a a dvanáctistěn uvnitř velkého hvězdného dvanáctistěnu.

Viz také

• Pravidelný mnohostěn
• Pravidelný mnohostěn
• Seznam běžných polytopů
• Jednotný mnohostěn
• Jednotný hvězdný mnohostěn
• Polyedrická sloučenina
• Pravidelný hvězdný 4-polytop - deset pravidelných hvězd 4-polytopes, 4-dimenzionální analogy Kepler – Poinsotova mnohostěnu

Reference

Poznámky

Bibliografie

• J. Bertrand, Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46 (1858), str. 79–82, 117.
• Augustin-Louis Cauchy, Obnovuje sur les polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.
• Arthur Cayley, Na Poinsotových čtyřech nových regulárních tělesech. Phil. Mag. 17, str. 123–127 a 209, 1859.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Symetrie věcí 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Kapitola 24, Pravidelné hvězdné polytopy, str. 404–408)
• Kaleidoskopy: Vybrané spisy H. S. M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Papír 1) H.S.M. Coxeter, Devět obyčejných pevných látek [Proc. Umět. Matematika. Kongres 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
  • (Papír 10) H.S.M. Coxeter, Hvězdné polytopy a Schlafliho funkce f (α, β, γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• Theoni Pappas „(Kepler – Poinsot Solids) Radost z matematiky. San Carlos, Kalifornie: Wide World Publ./Tetra, s. 113, 1989.
• Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, s. 16–48, 1810.
• Lakatos, Imre; Důkazy a vyvrácení„Cambridge University Press (1976) - diskuse o důkazu Eulerovy charakteristiky
• Wenninger, Magnus (1983). Duální modely. Cambridge University Press. ISBN  0-521-54325-8., str. 39–41.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Symetrie věcí 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Kapitola 26. str. 404: Pravidelné hvězdné polytopy Dimension 3)
• Anthony Pugh (1976). Mnohostěn: Vizuální přístup. Kalifornie: University of California Press Berkeley. ISBN  0-520-03056-7. Kapitola 8: Kepler Poisot mnohostěn

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Kepler – Poinsot solid“. MathWorld.
• Papírové modely mnohostěnů Kepler – Poinsot
• Zdarma papírové modely (sítě) mnohostěnů Kepler – Poinsot
• Jednotná mnohostěna
• Kepler-Poinsotovy tělesa ve Vizuální mnohostěně
• VRML modely mnohostěnů Kepler – Poinsot
• Stellation and facetting - krátká historie
• Stella: Polyhedron Navigator: Software používaný k vytváření mnoha obrázků na této stránce.