Diskrétní prostor - Discrete space
tento článek potřebuje další citace pro ověření.Březen 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v topologie, a diskrétní prostor je obzvláště jednoduchý příklad a topologický prostor nebo podobná struktura, ve které body tvoří a diskontinuální posloupnost, což znamená, že jsou izolovaný od sebe v určitém smyslu. Diskrétní topologie je nejlepší topologie, kterou lze zadat na množinu, tj. definuje všechny podmnožiny jako otevřené množiny. Zejména každý jedináček je otevřená množina v diskrétní topologii.
Definice
Vzhledem k sadě X:
- the diskrétní topologie na X je definován tak, že necháme každý podmnožina z X být otevřeno (a tedy také Zavřeno ), a X je diskrétní topologický prostor pokud je vybaven svou diskrétní topologií;
- the oddělený jednotnost na X je definován tak, že necháme každý nadmnožina úhlopříčky {(X,X) : X je v X} v X × X být doprovod, a X je diskrétní jednotný prostor pokud je vybaven svou diskrétní uniformitou.
- the oddělený metrický na X je definováno
- pro všechny . V tomto případě se nazývá a diskrétní metrický prostor nebo a prostor izolované body.
- A soubor S je oddělený v metrický prostor , pro , pokud pro každého , existují nějaké (záleží na ) takové, že pro všechny ; taková sada se skládá z izolované body. Sada S je rovnoměrně diskrétní v metrický prostor , pro , pokud existuje ε > 0 takové, že pro jakékoli dva odlišné , > ε.
Metrický prostor se říká, že je rovnoměrně diskrétní pokud existuje "poloměr balení" takové, že pro každého , jeden má buď nebo .[1] Topologie, která je základem metrického prostoru, může být diskrétní, aniž by byla metrika rovnoměrně diskrétní: například obvyklá metrika na množině reálných čísel {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...}.
Důkaz, že diskrétní prostor nemusí být nutně jednotně diskrétní |
---|
Nechť X = {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...}, zvažte tuto množinu pomocí obvyklé metriky reálných čísel. Potom je X diskrétní prostor, protože pro každý bod 1/2n, můžeme jej obklopit intervalem (1/2n - ɛ, 1/2n + ɛ), kde ɛ = 1/2 (1/2n - 1/2n + 1) = 1/2n + 2. Křižovatka (1/2n - ɛ, 1/2n + ɛ) ∩ {1/2n} je jen singleton {1/2n}. Protože je průnik dvou otevřených množin otevřený a singletony jsou otevřené, vyplývá z toho, že X je diskrétní prostor. X však nemůže být jednotně diskrétní. Abychom pochopili proč, předpokládejme, že existuje r> 0 takové, že d (x, y)> r kdykoli x ≠ y. Postačí ukázat, že v X jsou alespoň dva body xay, které jsou k sobě blíže než r. Protože vzdálenost mezi sousedními body 1/2n a 1/2n + 1 je 1/2n + 1, musíme najít n, které splňuje tuto nerovnost: Vzhledem k tomu, že vždy existuje n větší než jakékoli dané reálné číslo, vyplývá z toho, že v X budou vždy alespoň dva body, které jsou blíže k sobě než jakékoli kladné r, proto X není jednotně diskrétní .... |
Vlastnosti
Základní uniformita v diskrétním metrickém prostoru je diskrétní uniformita a základní topologie v diskrétním jednotném prostoru je diskrétní topologie. Různé pojmy diskrétního prostoru jsou tedy navzájem kompatibilní. Na druhé straně základní topologie diskrétní jednotný nebo metrický prostor může být diskrétní; příkladem je metrický prostor X := {1/n : n = 1,2,3, ...} (s metrikou zděděnou z skutečná linie a dané d (X,y) = |X − y|). Toto není diskrétní metrika; tento prostor také není kompletní a proto není diskrétní jako jednotný prostor. Je diskrétní jako topologický prostor. Říkáme, že X je topologicky diskrétní ale ne rovnoměrně diskrétní nebo metricky diskrétní.
Dodatečně:
- The topologická dimenze diskrétního prostoru se rovná 0.
- Topologický prostor je diskrétní, právě když je jeho singletons jsou otevřené, což je případ právě tehdy, pokud žádné neobsahuje akumulační body.
- Singletony tvoří a základ pro diskrétní topologii.
- Jednotný prostor X je diskrétní právě tehdy, když úhlopříčka {(X,X) : X je v X} je doprovod.
- Každý diskrétní topologický prostor splňuje každý z nich separační axiomy; zejména je každý diskrétní prostor Hausdorff, tj. oddělené.
- Diskrétní prostor je kompaktní kdyby a jen kdyby to je konečný.
- Každý diskrétní jednotný nebo metrický prostor je kompletní.
- Kombinací výše uvedených dvou skutečností je každý diskrétní jednotný nebo metrický prostor úplně ohraničený právě když je konečný.
- Každý diskrétní metrický prostor je ohraničený.
- Každý diskrétní prostor je nejdříve spočítatelné; to je navíc druhý spočetný právě když je počitatelný.
- Každý diskrétní prostor je úplně odpojen.
- Každý neprázdný diskrétní prostor je druhá kategorie.
