Afinní transformace - Affine transformation

Obraz kapradiny fraktální (Barnsleyova kapradina ), který vykazuje afinitu sebepodobnost. Každý z listů kapradiny je příbuzný každému dalšímu listu afinní transformací. Například červený list může být transformován do tmavomodrého listu a libovolného ze světle modrých listů kombinací reflexe, rotace, změny měřítka a překladu.

v Euklidovská geometrie, an afinní transformace, nebo afinita (z latiny, affinis, „spojený s“), je a geometrická transformace který zachovává řádky a rovnoběžnost (ale ne nutně vzdálenosti a úhly ).

Obecněji, an afinní transformace je automorfismus z afinní prostor (Euklidovské prostory jsou specifické afinní prostory), tj. A funkce který mapy afinní prostor na sebe při zachování obou dimenze ze všech afinní podprostory (to znamená, že posílá body do bodů, čáry do čar, roviny do rovin atd.) a poměry délek paralelní úsečky. V důsledku toho sady paralelních afinních podprostorů zůstávají po afinní transformaci paralelní. Afinní transformace nemusí nutně zachovávat úhly mezi čarami nebo vzdálenosti mezi body, ačkoli zachovává poměry vzdáleností mezi body ležícími na přímce.

Li X je množina bodů afinního prostoru, poté každá afinní transformace X lze reprezentovat jako složení a lineární transformace na X a a překlad z X. Na rozdíl od čistě lineární transformace nemusí afinní transformace zachovat původ afinního prostoru. Každá lineární transformace je tedy afinní, ale ne každá afinní transformace je lineární.

Mezi příklady afinních transformací patří překlad, škálování, homotety, podobnost, odraz, otáčení, smykové mapování a jejich složení v jakékoli kombinaci a pořadí.

Prohlížení afinního prostoru jako doplňku a nadrovina v nekonečnu a projektivní prostor, afinní transformace jsou projektivní transformace toho projektivního prostoru, který opouští nadrovinu v nekonečnu neměnný, omezeno na doplněk této nadroviny.

A zobecnění afinní transformace je afinní mapa^[1] (nebo afinní homomorfismus nebo afinní mapování) mezi dvěma (potenciálně odlišnými) afinními prostory přes stejný pole k. Nechat (X, PROTI, k) a (Z, Ž, k) být dva afinní prostory s X a Z množiny bodů a PROTI a Ž příslušné přidružené vektorové prostory přes pole k. Mapa F: X → Z je afinní mapa, pokud existuje a lineární mapa m_F : PROTI → Ž takhle m_F (X − y) = F (X) − F (y) pro všechny x, y v X.^[2]

Definice

Nechat (X, PROTI, k) být afinním prostorem dimenze nejméně dvou, s X nastavený bod a PROTI přidružený vektorový prostor nad polem k. A semiaffinová transformace F z X je bijekce z X na sebe uspokojující:^[3]

1. Li S je d-dimenzionální afinní podprostor z X, F (S) je také a d-rozměrný afinní podprostor X.
2. Li S a T jsou paralelní afinní podprostory X, pak F (S) || F (T).

Tyto dvě podmínky vyjadřují, co přesně znamená výraz „F zachovává paralelismus “.

Tyto podmínky nejsou nezávislé, protože druhá vyplývá z první.^[4] Kromě toho, pokud pole k má alespoň tři prvky, lze první podmínku zjednodušit na: F je kolineace, tj. mapuje řádky na řádky.^[5]

Pokud je to rozměr afinního prostoru (X, PROTI, k) je alespoň dva, pak afinní transformace je semiaffinová transformace F který splňuje podmínku: Pokud X ≠ y a str ≠ q jsou body X takové, že úsečky xy a pq jsou tedy paralelní^[6]

${displaystyle {frac {| {overline {pq}} |}} | | overline {xy}} |}} = {frac {| {overline {f (p) f (q)}} |}} | | {overline { f (x) f (y)}} |}}.}$

