Vzepětí skupina - Dihedral group - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Dubna 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

The skupina symetrie a sněhová vločka je D.₆, dihedrická symetrie, stejná jako u pravidelné šestiúhelník.

v matematika, a dihedrální skupina je skupina z symetrie a pravidelný mnohoúhelník,^[1][2] který zahrnuje rotace a odrazy. Dihedrální skupiny patří mezi nejjednodušší příklady konečné skupiny, a hrají důležitou roli v teorie skupin, geometrie, a chemie.

Zápis pro vzepětí skupiny se liší v geometrie a abstraktní algebra. v geometrie, D_n nebo Dih_n odkazuje na symetrie n-gon, skupina objednávky 2n. v abstraktní algebra, D_2n se týká stejné dvojstěnné skupiny.^[3] V tomto článku je použita geometrická konvence.

Definice

Elementy

Šest os odraz pravidelného šestiúhelníku

Pravidelný mnohoúhelník s ${ displaystyle n}$ strany má ${ displaystyle 2n}$ různé symetrie: ${ displaystyle n}$ rotační symetrie a ${ displaystyle n}$ reflexní symetrie. Obvykle bereme ${ displaystyle n geq 3}$ tady. Přidružené rotace a odrazy tvoří dihedrální skupinu ${ displaystyle mathrm {D} _ {n}}$. Li ${ displaystyle n}$ je liché, každá osa symetrie spojuje střed jedné strany s opačným vrcholem. Li ${ displaystyle n}$ je dokonce, existují ${ displaystyle n / 2}$ osy symetrie spojující středy protilehlých stran a ${ displaystyle n / 2}$ osy symetrie spojující protilehlé vrcholy. V obou případech existují ${ displaystyle n}$ osy symetrie a ${ displaystyle 2n}$ prvky ve skupině symetrie.^[4] Odražení v jedné ose symetrie následované odrazem v jiné ose symetrie vytvoří rotaci o dvojnásobek úhlu mezi osami.^[5]

Následující obrázek ukazuje účinek šestnácti prvků ${ displaystyle mathrm {D} _ {8}}$ na stopka:

První řádek ukazuje účinek osmi rotací a druhý řádek ukazuje účinek osmi odrazů, které v každém případě působí na stopku s orientací, jak je znázorněno vlevo nahoře.

Struktura skupiny

Jako u každého geometrického objektu, složení dvou symetrií pravidelného mnohoúhelníku je opět symetrií tohoto objektu. Díky složení symetrií k vytvoření další jako binární operace to dává symetrii polygonu algebraickou strukturu konečná skupina.^[6]

Složení těchto dvou odrazů je rotace.

Následující Cayleyho stůl ukazuje účinek složení ve skupině D₃ (symetrie an rovnostranný trojúhelník ). r₀ označuje totožnost; r₁ a r₂ označit otáčení proti směru hodinových ručiček o 120 °, respektive 240 °, a s₀, s₁ a s₂ označují odrazy přes tři čáry zobrazené na sousedním obrázku.

Například, s₂s₁ = r₁, protože odraz s₁ následuje reflexe s₂ má za následek otočení o 120 °. Pořadí prvků označujících složení je zprava doleva, což odráží konvenci, že prvek působí na výraz napravo. Složení operace není komutativní.^[6]

Obecně platí, že skupina D_n má prvky r₀, ..., r_n−1 a s₀, ..., s_n−1, jehož složení je dáno následujícími vzorci:

${ displaystyle mathrm {r} _ {i} , mathrm {r} _ {j} = mathrm {r} _ {i + j}, quad mathrm {r} _ {i} , mathrm {s} _ {j} = mathrm {s} _ {i + j}, quad mathrm {s} _ {i} , mathrm {r} _ {j} = mathrm {s} _ {ij}, quad mathrm {s} _ {i} , mathrm {s} _ {j} = mathrm {r} _ {ij}.}$

Ve všech případech se sčítání a odčítání dolních indexů provádí pomocí modulární aritmetika s modulem n.

Maticová reprezentace

Symetrie tohoto pětiúhelníku jsou lineární transformace roviny jako vektorový prostor.

