Fraktál - Fractal

Pro další použití viz Fraktál (disambiguation).
Sada Mandelbrot

Přiblížení sady Mandelbrot

v matematika, a fraktální je podobná podmnožina Euklidovský prostor jehož fraktální dimenze přísně překračuje topologická dimenze. Fraktály vypadají na různých úrovních stejně, jak je znázorněno v postupných zvětšeních Mandelbrotova sada.[1][2][3][4] Fraktály vykazují podobné vzory ve stále menším měřítku sebepodobnost, známé také jako rozšiřující se symetrie nebo rozkládající se symetrie; pokud je tato replikace v každém měřítku přesně stejná, jako v Menger houba,[5] nazývá se to afinní sebepodobný. Fraktální geometrie leží v matematické větvi teorie míry.

Jeden způsob, jak se fraktály liší od konečných geometrické obrazce je způsob, jakým oni měřítko. Zdvojnásobení délky hrany a polygon vynásobí jeho plochu čtyřmi, což jsou dva (poměr délky nové a staré strany) zvýšený k síle dvou (rozměr prostoru, ve kterém polygon sídlí). Podobně, pokud je poloměr koule zdvojnásoben, je objem měřítka o osm, což jsou dvě (poměr nového k starému poloměru) k síle tří (dimenze, ve které koule sídlí). Pokud se však jednodimenzionální délky fraktálu zdvojnásobí, prostorový obsah fraktálových měřítek silou, která nemusí být nutně celé číslo.[1] Tato síla se nazývá fraktální dimenze fraktálu a obvykle přesahuje fraktál topologická dimenze.[6]

Analyticky, fraktály obvykle nikde nejsou rozlišitelný.[1][4][7] Nekonečný fraktální křivka lze koncipovat jako vinutí prostorem odlišně od běžné linie - i když je to stále 1-rozměrný, jeho fraktální dimenze naznačuje, že se také podobá povrchu.[1][6]

Sierpinski koberec (na úroveň 6), fraktál s a topologická dimenze 1 a Hausdorffova dimenze z 1,893

Počínaje 17. stoletím s pojmy rekurze, fraktály prošly stále přísnějším matematickým zpracováním konceptu ke studiu kontinuální ale ne rozlišitelný funkce v 19. století klíčovou prací Bernard Bolzano, Bernhard Riemann, a Karl Weierstrass,[8] a dále k ražení slova fraktální ve 20. století s následným nárůstem zájmu o fraktály a počítačové modelování ve 20. století.[9][10] Termín „fraktál“ poprvé použil matematik Benoit Mandelbrot v roce 1975. Mandelbrot to založil na latině frāctus, což znamená „zlomený“ nebo „zlomený“, a použil jej k rozšíření konceptu teoretického zlomku rozměry na geometrické vzory v přírodě.[1][11]

Mezi matematiky panuje určitá neshoda ohledně toho, jak by měl být koncept fraktálu formálně definován. Sám Mandelbrot to shrnul jako „krásné, zatraceně tvrdé, stále užitečnější. To jsou fraktály.“[12] Více formálně, v roce 1982 Mandelbrot uvedl, že „Fraktál je ze své podstaty množina, pro kterou Hausdorff – Besicovitchova dimenze přísně překračuje topologická dimenze."[13] Později, když to považoval za příliš restriktivní, zjednodušil a rozšířil definici na: „Fraktál je tvar vyrobený z částí podobných nějakému celku.“[14] Ještě později se Mandelbrot rozhodl pro toto použití jazyka: „... použít fraktální bez pedantské definice použít fraktální dimenze jako obecný termín použitelný pro Všechno varianty ".[15]

Konsenzus je, že teoretické fraktály jsou nekonečně podobné, iterováno a podrobné matematické konstrukce mající fraktální rozměry, z nichž mnoho příklady byly formulovány a studovány do velké hloubky.[1][2][3] Fraktály se neomezují pouze na geometrické vzory, ale mohou také popsat procesy v čase.[5][4][16][17][18][19] Fraktální vzory s různým stupněm podobnosti byly vykresleny nebo studovány v obrazech, strukturách a zvucích[20] a nalezen v Příroda,[21][22][23][24][25] technologie,[26][27][28][29] umění,[30][31] architektura[32] a zákon.[33] Fraktály jsou zvláště důležité v oblasti teorie chaosu, protože grafy většiny chaotických procesů jsou fraktály.[34] Bylo zjištěno, že mnoho reálných a modelových sítí má fraktální rysy, jako je podobnost se sebou.[35][36][37]


Úvod

Jednoduchý fraktální strom vytvořený skrz JavaScript

Slovo „fraktál“ má pro laickou veřejnost často odlišné konotace, na rozdíl od matematiků, kde je pravděpodobnější, že veřejnost zná fraktální umění než matematický koncept. Matematický koncept je obtížné formálně definovat, dokonce ani pro matematiky, ale klíčové rysy lze pochopit s trochou matematického pozadí.