Afinní linie

Pokud je dimenze afinního prostoru jedna, tj. Prostor je afinní linie, pak libovolná permutace z X by automaticky splňovalo podmínky, aby se jednalo o semiaffinovou transformaci. Afinní transformace afinní linie tedy je definována jako každá permutace F bodů X takové, že pokud X ≠ y a str ≠ q jsou body X, pak^[7]

${displaystyle {frac {| {overline {pq}} |}} | | overline {xy}} |}} = {frac {| {overline {f (p) f (q)}} |}} | | {overline { f (x) f (y)}} |}}.}$

Struktura

Podle definice afinního prostoru PROTI jedná X, takže pro každý pár (X, proti) v X × PROTI je přidružen bod y v X. Tuto akci můžeme označit pomocí proti→(X) = y. Zde používáme konvenci, že proti→ = proti jsou dvě zaměnitelné notace pro prvek PROTI. Upevněním bodu C v X lze definovat funkci m_C : X → PROTI podle m_C(X) = cx→. Pro všechny C, tato funkce je jedna k jedné, a proto má inverzní funkci m_C⁻¹ : PROTI → X dána m_C⁻¹(proti) = proti→(C). Tyto funkce lze použít k otáčení X do vektorového prostoru (vzhledem k bodu C) definováním:^[8]

• ${displaystyle x + y = m_ {c} ^ {- 1} vlevo (m_ {c} (x) + m_ {c} (y) ight), {ext {pro všechny}} x, y {ext {in} }X,}$ a
• ${displaystyle rx = m_ {c} ^ {- 1} vlevo (rm_ {c} (x) ight), {ext {pro všechny}} r {ext {in}} k {ext {a}} x {ext { v}} X.}$

Tento vektorový prostor má původ C a formálně je třeba jej odlišit od afinního prostoru X, ale běžnou praxí je označit jej stejným symbolem a zmínit, že se jedná o vektorový prostor po byl zadán původ. Tato identifikace umožňuje považovat body za vektory a naopak.

Pro všechny lineární transformace λ z PROTI, můžeme definovat funkci L(C, λ) : X → X podle

${displaystyle L (c, lambda) (x) = m_ {c} ^ {- 1} vlevo (lambda (m_ {c} (x)) ight) = c + lambda ({vec {cx}}).}$

Pak L(C, λ) je afinní transformace X který opouští bod C pevný.^[9] Jedná se o lineární transformaci X, zobrazeno jako vektorový prostor s původem C.

Nechat σ být jakoukoli afinní transformací X. Vyberte si bod C v X a zvážit překlad X vektorem ${displaystyle {mathbf {w}} = {overrightarrow {csigma (c)}}}$, označeno T_w. Překlady jsou afinní transformace a složení afinních transformací je afinní transformace. Pro tuto volbu C, existuje jedinečná lineární transformace λ z PROTI takhle^[10]

${displaystyle sigma (x) = T_ {mathbf {w}} vlevo (L (c, lambda) (x) ight).}$

To znamená libovolnou afinní transformaci X je složení lineární transformace X (zobrazeno jako vektorový prostor) a překlad X.

Tato reprezentace afinních transformací je často brána jako definice afinní transformace (s implicitním výběrem původu).^[11][12][13]

Zastoupení

Jak je uvedeno výše, afinní mapa je složením dvou funkcí: překlad a lineární mapa. Obyčejná vektorová algebra používá násobení matic reprezentovat lineární mapy a vektorové přidání zastupovat překlady. Formálně v případě konečných rozměrů, pokud je lineární mapa reprezentována jako násobení maticí ${displaystyle A}$ a překlad jako přidání vektoru ${displaystyle {vec {b}}}$, afinní mapa ${displaystyle f}$ působící na vektor ${displaystyle {vec {x}}}$ lze reprezentovat jako

${displaystyle {vec {y}} = f ({vec {x}}) = A {vec {x}} + {vec {b}}.}$

Rozšířená matice

Přehrát média

Afinní transformace na 2D rovině lze provádět lineárními transformacemi ve třech rozměrech. Překlad se provádí smykem podél osy z a rotace se provádí kolem osy z.