Pokud vycentrujeme pravidelný mnohoúhelník na počátek, pak prvky dvojstěnné skupiny fungují jako lineární transformace z letadlo. To nám umožňuje reprezentovat prvky D._n tak jako matice, přičemž složení je násobení matic Toto je příklad (2-dimenzionální) skupinové zastoupení.

Například prvky skupiny D₄ mohou být reprezentovány následujícími osmi maticemi:

${ displaystyle { begin {matrix} mathrm {r} _ {0} = left ({ begin {smallmatrix} 1 & 0 [0.2em] 0 & 1 end {smallmatrix}} right), & mathrm { r} _ {1} = left ({ begin {smallmatrix} 0 & -1 [0,2em] 1 & 0 end {smallmatrix}} right), & mathrm {r} _ {2} = left ( { begin {smallmatrix} -1 & 0 [0,2em] 0 & -1 end {smallmatrix}} right), & mathrm {r} _ {3} = left ({ begin {smallmatrix} 0 & 1 [0.2em] -1 & 0 end {smallmatrix}} right), [1em] mathrm {s} _ {0} = left ({ begin {smallmatrix} 1 & 0 [0.2em] 0 & -1 end {smallmatrix}} right), & mathrm {s} _ {1} = left ({ begin {smallmatrix} 0 & 1 [0.2em] 1 & 0 end {smallmatrix}} right), & mathrm {s} _ {2} = left ({ begin {smallmatrix} -1 & 0 [0,2em] 0 & 1 end {smallmatrix}} right), & mathrm {s} _ {3} = left ({ begin {smallmatrix} 0 & -1 [0,2em] -1 & 0 end {smallmatrix}} right). end {matrix}}}$

Obecně platí, že matice pro prvky D_n mít následující formulář:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathrm {r} _ {k} & = { begin {pmatrix} cos { frac {2 pi k} {n}} & - sin { frac {2 pi k} {n}} sin { frac {2 pi k} {n}} & cos { frac {2 pi k} {n}} end {pmatrix}} { text {and}} mathrm {s} _ {k} & = { begin {pmatrix} cos { frac {2 pi k} {n}} & sin { frac {2 pi k} {n}} sin { frac {2 pi k} {n}} & - cos { frac {2 pi k} {n}} end {pmatrix}}. end { zarovnaný}}}$

r_k je rotační matice, vyjadřující otáčení proti směru hodinových ručiček o úhel 2πk/n. s_k je odraz přes čáru, která svírá úhel πk/n s X-osa.

Další definice

Další ekvivalentní definice D_n jsou:

Malé vzepětí skupiny

Příklad podskupin ze šestihranné dihedrické symetrie

D₁ je izomorfní na Z₂, cyklická skupina objednávky 2.

D₂ je izomorfní na K.₄, Kleinova čtyřčlenná skupina.

D₁ a D₂ jsou výjimečné v tom, že:

• D₁ a D₂ jsou jediní abelian dihedrální skupiny. V opačném případě, D_n je neabelský.
• D_n je podskupina z symetrická skupina S_n pro n ≥ 3. Od té doby 2n > n! pro n = 1 nebo n = 2, pro tyto hodnoty, D_n je příliš velký na to, aby mohl být podskupinou.
• Skupina vnitřního automorfismu D₂ je triviální, zatímco pro jiné sudé hodnoty n, tohle je D_n / Z₂.

The cyklické grafy dihedrálních skupin se skládá z n-prvkový cyklus a n 2-prvkové cykly. Tmavý vrchol v grafech cyklů níže různých vzepjatých skupin představuje prvek identity a ostatní vrcholy jsou dalšími prvky skupiny. Cyklus se skládá z postupných sil kteréhokoli z prvků připojených k prvek identity.

Cyklické grafy

D1 = Z2	D2 = Z22 = K.4	D3	D4	D5
D6 = D3 × Z.2	D7	D8	D9	D10 = D5 × Z.2

D3 = S3	D4

Dihedrická skupina jako skupina symetrie ve 2D a rotační skupina ve 3D

Příklad abstraktní skupiny D_n, a běžným způsobem, jak si to představit, je skupina Izometrie euklidovské roviny které udržují původ pevný. Tyto skupiny tvoří jednu ze dvou řad diskrétních skupiny bodů ve dvou dimenzích. D_n skládá se z n rotace z násobků 360°/n o původu a odrazy přes n čáry procházející počátkem, vytvářející úhly násobků 180°/n jeden s druhým. To je skupina symetrie a pravidelný mnohoúhelník s n strany (pro n ≥ 3; to se vztahuje i na případy n = 1 a n = 2 kde máme rovinu s příslušně posunutým bodem od „středu“ „1-gonu“ a „2-gonu“ nebo úsečky).