Například vlastnost „sebe-podobnosti“ lze snadno pochopit analogicky k přiblížení pomocí objektivu nebo jiného zařízení, které přiblíží digitální obrázky, aby odhalilo jemnější, dříve neviditelnou novou strukturu. Pokud je to provedeno na fraktálech, neobjeví se žádný nový detail; nic se nemění a stále se opakuje stejný vzor, ​​nebo u některých fraktálů se znovu a znovu objevuje téměř stejný vzor. Sama podobnost sama o sobě nemusí být nutně protiintuitivní (lidé například uvažovali o podobnosti sebe sama neformálně, například v nekonečný regres v paralelních zrcátkách nebo homunculus, mužíček v hlavě mužíčka v hlavě ...). Rozdíl u fraktálů je v tom, že reprodukovaný vzor musí být podrobný.[1]:166; 18[2][11]

Tato myšlenka podrobnosti souvisí s další funkcí, kterou lze pochopit bez velkého matematického pozadí: Mít a fraktální dimenze větší než jeho topologická dimenze, například, odkazuje na to, jak se fraktální škáluje ve srovnání s tím, jak geometrický tvary jsou obvykle vnímány. Například přímka je běžně chápána jako jednorozměrná; pokud takový údaj je rep-kachlová na kusy každé 1/3 délky originálu, pak jsou vždy tři stejné kusy. Plným čtvercem se rozumí dvojrozměrný; pokud je taková postava znovu vykládaná, každá zmenšená o faktor 1/3 v obou rozměrech, jsou celkem 32 = 9 kusů. Vidíme, že pro obyčejné podobné objekty znamená být n-dimenzionální to, že když se překládá na kousky, každý se zmenší o měřítkový faktor 1 /r, existuje celkem rn kousky. Nyní zvažte Kochova křivka. Může být překládán do čtyř dílčích kopií, z nichž každá je zmenšena o měřítkový faktor 1/3. Takže, přísně analogicky, můžeme považovat „dimenzi“ Kochovy křivky za jedinečné reálné číslo D který splňuje 3D = 4. Toto číslo je to, co matematici nazývají fraktální dimenze Kochovy křivky; to je jistě ne co je běžně vnímáno jako rozměr křivky (toto číslo není ani celé číslo!). Skutečnost, že Kochova křivka má fraktální dimenzi, se od ní liší běžně chápáno dimenze (tj. její topologická dimenze) je to, co z ní dělá fraktál.

3D počítačem generovaný fraktál

To také vede k pochopení třetí vlastnosti, že fraktály jako matematické rovnice „nikde nejsou rozlišitelný V konkrétním smyslu to znamená, že fraktály nelze měřit tradičními způsoby.[1][4][7] Abychom to propracovali, při pokusu najít délku vlnité nefrakční křivky by se dalo najít přímé segmenty nějakého měřicího nástroje dostatečně malé, aby ležely jeden konec k druhému přes vlny, kde by kusy mohly být dostatečně malé, aby bylo možné je považovat za vyhovující křivka běžným způsobem měření s páskou opatření. Ale při měření nekonečně „kroutící se“ fraktální křivky, jako je sněhová vločka Koch, by člověk nikdy nenalezl dostatečně malý přímý segment, který by odpovídal křivce, protože zubatý vzor by se vždy znovu objevil, v libovolně malých měřítcích, v podstatě trochu více měřicí pásky do celkové délky měřené pokaždé, když se někdo pokusil přizpůsobit ji těsněji a těsněji ke křivce. Výsledkem je, že k dokonalému pokrytí celé křivky musíte potřebovat nekonečnou pásku, tj. Sněhová vločka má nekonečný obvod.[1]

Dějiny

A Sněhová vločka Koch je fraktál, který začíná rovnostranným trojúhelníkem a poté nahradí střední třetinu každého úsečkového segmentu párem úsečkových segmentů, které tvoří rovnostranný náraz
Cantor (ternární) sada.