Pomocí rozšířená matice a rozšířený vektor, je možné reprezentovat jak překlad, tak lineární mapu pomocí jediné násobení matic. Tato technika vyžaduje, aby všechny vektory byly na konci rozšířeny o „1“ a všechny matice byly na spodní straně rozšířeny o další řadu nul, další sloupec - překladový vektor - napravo a „1“ v pravý dolní roh. Li ${displaystyle A}$ je matice,

${displaystyle {egin {bmatrix} {vec {y}} 1end {bmatrix}} = left [{egin {array} {ccc | c}, & A && {vec {b}} 0 & ldots & 0 & 1end {array}} ight] { egin {bmatrix} {vec {x}} 1end {bmatrix}}}$

je ekvivalentní následujícímu

${displaystyle {vec {y}} = A {vec {x}} + {vec {b}}.}$

Výše uvedená rozšířená matice se nazývá afinní transformační matice. Obecně platí, že když není omezen vektor poslední řady ${displaystyle left [{egin {array} {ccc | c} 0 & ldots & 0 & 1end {array}} ight]}$, matice se stává a matice projektivní transformace (jak lze také použít k provedení projektivní transformace ).

Toto vyobrazení vykazuje soubor ze všech invertibilní afinní transformace jako polopřímý produkt z ${displaystyle K ^ {n}}$ a ${displaystyle GL (n, K)}$. Tohle je skupina v rámci provozu složení funkcí, tzv afinní skupina.

Obyčejné násobení matice-vektor vždy mapuje počátek na počátek, a proto nikdy nemůže představovat překlad, ve kterém musí být počátek nutně namapován na nějaký jiný bod. Připojením další souřadnice „1“ ke každému vektoru se v podstatě považuje prostor, který má být mapován, za podmnožinu prostoru s další dimenzí. V tomto prostoru původní prostor zabírá podmnožinu, ve které je další souřadnice 1. Počátek původního prostoru lze tedy najít na ${displaystyle (0,0, dotsc, 0,1)}$. Pak je možný překlad v původním prostoru pomocí lineární transformace prostoru vyšší dimenze (konkrétně smyková transformace). Příkladem jsou souřadnice v prostoru vyšší dimenze homogenní souřadnice. Pokud je původní prostor Euklidovský, prostor vyšší dimenze je a skutečný projektivní prostor.

Výhodou použití homogenních souřadnic je, že je možné kombajn libovolný počet afinních transformací do jedné vynásobením příslušných matic. Tato vlastnost je hojně využívána v počítačová grafika, počítačové vidění a robotika.

Příklad rozšířené matice

Pokud vektory ${displaystyle {vec {x}} _ {1}, dotsc, {vec {x}} _ {n + 1}}$ plocha základ projektivního vektorového prostoru domény a pokud ${displaystyle {vec {y}} _ {1}, dotsc, {vec {y}} _ {n + 1}}$ jsou odpovídající vektory v codomain vektorový prostor pak rozšířená matice ${displaystyle M}$ který dosahuje této afinní transformace

${displaystyle left [{egin {array} {c} {vec {y}} 1end {array}} ight] = Mleft [{egin {array} {c} {vec {x}} 1end {array}} ight ]}$

je

${displaystyle M = left [{egin {array} {ccc} {vec {y}} _ {1} & ldots & {vec {y}} _ {n + 1} 1 & ldots & 1end {array}} ight] left [{ egin {array} {ccc} {vec {x}} _ {1} & ldots & {vec {x}} _ {n + 1} 1 & ldots & 1end {array}} ight] ^ {- 1}}$.

Tato formulace funguje bez ohledu na to, zda některý z doménových, doménových a obrazových vektorových prostorů má stejný počet rozměrů.

Například afinní transformace vektorové roviny je jednoznačně určena ze znalosti místa, kde jsou tři vrcholy (${displaystyle {vec {x}} _ {1}, {vec {x}} _ {2}, {vec {x}} _ {3}}$) nedegenerovaného trojúhelníku jsou mapovány na (${displaystyle {vec {y}} _ {1}, {vec {y}} _ {2}, {vec {y}} _ {3}}$), bez ohledu na počet dimenzí codomain a bez ohledu na to, zda je trojúhelník v codomaině nedegenerovaný.