- Jakékoli dva oddělené prostory se stejným mohutnost jsou homeomorfní.
- Každý diskrétní prostor je metrizovatelný (diskrétní metrikou).
- Konečný prostor je metrizovatelný, pouze pokud je diskrétní.
- Li X je topologický prostor a Y je tedy sada nesoucí diskrétní topologii X je rovnoměrně pokryta X × Y (projekční mapa je požadovaná obálka)
- The topologie podprostoru na celá čísla jako podprostor skutečná linie je diskrétní topologie.
- Diskrétní prostor je oddělitelný právě tehdy, pokud je spočítatelný.
- Jakýkoli topologický podprostor o ℝ (s obvyklým Euklidovská topologie ), který je diskrétní, je nutně počitatelný.[2]
Jakákoli funkce z diskrétního topologického prostoru do jiného topologického prostoru je kontinuální a jakákoli funkce z diskrétního jednotného prostoru do jiného jednotného prostoru je rovnoměrně spojité. To znamená diskrétní prostor X je volný, uvolnit na scéně X v kategorie topologických prostorů a spojitých map nebo v kategorii jednotných prostorů a jednotně spojitých map. Tato fakta jsou příklady mnohem širšího jevu, ve kterém jsou diskrétní struktury na množinách obvykle volné.
S metrickými prostory jsou věci komplikovanější, protože existuje několik kategorií metrických prostorů, v závislosti na tom, co je vybráno pro morfismy. Diskrétní metrický prostor je jistě volný, když jsou morfismy jednotně spojité mapy nebo všechny spojité mapy, ale to o metrice neříká nic zajímavého struktura, pouze jednotná nebo topologická struktura. Kategorie relevantnější pro metrickou strukturu lze najít omezením morfismů na Lipschitz kontinuální mapy nebo do krátké mapy; tyto kategorie však nemají volné objekty (na více než jednom prvku). Diskrétní metrický prostor je však v kategorii ohraničené metrické prostory a Lipschitzovy spojité mapy a je zdarma v kategorii metrických prostorů ohraničených 1 a krátkých map. To znamená, že jakákoli funkce z diskrétního metrického prostoru do jiného omezeného metrického prostoru je Lipschitzova spojitá a jakákoli funkce z diskrétního metrického prostoru do jiného metrického prostoru ohraničeného 1 je krátká.
Jít opačným směrem, funkce F z topologického prostoru Y do diskrétního prostoru X je spojitý právě tehdy, když je místně konstantní v tom smyslu, že každý bod v Y má sousedství na kterých F je konstantní.
Použití
Diskrétní struktura se často používá jako „výchozí struktura“ na množině, která nenese žádnou jinou přirozenou topologii, uniformitu nebo metriku; diskrétní struktury lze často použít jako „extrémní“ příklady k testování konkrétních předpokladů. Například jakýkoli skupina lze považovat za topologická skupina tím, že mu dáme diskrétní topologii, což znamená, že věty o topologických skupinách platí pro všechny skupiny. Ve skutečnosti mohou analytici označovat obyčejné netopologické skupiny studované algebraisty jako „diskrétní skupiny V některých případech to lze užitečně použít, například v kombinaci s Pontryaginova dualita. 0-dimenzionální potrubí (nebo diferencovatelné nebo analytické potrubí) není nic jiného než diskrétní topologický prostor. Můžeme tedy zobrazit jakoukoli diskrétní skupinu jako 0-dimenzionální Lež skupina.
A produkt z počítatelně nekonečný kopie diskrétního prostoru přirozená čísla je homeomorfní do prostoru iracionální čísla, s homeomorfismem daným pokračující zlomek expanze. Produkt nespočetně nekonečných kopií diskrétního prostoru {0,1} je homeomorfní vůči Cantor set; a ve skutečnosti rovnoměrně homeomorfní do sady Cantor, pokud použijeme uniformita produktu na výrobku. Takový homeomorfismus je dán použitím ternární notace čísel. (Vidět Cantorův prostor.)
V základy matematiky, studium kompaktnost vlastnosti produktů {0,1} je ústřední pro topologický přístup k princip ultrafiltru, což je slabá forma výběr.
Nevýrazné prostory
Opakem diskrétní topologie je v některých ohledech triviální topologie (nazývané také neurčitá topologie), který má nejméně možných otevřených sad (jen prázdná sada a samotný prostor). Pokud je diskrétní topologie počáteční nebo volná, je diskrétní topologie konečná nebo cofree: každá funkce z topologický prostor na neurčitý prostor je spojitý atd.
Viz také
Reference
- ^ Pleasants, Peter A.B. (2000). "Designer quasicrystals: Cut-and-project sets with pre-assigned properties". V Baake, Michael (ed.). Pokyny v matematických kvazikrystalech. Série monografií CRM. 13. Providence, RI: Americká matematická společnost. str. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8. Zbl 0982.52018.
- ^ Wilansky 2008, str. 35.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Protiklady v topologii (2. vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90312-7. PAN 0507446. Zbl 0386.54001.
- Wilansky, Albert (17. října 2008) [1970]. Topologie pro analýzu. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899.CS1 maint: datum a rok (odkaz)