Historie fraktálů sleduje cestu od hlavně teoretických studií k moderním aplikacím v počítačové grafice, přičemž několik pozoruhodných lidí přispívá kanonickými fraktálními formami.[9][10] Společným tématem starověké tradiční africké architektury je použití fraktálního měřítka, přičemž malé části struktury mají tendenci vypadat podobně jako větší části, jako je kruhová vesnice z kruhových domů.[38]Podle Převzít, matematika za fraktály se začala formovat v 17. století, kdy matematik a filozof Gottfried Leibniz přemýšlel rekurzivní sebepodobnost (i když udělal tu chybu, že si myslel, že pouze přímka byla v tomto smyslu podobná).[39] Ve svých spisech použil Leibniz výraz „zlomkové exponenty“, ale naříkal, že „geometrie“ o nich dosud nevěděla.[1]:405 Podle různých historických zpráv skutečně po tomto bodě několik matematiků řešilo problémy a práce těch, kteří to udělali, zůstala nejasná, hlavně kvůli odporu vůči tak neznámým nově vznikajícím konceptům, které byly někdy označovány jako matematické „příšery“.[7][9][10] 18. července 1872 tedy uplynuly dvě století Karl Weierstrass představil první definici a funkce s graf který by dnes byl považován za fraktál, který máintuitivní vlastnost být všude kontinuální ale nikde nedefinovatelné na Královské pruské akademii věd.[9]:7[10] Kromě toho se rozdíl kvocientu libovolně zvětšuje, jak se zvyšuje součtový index.[40] Nedlouho poté, v roce 1883, Georg Cantor, kteří se zúčastnili přednášek Weierstrass,[10] publikované příklady podmnožiny skutečné linie známé jako Cantorovy sady, které měly neobvyklé vlastnosti a jsou nyní uznávány jako fraktály.[9]:11–24 Také v poslední polovině tohoto století Felix Klein a Henri Poincaré představil kategorii fraktálů, která se začala nazývat „inverzní“ fraktály.[1]:166

A Julia set, fraktál související s Mandelbrotovou sadou
A Sierpinski těsnění může být generován fraktálním stromem.

Jeden z dalších milníků přišel v roce 1904, kdy Helge von Koch, rozšiřující myšlenky na Poincarého a nespokojený s Weierstrassovou abstraktní a analytickou definicí, dal geometrickější definici včetně ručně kreslených obrázků podobné funkce, která se nyní nazývá Sněhová vločka Koch.[9]:25[10] Další milník přišel o deset let později, v roce 1915, kdy Wacław Sierpiński postavil svůj slavný trojúhelník pak, o rok později, jeho koberec. Do roku 1918 dva francouzští matematici Pierre Fatou a Gaston Julia, ačkoli pracoval samostatně, dospěl v podstatě současně k výsledkům popisujícím to, co je nyní považováno za fraktální chování spojené s mapováním komplexní čísla a iterační funkce a vedoucí k dalším představám o přitahovače a odpuzovače (tj. Body, které přitahují nebo odpuzují další body), které se staly velmi důležitými při studiu fraktálů.[4][9][10] Velmi krátce poté, co byla práce předložena, do března 1918, Felix Hausdorff rozšířil definici „dimenze“, významně pro vývoj definice fraktálů, aby soubory mohly mít necelé rozměry.[10] Myšlenku podobných křivek posunula dále Paul Lévy, který ve svém příspěvku z roku 1938 Rovinné nebo kosmické křivky a povrchy skládající se z částí podobných celé, popsal novou fraktální křivku, Křivka Lévy C..[poznámky 1]

A podivný atraktor který vystavuje multifraktální škálování
Jednotný fraktál trojúhelníku s hmotným středem
2x 120 stupňů rekurzivní IFS