D_n je generováno rotací r z objednat n a reflexe s řádu 2 takové, že

${ displaystyle mathrm {srs} = mathrm {r} ^ {- 1} ,}$

Geometricky: v zrcadle rotace vypadá jako inverzní rotace.

Ve smyslu komplexní čísla: násobení ${ displaystyle e ^ {2 pi i over n}}$ a komplexní konjugace.

V maticové formě nastavením

${ displaystyle mathrm {r} _ {1} = { začátek {bmatrix} cos {2 pi over n} & - sin {2 pi over n} [8pt] sin {2 pi over n} & cos {2 pi over n} end {bmatrix}} qquad mathrm {s} _ {0} = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & -1 end { bmatrix}}}$

a definování ${ displaystyle mathrm {r} _ {j} = mathrm {r} _ {1} ^ {j}}$ a ${ displaystyle mathrm {s} _ {j} = mathrm {r} _ {j} , mathrm {s} _ {0}}$ pro ${ displaystyle j in {1, ldots, n-1 }}$ můžeme napsat pravidla produktu pro D_n tak jako

${ displaystyle { begin {aligned} mathrm {r} _ {j} , mathrm {r} _ {k} & = mathrm {r} _ {(j + k) { text {mod}} n} mathrm {r} _ {j} , mathrm {s} _ {k} & = mathrm {s} _ {(j + k) { text {mod}} n} mathrm {s} _ {j} , mathrm {r} _ {k} & = mathrm {s} _ {(jk) { text {mod}} n} mathrm {s} _ {j } , mathrm {s} _ {k} & = mathrm {r} _ {(jk) { text {mod}} n} end {zarovnáno}}}$

(Srovnej koordinovat rotace a odrazy.)

Dihedrální skupina D₂ je generován rotací r o 180 stupňů a odrazem s přes X-osa. Prvky D.₂ pak může být reprezentován jako {e, r, s, rs}, kde e je identita nebo nulová transformace a rs je odraz napříč y-osa.

Čtyři prvky D.₂ (osa x je zde svislá)

D₂ je izomorfní do Kleinova čtyřčlenná skupina.

Pro n > 2 operace rotace a odrazu obecně ne dojíždět a D._n není abelian; například v D₄, rotace o 90 stupňů následovaná odrazem poskytuje jiný výsledek než odraz následovaný rotací o 90 stupňů.

D₄ je nonabelian (osa x je zde svislá).

Tedy nad rámec jejich zjevné aplikace na problémy symetrie v rovině patří tyto skupiny k nejjednodušším příkladům neabelovských skupin a jako takové často vznikají jako snadné protiklady k větám, které jsou omezeny na abelianské skupiny.

The 2n prvky D_n lze psát jako E, r, r², ... , rⁿ⁻¹, s, r s, r²s, ... , rⁿ⁻¹s. První n uvedené prvky jsou rotace a zbývající n prvky jsou osové odrazy (všechny mají pořadí 2). Produktem dvou rotací nebo dvou odrazů je rotace; produkt rotace a odrazu je odraz.

Zatím jsme uvažovali D_n být a podskupina z O (2), tj. skupina rotací (o počátku) a odrazů (napříč osami počátkem) roviny. Nicméně notace D_n se také používá pro podskupinu SO (3) který je také typu abstraktní skupiny D_n: správná skupina symetrie a pravidelný mnohoúhelník vložený do trojrozměrného prostoru (li n ≥ 3). Taková postava může být považována za zvrhlou pravidelnou pevnou hmotu s tváří započítanou dvakrát. Proto se také nazývá a dihedron (Řek: pevná látka se dvěma tvářemi), což vysvětluje název dihedrální skupina (analogicky k čtyřboká, osmistěn a ikosahedrální skupina, s odkazem na správné skupiny symetrie regulárního čtyřstěn, osmistěn, a dvacetistěnu příslušně).