Vlastnosti

Vlastnosti zachovány

Afinní transformace zachovává:

1. kolineárnost mezi body: tři nebo více bodů, které leží na stejné přímce (nazývají se kolineární body), zůstávají po transformaci kolineární.
2. rovnoběžnost: dvě nebo více linií, které jsou rovnoběžné, po transformaci budou i nadále rovnoběžné.
3. konvexnost množin: konvexní množina zůstává po transformaci konvexní. Navíc extrémní body původní sady jsou mapovány na krajní body transformované sady.^[14]
4. poměry délek paralelních úseček: pro odlišné paralelní úseky definované body ${displaystyle p_ {1}}$ a ${displaystyle p_ {2}}$, ${displaystyle p_ {3}}$ a ${displaystyle p_ {4}}$, poměr ${displaystyle {overrightarrow {p_ {1} p_ {2}}}}$ a ${displaystyle {overrightarrow {p_ {3} p_ {4}}}}$ je stejný jako u ${displaystyle {overrightarrow {f (p_ {1}) f (p_ {2})}}}$ a ${displaystyle {overrightarrow {f (p_ {3}) f (p_ {4})}}}$.
5. barycentra vážených sbírek bodů.

Skupiny

Afinní transformace je invertibilní, proto ${displaystyle A}$ je invertibilní. V maticové reprezentaci je inverzní:

${displaystyle left [{egin {array} {ccc | c} & A ^ {- 1} && - A ^ {- 1} {vec {b}} 0 & ldots & 0 & 1end {array}} ight]}$

Invertibilní afinní transformace (afinního prostoru na sebe) tvoří afinní skupina, který má obecná lineární skupina stupně ${displaystyle n}$ jako podskupina a je sama o sobě podskupinou obecné lineární skupiny stupňů ${displaystyle n + 1}$.

The transformace podobnosti tvoří podskupinu kde ${displaystyle A}$ je skalární časy a ortogonální matice. Například pokud afinní transformace působí na rovinu a pokud určující z ${displaystyle A}$ je 1 nebo -1, pak je transformace ekviarealové mapování. Takové transformace tvoří podskupinu nazvanou ko-afinní skupina.^[15] Transformace, která je jak rovnocenná, tak podobná, je izometrie letadla vzatého s Euklidovská vzdálenost.

Každá z těchto skupin má podskupinu orientace -zachování nebo pozitivní afinní transformace: ty, kde je determinant ${displaystyle A}$ je pozitivní. V posledním případě se jedná o 3D skupinu tuhé transformace (správné rotace a čisté překlady).

Pokud existuje pevný bod, můžeme to vzít jako počátek a afinní transformace se redukuje na lineární transformaci. To může usnadnit klasifikaci a pochopení transformace. Například popis transformace jako rotace o určitý úhel vzhledem k určité ose může poskytnout jasnější představu o celkovém chování transformace než její popis jako kombinace překladu a rotace. To však závisí na aplikaci a kontextu.

Afinní mapy

Afinní mapa ${displaystyle fcolon {mathcal {A}} o {mathcal {B}}}$ mezi dvěma afinní prostory je mapa bodů, které působí lineárně na vektorech (tj. vektory mezi body prostoru). V symbolech, ${displaystyle f}$ určuje lineární transformaci ${displaystyle varphi}$ takové, že pro jakýkoli pár bodů ${displaystyle P, Qin {mathcal {A}}}$:

${displaystyle {overrightarrow {f (P) ~ f (Q)}} = varphi ({overrightarrow {PQ}})}$

nebo

${displaystyle f (Q) -f (P) = varphi (Q-P)}$.

Tuto definici můžeme interpretovat několika dalšími způsoby, a to následovně.

Pokud původ ${displaystyle Oin {mathcal {A}}}$ je vybrán a ${displaystyle B}$ označuje jeho obrázek ${displaystyle f (O) in {mathcal {B}}}$, pak to znamená, že pro jakýkoli vektor ${displaystyle {vec {x}}}$:

${displaystyle fcolon (O + {vec {x}}) mapsto (B + varphi ({vec {x}}))}$.