Různí vědci předpokládali, že bez pomoci moderní počítačové grafiky se časní vyšetřovatelé omezovali na to, co dokážou vykreslit na ručních kresbách, takže jim chyběly prostředky k vizualizaci krásy a ocenění některých důsledků mnoha vzorů, které objevili ( Například sadu Julia lze zobrazit pouze pomocí několika iterací jako velmi jednoduché kresby).[1]:179[7][10] To se však změnilo v šedesátých letech, kdy Benoit Mandelbrot začal psát o sebepodobnosti v dokumentech jako např Jak dlouhé je pobřeží Británie? Statistická sebepodobnost a zlomková dimenze,[41][42] který stavěl na dřívější práci od Lewis Fry Richardson. V roce 1975[11] Mandelbrot zpevnil stovky let myšlení a matematického vývoje při vytváření slova „fraktál“ a ilustroval svou matematickou definici nápadnými vizualizacemi vytvořenými počítačem. Tyto obrazy, například jeho kanonické Mandelbrotova sada, zachytil populární představivost; mnoho z nich bylo založeno na rekurzi, což vedlo k populárnímu významu termínu „fraktál“.[43][7][9][39]

V roce 1980 Loren Carpenter přednesl prezentaci na SIGGRAPH kde představil svůj software pro generování a vykreslování fraktálně generovaných krajin.[44]

Definice a charakteristiky

Jeden často citovaný popis, který Mandelbrot publikoval k popisu geometrických fraktálů, je „hrubý nebo fragmentovaný geometrický tvar které lze rozdělit na části, z nichž každá je (alespoň přibližně) zmenšenou kopií celku “;[1] to je obecně užitečné, ale omezené. Autoři se neshodnou na přesné definici fraktální, ale nejčastěji zpracovávají základní myšlenky sebepodobnosti a neobvyklé vztahy fraktálů s prostorem, do kterého jsou vloženy.[1][5][2][4][45]

Jedním z dohodnutých bodů je, že fraktální vzorce jsou charakterizovány fraktální rozměry, ale vzhledem k tomu, že tato čísla kvantifikují složitost (tj. Změna detailu se změnou měřítka), ani jednoznačně nepopisují, ani neurčují podrobnosti o tom, jak konstruovat konkrétní fraktální vzory.[46] V roce 1975, kdy Mandelbrot vytvořil slovo „fraktál“, označil objekt, jehož Hausdorff – Besicovitchova dimenze je větší než jeho topologická dimenze.[11] Tento požadavek však není splněn křivky vyplňující prostor tak jako Hilbertova křivka.[poznámky 2]

Kvůli problémům při hledání jedné definice fraktálů někteří tvrdí, že fraktály by neměly být vůbec striktně definovány. Podle Sokolník, fraktály by kromě toho, aby nebyly nikde diferencovatelné a schopné mít a fraktální dimenze, být obecně charakterizován pouze a gestalt z následujících funkcí;[2]

  • Self-podobnost, která může zahrnovat:
  • Přesná sebepodobnost: identická ve všech stupnicích, jako je například Sněhová vločka Koch
  • Kvazi sebepodobnost: přibližuje stejný vzor v různých měřítcích; může obsahovat malé kopie celého fraktálu ve zkreslených a zdegenerovaných formách; např Mandelbrotova sada Družice jsou přiblížením celé sady, ale ne přesnými kopiemi.
  • Statistická sebepodobnost: opakuje vzor stochasticky takže numerické nebo statistické míry jsou zachovány napříč měřítky; např., náhodně generované fraktály jako známý příklad pobřeží Británie pro které by člověk nečekal, že najde segment v měřítku a opakuje se tak úhledně jako opakovaná jednotka, která definuje fraktály jako Kochova sněhová vločka.[4]
  • Kvalitativní sebepodobnost: jako v časové řadě[16]
  • Multifrakční škálování: charakterizované více než jednou fraktální dimenzí nebo měřítkem
  • Jemná nebo podrobná struktura v libovolně malých měřítcích. Důsledkem této struktury mohou být fraktály vznikající vlastnosti[47] (souvisí s dalším kritériem v tomto seznamu).
  • Nepravidelnost lokálně i globálně, která není tradičně snadno popsatelná Euklidovský geometrický Jazyk. U obrázků fraktálových obrazců to bylo vyjádřeno frázemi jako „hladké hromadění povrchů“ a „víření po vírech“.[6]
  • Jednoduché a „možná rekurzivní "definice; vidět Běžné techniky generování fraktálů

Jako skupina tvoří tato kritéria pokyny pro vyloučení určitých případů, jako jsou ty, které si mohou být podobné, aniž by měly jiné typicky fraktální rysy. Například přímka je podobná, ale není fraktální, protože postrádá detail, je snadno popsatelná v euklidovském jazyce, má stejnou Hausdorffova dimenze tak jako topologická dimenze, a je plně definován bez nutnosti rekurze.[1][4]

Běžné techniky generování fraktálů

Viz také: Software generující fraktály

Modelována podobná větvení in silico použitím L-systémy zásady[25]

Snímky fraktálů lze vytvořit pomocí programy generování fraktálů. Kvůli efekt motýlích křídel, malá změna v jedné proměnné může mít nepředvídatelné výsledek.