Příklady 2D vzepětí symetrie

• 

  2D D₆ symetrie - Červená Davidova hvězda

• 

  2D D₁₆ symetrie - Japonská císařská pečeť, představující osminásobek chryzantéma se šestnácti okvětní lístky.

• 

  2D D₂₄ symetrie - Ashoka čakra, jak je znázorněno na Státní vlajka Indické republiky.

Vlastnosti

Vlastnosti dihedrálních skupin D_n s n ≥ 3 záleží na tom, zda n je sudé nebo liché. Například centrum z D_n sestává pouze z identity, pokud n je zvláštní, ale pokud n is even the center has two elements, specifically the identity and the element r^n/2 (s D._n jako podskupina O (2) to je inverze; protože to je skalární násobení o -1 je jasné, že dojíždí s jakoukoli lineární transformací).

V případě 2D izometrií to odpovídá přidání inverze, což dává rotace a zrcadla mezi existujícími.

Pro n dvakrát liché číslo, abstraktní skupina D_n je isomorfní s přímý produkt z D_{n / 2} a Z₂Obecně, pokud m rozděluje n, pak D_n má n/m podskupiny typu D_ma jedna podskupina ℤ_m. Proto celkový počet podskupin D_n (n ≥ 1), se rovná d(n) + σ (n), kde d(n) je počet kladných hodnot dělitele z n a σ(n) je součet kladných dělitelůn. Vidět seznam malých skupin pro případyn ≤ 8.

Dihedrická skupina řádu 8 (D₄) je nejmenší příklad skupiny, která není a T-skupina. Kdokoli z jeho dvou Kleinova čtyřčlenná skupina podskupiny (které jsou normální v D.₄) má jako normální podskupinu pořadí-2 podskupiny generované odrazem (převrácením) v D₄, ale tyto podskupiny nejsou v D. normální₄.

Konjugační třídy reflexí

Všechny odrazy jsou sdružené navzájem pro případ n je zvláštní, ale spadají do dvou tříd konjugace, pokud n je sudý. Když uvažujeme o izometrii pravidelného n-gon: pro liché n mezi každou dvojicí zrcadel jsou ve skupině rotace, zatímco pro rovnoměrné n těmito rotacemi lze z jednoho dosáhnout pouze poloviny zrcátek. Geometricky, v lichém polygonu každá osa symetrie prochází vrcholem a stranou, zatímco v sudém polygonu existují dvě sady os, z nichž každá odpovídá třídě konjugace: ty, které procházejí dvěma vrcholy a ty, které procházejí dvěma stranami .

Algebraicky se jedná o instanci konjugátu Sylowova věta (pro n zvláštní): pro n lichý, každý odraz spolu s identitou tvoří podskupinu řádu 2, což je a Sylow 2-podskupina (2 = 2¹ je maximální výkon 2 dělení 2n = 2[2k + 1]), zatímco pro n dokonce tyto podskupiny řádu 2 nejsou podskupinami Sylow, protože 4 (vyšší síla 2) dělí pořadí skupiny.

Pro n i tam je místo toho vnější automorfismus záměna dvou typů odrazů (správně, třída vnějších automorfismů, které jsou všechny konjugovány s vnitřním automorfismem).

Automorfická skupina

The automorfická skupina z D_n je isomorfní s holomorf z ℤ /nℤ, tj. Do Hol (ℤ /nℤ) = {sekera + b | (A, n) = 1} a má pořádek nϕ(n), kde ϕ je Euler totient funkce, počet k v 1, …, n − 1 coprime to n.

Lze jej chápat z hlediska generátorů odrazu a elementární rotace (rotace o k(2π/n), pro k coprime na n); které automatorfismy jsou vnitřní a vnější, závisí na paritě n.