Pokud původ ${displaystyle O'in {mathcal {B}}}$ je také vybrán, lze jej rozložit jako afinní transformaci ${displaystyle gcolon {mathcal {A}} o {mathcal {B}}}$ který posílá ${displaystyle Omapsto O '}$, jmenovitě

${displaystyle gcolon (O + {vec {x}}) mapsto (O '+ varphi ({vec {x}}))}$,

následuje překlad vektorem ${displaystyle {vec {b}} = {overrightarrow {O'B}}}$.

Závěrem je, že intuitivně ${displaystyle f}$ Skládá se z překladu a lineární mapy.

Alternativní definice

Vzhledem k tomu dva afinní prostory ${displaystyle {mathcal {A}}}$ a ${displaystyle {mathcal {B}}}$, ve stejném poli, funkce ${displaystyle fcolon {mathcal {A}} o {mathcal {B}}}$ je afinní mapa kdyby a jen kdyby pro každou rodinu ${displaystyle {(a_ {i}, lambda _ {i})} _ {iin I}}$ vážených bodů v ${displaystyle {mathcal {A}}}$ takhle

${displaystyle sum _ {iin I} lambda _ {i} = 1}$,

my máme^[16]

${displaystyle fleft (sum _ {iin I} lambda _ {i} a_ {i} ight) = suma _ {iin I} lambda _ {i} f (a_ {i})}$.

Jinými slovy, ${displaystyle f}$ konzervuje barycentra.

Dějiny

Slovo „afinní“ jako matematický termín je definováno ve spojení s tečnami ke křivkám v Euler rok 1748 Úvod do analysin infinitorum.^[17] Felix Klein připisuje termín "afinní transformace" Möbius a Gauss.^[12]

Transformace obrazu

Ve svých aplikacích na digitální zpracování obrazu, afinní transformace jsou analogické s tiskem na list gumy a protahováním okrajů listu rovnoběžně s rovinou. Tato transformace přemístí pixely vyžadující interpolaci intenzity k přiblížení hodnoty přesunutých pixelů, bikubické interpolace je standard pro transformace obrazu v aplikacích pro zpracování obrazu. Afinní transformace měřítko, otáčení, překlad, zrcadlení a smykové obrázky, jak je znázorněno v následujících příkladech:^[18]

Název transformace	Afinní matice	Příklad
Identita (transformovat na původní obrázek)	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {bmatrix}}}$
Překlad	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 0 & v_ {x}> 0 0 & 1 & v_ {y} = 0 0 & 0 & 1end {bmatrix}}}$
Odraz	${displaystyle {egin {bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1end {bmatrix}}}$
Měřítko	${displaystyle {egin {bmatrix} c_ {x} = 2 & 0 & 0 0 & c_ {y} = 1 & 0 0 & 0 a 1end {bmatrix}}}$
Točit se	${displaystyle {egin {bmatrix} cos (heta) & - sin (heta) & 0 sin (heta) & cos (heta) & 0 0 & 0 & 1end {bmatrix}}}$	kde θ = π/6 =30°
Stříhat	${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & c_ {x} = 0,5 & 0 c_ {y} = 0 & 1 & 0 0 & 0 a 1end {bmatrix}}}$

Afinní transformace jsou použitelné v procesu registrace, kde jsou zarovnány (zaregistrovány) dva nebo více obrázků. Příklad registrace obrázku je generování panoramatických snímků, které jsou výsledkem několika snímků sešívané spolu.

Afinní deformace

Afinní transformace zachovává paralelní linie. Protahovací a smykové transformace se však zdeformují, jak ukazuje následující příklad:

Toto je příklad deformace obrazu. Afinní transformace však neusnadňují projekci na zakřivený povrch nebo radiální zkreslení.

V letadle

Centrální dilatace. Trojúhelníky A1B1Z, A1C1Z a B1C1Z se namapují na A2B2Z, A2C2Z a B2C2Z.