Fraktál generovaný a pravidlo konečného dělení pro střídavý odkaz

Simulované fraktály

Fraktální vzory byly modelovány extenzivně, i když v rozsahu měřítek spíše než nekonečně, kvůli praktickým limitům fyzického času a prostoru. Modely mohou simulovat teoretické fraktály nebo přírodní jevy s fraktálními rysy. Výstupem procesu modelování mohou být vysoce umělecká ztvárnění, výstupy pro vyšetřování nebo měřítka pro fraktální analýza. Uvádíme některé konkrétní aplikace fraktálů na technologii někde jinde. Snímky a další výstupy modelování se běžně označují jako „fraktály“, i když nemají striktně fraktální vlastnosti, například když je možné přiblížit oblast fraktálního obrazu, která nevykazuje žádné fraktální vlastnosti. Mohou také zahrnovat výpočet nebo zobrazení artefakty které nejsou charakteristikami skutečných fraktálů.

Modelovanými fraktály mohou být zvuky,[20] digitální obrázky, elektrochemické vzory, cirkadiánní rytmy,[53] Fraktální vzory byly rekonstruovány ve fyzickém trojrozměrném prostoru[28]:10 a prakticky, často nazývané „in silico "modelování.[50] Modely fraktálů se obvykle vytvářejí pomocí software generující fraktály který implementuje techniky, jako jsou ty popsané výše.[4][16][28] Jako jeden příklad, stromy, kapradiny, buňky nervového systému,[25] krevní a plicní vaskulatura,[50] a další větvení vzory v přírodě lze modelovat na počítači pomocí rekurzivní algoritmy a L-systémy techniky.[25] Rekurzivní povaha některých vzorů je v určitých příkladech zřejmá - větev ze stromu nebo stromu vějířovitý od a kapradina je miniaturní replika celku: není totožná, ale má podobnou povahu. Podobně byly náhodné fraktály použity k popisu / vytvoření mnoha vysoce nepravidelných objektů v reálném světě. Omezením modelování fraktálů je to, že podobnost fraktálového modelu s přírodním jevem neprokazuje, že modelovaný jev je tvořen procesem podobným modelovacím algoritmům.

Přírodní jevy s fraktálními rysy

Další informace: Vzory v přírodě

Přibližné fraktály nalezené v přírodě vykazují sebepodobnost v rozšířených, ale konečných rozsahech měřítka. Například spojení mezi fraktály a listy se v současné době používá k určení množství uhlíku obsaženého ve stromech.[54] Mezi jevy, o nichž je známo, že mají fraktální rysy, patří:

  • Frostové krystaly vyskytující se přirozeně na studeném skle tvoří fraktální vzory

  • Fraktální hranice pánve v geometrickém optickém systému[60]

  • Při odtržení dvou lepidlem se vytvoří fraktál akryl povlečení na postel

  • Rozpad vysokého napětí v bloku akrylového skla o průměru 100 mm vytváří fraktál Lichtenbergova postava

  • Romanesco brokolice, zobrazeno podobný forma přibližující přirozený fraktál

  • Fraktální rozmrazování, polární Mars. Vzory jsou tvořeny sublimací zmrazeného CO2. Šířka obrazu je asi kilometr.

  • Slizová forma Brefeldia maxima fraktálně roste na dřevě

V kreativních dílech

Další informace: Fraktální umění a Matematika a umění

Od roku 1999 provedlo více než 10 vědeckých skupin fraktální analýzu na více než 50 z nich Jackson Pollock Obrazy (1912–1956), které byly vytvořeny nalitím barvy přímo na jeho vodorovná plátna[74][75][76][77][78][79][80][81][82][83][84][85][86] Nedávno byla fraktální analýza použita k dosažení 93% úspěšnosti při rozlišování skutečných od imitací Pollocků.[87] Kognitivní neurologové prokázali, že Pollockovy fraktály indukují u pozorovatelů stejné snížení stresu jako fraktály generované počítačem a fraktály přírody.[88]

Obtisk, technika používaná umělci jako Max Ernst, může vytvářet fraktální vzory.[89] Zahrnuje lisování barvy mezi dvěma povrchy a jejich roztahování.