• Pro n zvláštní, vzepětí skupina je bez středů, takže jakýkoli prvek definuje netriviální vnitřní automorfismus; pro n sudá je rotace o 180 ° (odraz skrz počátek) netriviálním prvkem středu.
• Tak pro n zvláštní, skupina vnitřního automorfismu má pořadí 2n, a pro n dokonce (jiné než n = 2) vnitřní skupina automorfismu má pořádek n.
• Pro n liché, všechny odrazy jsou konjugované; pro n dokonce spadají do dvou tříd (ty, které procházejí dvěma vrcholy a ty, které procházejí dvěma plochami), spojené vnějším automorfismem, který může být reprezentován rotací π/n (polovina minimální rotace).
• Rotace jsou normální podskupinou; konjugace odrazem změní znaménko (směr) rotace, ale jinak je ponechá beze změny. Tedy automatorfismy, které vynásobí úhly k (coprime to n) jsou vnější, pokud k = ±1.

Příklady skupin automorfismu

D₉ má 18 vnitřní automorfismy. Jako 2D izometrická skupina D₉, skupina má zrcadla v 20 ° intervalech. 18 vnitřních automorfismů zajišťuje rotaci zrcadel o násobky 20 ° a odrazy. Jako skupina izometrie jsou to všechno automorfismy. Jako abstraktní skupina existuje navíc k těmto, 36 vnější automorfismy; např. vynásobením úhlů otáčení o 2.

D₁₀ má 10 vnitřních automorfismů. Jako 2D izometrická skupina D₁₀, skupina má zrcadla v 18 ° intervalech. 10 vnitřních automorfismů zajišťuje rotaci zrcadel o násobky 36 ° a odrazy. Jako izometrická skupina existuje 10 dalších automorfismů; jsou to konjugáty izometrií mimo skupinu, otáčející zrcadla o 18 ° vzhledem k vnitřním automorfismům. Jako abstraktní skupina existuje kromě těchto 10 vnitřních a 10 vnějších automorfismů ještě 20 dalších vnějších automorfismů; např. vynásobením rotací 3.

Porovnejte hodnoty 6 a 4 pro Eulerova totientová funkce, multiplikativní skupina celých čísel modulo n pro n = 9, respektive 10. Toto ztrojnásobuje a zdvojnásobuje počet automorfismů ve srovnání se dvěma automorfismy jako izometrií (udržování pořadí rotací stejné nebo obrácení pořadí).

Jediné hodnoty n pro který φ(n) = 2 jsou 3, 4 a 6, a v důsledku toho existují pouze tři diedrické skupiny, které jsou izomorfní s vlastními automorfickými skupinami, a to D₃ (objednávka 6), D₄ (objednávka 8) a D₆ (objednávka 12).^[7][8][9]

Skupina vnitřního automorfismu

Skupina vnitřního automorfismu D_n je izomorfní s:^[10]

• D_n -li n je liché;
• D_n / Z₂ -li n je dokonce (pro n = 2, D₂ / Z₂ = 1 ).

Zobecnění

Existuje několik důležitých zevšeobecnění dihedrálních skupin:

• The nekonečná dihedrální skupina je nekonečná skupina s algebraickou strukturou podobnou konečným dihedrálním skupinám. Lze na ni pohlížet jako na skupinu symetrií celá čísla.
• The ortogonální skupina O (2), tj. Skupina symetrie kruh, má také podobné vlastnosti jako dihedrální skupiny.
• Rodina zobecněné dihedrální skupiny zahrnuje jak výše uvedené příklady, tak i mnoho dalších skupin.
• The kvaziedirální skupiny jsou rodina konečných skupin s podobnými vlastnostmi jako skupiny vzepětí.

Viz také

• Rotace a odrazy souřadnic
• Index cyklu vzepjaté skupiny
• Dicyklická skupina
• Dihedrální skupina řádu 6
• Dihedrální skupina řádu 8
• Skupiny středové symetrie ve 3D
• Dihedrální symetrie ve třech rozměrech

Reference

externí odkazy

• Dihedral Group n řádu 2n podle Shawn Dudzik, Demonstrační projekt Wolfram.
• Vzepětí skupina ve společnosti Groupprops
• Weisstein, Eric W. "Dihedral Group". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Dihedral Group D3“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Dihedral Group D4“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Dihedral Group D5". MathWorld.
• Davis, Declan. "Dihedral Group D6". MathWorld.
• Vzpřímené skupiny na GroupNames