Afinní transformace ve dvou skutečných dimenzích zahrnují:

• čisté překlady,
• škálování v daném směru vzhledem k přímce v jiném směru (ne nutně kolmém) v kombinaci s překladem, který není čistě ve směru změny měřítka; vezmeme-li „měřítko“ v obecném smyslu, zahrnuje případy, kdy je měřítko nulové (projekce ) nebo negativní; druhý zahrnuje odraz a v kombinaci s překladem zahrnuje klouzavý odraz,
• otáčení v kombinaci s a homotety a překlad,
• smykové mapování v kombinaci s homothety a překladem, nebo
• zmáčknout mapování v kombinaci s homothety a překladem.

Vizualizovat obecnou afinní transformaci Euklidovské letadlo, vezměte si štítek rovnoběžníky abeceda a ABECEDA'. Ať už jsou volby bodů jakékoli, existuje afinní transformace T odletu letadla A na A'a každý vrchol podobně. Předpokládejme, že vyloučíme zdegenerovaný případ, kdy abeceda má nulu plocha existuje jedinečná taková afinní transformace T. Nakreslení celé mřížky rovnoběžníků na základě abeceda, obrázek T(P) libovolného bodu P je určeno tím, že si to všimneme T(A) = A', T aplikován na úsečku AB je A'B ′, T aplikován na úsečku AC je A'C ′, a T respektuje skalární násobky vektorů založené na A. [Li A, E, F jsou kolineární, pak délka poměru (AF)/délka(AE) se rovná délce (A′F')/délka(A′E′).] Geometricky T transformuje mřížku na základě abeceda k tomu se sídlem v ABECEDA'.

Afinní transformace nerespektují délky ani úhly; vynásobí plochu konstantním faktorem

oblast ABECEDA' / oblast abeceda.

Daná T může být Přímo (respektovat orientaci), nebo nepřímý (obrácená orientace), a to může být určeno jeho účinkem na podepsaný oblasti (jak jsou definovány například křížový produkt vektorů).

Příklady

Přes reálná čísla

Funkce ${displaystyle fcolon mathbb {R} o mathbb {R},; f (x) = mx + c}$ s ${displaystyle m}$ a ${displaystyle c}$ v ${displaystyle mathbb {R}}$, jsou přesně afinní transformace skutečná linie.

Přes konečné pole

Následující rovnice vyjadřuje afinní transformaci GF (2⁸) viděn jako 8-dimenzionální vektorový prostor nad GF (2), který se používá v krypto-algoritmu Rijndael (AES):

${displaystyle {a '} = M {a} oplus {v},}$

kde ${displaystyle [M]}$ je níže uvedená matice, ${displaystyle {v}}$ je pevný vektor a ${displaystyle {a} = (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, a_ {5}, a_ {6}, a_ {7}).}$ Konkrétně ${Displaystyle M {a} = {Egin {bmatrix} 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1end {bmatrix}}}$${displaystyle {egin {bmatrix} a_ {0} a_ {1} a_ {2} a_ {3} a_ {4} a_ {5} a_ {6} a_ {7} konec {bmatrix} }}$ a ${displaystyle {v} = {egin {bmatrix} 1 1 0 0 0 1 1 0end {bmatrix}}.}$

Například afinní transformace prvku ${displaystyle {a} = y ^ {7} + y ^ {6} + y ^ {3} + y = {11001010_ {2}}}$ v big-endian binární notace se počítá takto:

${displaystyle a_ {0} '= a_ {0} oplus a_ {4} oplus a_ {5} oplus a_ {6} oplus a_ {7} oplus 1 = 0oplus 0oplus 0oplus 1oplus 1oplus 1 = 1}$

${displaystyle a_ {1} '= a_ {0} oplus a_ {1} oplus a_ {5} oplus a_ {6} oplus a_ {7} oplus 1 = 0oplus 1oplus 0oplus 1oplus 1oplus 1 = 0}$

${displaystyle a_ {2} '= a_ {0} oplus a_ {1} oplus a_ {2} oplus a_ {6} oplus a_ {7} oplus 0 = 0oplus 1oplus 0oplus 1oplus 1oplus 0 = 1}$