Kybernetik Ron Eglash navrhl, že fraktální geometrie a matematika jsou převládající v Africké umění, hry, věštění, obchod a architektura. Kruhové domy se objevují v kruzích kruhů, obdélníkové domy v obdélnících obdélníků atd. Takové škálovací vzory lze nalézt také v afrických textilních, sochařských a dokonce účesech typu cornrow.[31][90] Hokky Situngkir také navrhl podobné vlastnosti v indonéském tradičním umění, batika, a ozdoby nalezené v tradičních domech.[91][92]

Etnomatematik Ron Eglash diskutoval o plánovaném rozložení Město Benin pomocí fraktálů jako základu, a to nejen v samotném městě a vesnicích, ale dokonce i v pokojích domů. Poznamenal, že „Když Evropané poprvé přišli do Afriky, považovali architekturu za velmi dezorganizovanou a tedy primitivní. Nikdy by jim nenapadlo, že by Afričané mohli používat matematiku, kterou ještě ani neobjevili.“ [93]

V rozhovoru z roku 1996 s Michael Silverblatt, David Foster Wallace připustil, že struktura prvního návrhu Infinite Jest dal svému editoru Michael Pietsch byl inspirován fraktály, konkrétně Sierpinského trojúhelník (aka Sierpinski těsnění), ale že upravený román je „spíš jako pokřivené Sierpinsky těsnění“.[30]

Některá díla nizozemského umělce M. C. Escher, jako Limit kruhu III, obsahují tvary opakované do nekonečna, které se s přiblížením k okrajům zmenšují a zmenšují, a to ve vzoru, který by při přiblížení vypadal vždy stejně.

  • Fraktál, který modeluje povrch hory (animace)

  • 3D rekurzivní obraz

  • Rekurzivní fraktální obrázek motýla

Fyziologické odpovědi

Lidé se zdají být obzvláště dobře adaptovaní na zpracování fraktálových obrazců s hodnotami D mezi 1,3 a 1,5.[94] Když lidé sledují fraktální vzorce s hodnotami D mezi 1,3 a 1,5, má to tendenci snižovat fyziologický stres.[95][96]

Aplikace v technologii

Hlavní článek: Fraktální analýza

Iontový pohon

Když jsou dvourozměrné fraktály iterovány mnohokrát, obvod fraktálu se zvětší až do nekonečna, ale plocha nemusí nikdy překročit určitou hodnotu. Fraktál v trojrozměrném prostoru je podobný; takový fraktál může mít nekonečný povrch, ale nikdy nepřekročí určitý objem.[118] To lze využít k maximalizaci efektivity iontový pohon při výběru konstrukce a materiálu elektronového emitoru. Je-li provedeno správně, lze maximalizovat účinnost emisního procesu.[119]

Viz také

Poznámky

  1. ^ Originální papír, Lévy, Paul (1938). "Letadla Les Courbes ou gauches a lesní povrchy skládají ze stran semblables au tout". Journal de l'École Polytechnique: 227–247, 249–291., je přeložen do jazyka Edgar, strany 181–239.
  2. ^ Mapa Hilbertovy křivky není a homeomorfismus, takže nezachovává topologický rozměr. Topologická dimenze a Hausdorffova dimenze obrazu mapy Hilberta v R2 jsou oba 2. Všimněte si však, že topologická dimenze graf mapy Hilberta (soubor v R3) je 1.