${displaystyle a_ {3} '= a_ {0} oplus a_ {1} oplus a_ {2} oplus a_ {3} oplus a_ {7} oplus 0 = 0oplus 1oplus 0oplus 1oplus 1oplus 0 = 1}$

${displaystyle a_ {4} '= a_ {0} oplus a_ {1} oplus a_ {2} oplus a_ {3} oplus a_ {4} oplus 0 = 0oplus 1oplus 0oplus 1oplus 0oplus 0 = 0}$

${displaystyle a_ {5} '= a_ {1} oplus a_ {2} oplus a_ {3} oplus a_ {4} oplus a_ {5} oplus 1 = 1oplus 0oplus 1oplus 0oplus 0oplus 1 = 1}$

${displaystyle a_ {6} '= a_ {2} oplus a_ {3} oplus a_ {4} oplus a_ {5} oplus a_ {6} oplus 1 = 0oplus 1oplus 0oplus 0oplus 1oplus 1 = 1}$

${displaystyle a_ {7} '= a_ {3} oplus a_ {4} oplus a_ {5} oplus a_ {6} oplus a_ {7} oplus 0 = 1oplus 0oplus 0oplus 1oplus 1oplus 0 = 1.}$

Tím pádem, ${displaystyle {a '} = y ^ {7} + y ^ {6} + y ^ {5} + y ^ {3} + y ^ {2} + 1 = {11101101_ {2}}}$.

V rovinné geometrii

Jednoduchá afinní transformace ve skutečné rovině

Účinek aplikace různých 2D afinních transformačních matic na jednotkový čtverec. Všimněte si, že reflexní matice jsou speciální případy škálovací matice.

V ℝ², transformace zobrazená vlevo se provádí pomocí mapy dané:

${displaystyle {egin {bmatrix} x yend {bmatrix}} mapsto {egin {bmatrix} 0 a 1 2 a 1end {bmatrix}} {egin {bmatrix} x yend {bmatrix}} + {egin {bmatrix} -100 -100end {bmatrix}}}$

Transformace tří rohových bodů původního trojúhelníku (červeně) dává tři nové body, které tvoří nový trojúhelník (modře). Tato transformace zkresluje a překládá původní trojúhelník.

Ve skutečnosti jsou všechny trojúhelníky vzájemně příbuzné afinními transformacemi. To platí také pro všechny rovnoběžníky, ale ne pro všechny čtyřúhelníky.

Viz také

• Anamorphosis - umělecké aplikace afinních transformací
• Afinní geometrie
• 3D projekce
• Homografie
• Plochý (geometrie)
• Ohnutá funkce

Poznámky

Reference

• Berger, Marcel (1987), Geometrie I, Berlín: Springer, ISBN  3-540-11658-3
• Brannan, David A .; Esplen, Matthew F .; Gray, Jeremy J. (1999), Geometrie, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-59787-6
• Nomizu, Katsumi; Sasaki, S. (1994), Afinní diferenciální geometrie (New ed.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-44177-3
• Klein, Felix (1948) [1939], Základní matematika z pokročilého hlediska: geometrieDover
• Samuel, Pierre (1988), Projektivní geometrie, Springer-Verlag, ISBN  0-387-96752-4
• Sharpe, R. W. (1997). Diferenciální geometrie: Cartanovo zobecnění Kleinova programu Erlangen. New York: Springer. ISBN  0-387-94732-9.
• Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989) [1971], Metrická afinní geometrieDover, ISBN  978-0-486-66108-7
• Wan, Zhe-xian (1993), Geometrie klasických skupin přes konečná pole, Chartwell-Bratt, ISBN  0-86238-326-9

externí odkazy

• "Afinní transformace", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Geometrické operace: afinní transformace R. Fisher, S. Perkins, A. Walker a E. Wolfart.
• Weisstein, Eric W. „Afinní transformace“. MathWorld.
• Afinní transformace Bernard Vuilleumier, Demonstrační projekt Wolfram.
• Afinní transformace s MATLABem