Reference

  1. ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó Mandelbrot, Benoît B. (1983). Fraktální geometrie přírody. Macmillana. ISBN  978-0-7167-1186-5.
  2. ^ A b C d E Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons. xxv. ISBN  978-0-470-84862-3.
  3. ^ A b Briggs, John (1992). Fraktály: Vzory chaosu. Londýn: Temže a Hudson. p. 148. ISBN  978-0-500-27693-8.
  4. ^ A b C d E F G h i j Vicsek, Tamás (1992). Frakční růstové jevy. Singapur / New Jersey: World Scientific. 31, 139–146. ISBN  978-981-02-0668-0.
  5. ^ A b C Gouyet, Jean-François (1996). Fyzika a fraktální struktury. Paříž / New York: Masson Springer. ISBN  978-0-387-94153-0.
  6. ^ A b C Mandelbrot, Benoît B. (2004). Fraktály a chaos. Berlín: Springer. p. 38. ISBN  978-0-387-20158-0. Fraktální sada je ta, u které fraktální (Hausdorff-Besicovitchova) dimenze přísně překračuje topologickou dimenzi
  7. ^ A b C d E Gordon, Nigel (2000). Představujeme fraktální geometrii. Duxford: Ikona. p.71. ISBN  978-1-84046-123-7.
  8. ^ Segal, S.L. (červen 1978). „Riemannův příklad kontinuální‚ nediferencovatelné 'funkce pokračoval “. Matematický zpravodaj. 1 (2): 81–82. doi:10.1007 / BF03023065. S2CID  120037858.
  9. ^ A b C d E F G h Edgar, Gerald (2004). Klasika na fraktálech. Boulder, CO: Westview Press. ISBN  978-0-8133-4153-8.
  10. ^ A b C d E F G h i Trochet, Holly (2009). "Historie fraktální geometrie". MacTutor Dějiny matematiky. Archivovány od originál 12. března 2012.
  11. ^ A b C d Albers, Donald J .; Alexanderson, Gerald L. (2008). „Benoît Mandelbrot: Podle jeho vlastních slov“. Matematičtí lidé: profily a rozhovory. Wellesley, MA: AK Peters. p. 214. ISBN  978-1-56881-340-0.
  12. ^ Mandelbrot, Benoit. „Přednáška o fraktálech 24/7“. 2006 Ig Nobel Awards. Nepravděpodobný výzkum.
  13. ^ Mandelbrot, B. B .: Fraktální geometrie přírody. W. H. Freeman and Company, New York (1982); p. 15.
  14. ^ Jens Feder (2013). Fraktály. Springer Science & Business Media. p. 11. ISBN  978-1-4899-2124-6.
  15. ^ Gerald Edgar (2007). Měření, topologie a fraktální geometrie. Springer Science & Business Media. p. 7. ISBN  978-0-387-74749-1.
  16. ^ A b C Peters, Edgar (1996). Chaos a pořádek na kapitálových trzích: nový pohled na cykly, ceny a volatilitu trhu. New York: Wiley. ISBN  978-0-471-13938-6.
  17. ^ Krapivsky, P.L .; Ben-Naim, E. (1994). Msgstr "Multikalkování ve stochastických fraktálech". Fyzikální písmena A. 196 (3–4): 168. Bibcode:1994PhLA..196..168K. doi:10.1016/0375-9601(94)91220-3.
  18. ^ Hassan, M. K .; Rodgers, G. J. (1995). "Modely fragmentace a stochastických fraktálů". Fyzikální písmena A. 208 (1–2): 95. Bibcode:1995PhLA..208 ... 95H. doi:10.1016 / 0375-9601 (95) 00727-k.
  19. ^ Hassan, M. K .; Pavel, N. I .; Pandit, R. K .; Kurths, J. (2014). "Dyadic Cantor set a jeho kinetický a stochastický protějšek". Chaos, solitony a fraktály. 60: 31–39. arXiv:1401.0249. Bibcode:2014CSF .... 60 ... 31H. doi:10.1016 / j.chaos.2013.12.010. S2CID  14494072.
  20. ^ A b Brothers, Harlan J. (2007). „Strukturální škálování v Bachově violoncellovém apartmá č. 3“. Fraktály. 15 (1): 89–95. doi:10.1142 / S0218348X0700337X.
  21. ^ A b Tan, Can Ozan; Cohen, Michael A .; Eckberg, Dwain L .; Taylor, J. Andrew (2009). "Fraktální vlastnosti variability období lidského srdce: fyziologické a metodologické důsledky". The Journal of Physiology. 587 (15): 3929–41. doi:10.1113 / jphysiol.2009.169219. PMC  2746620. PMID  19528254.
  22. ^ A b C Buldyrev, Sergey V .; Goldberger, Ary L .; Havlin, Shlomo; Peng, Chung-Kang; Stanley, H. Eugene (1995). „Fraktály v biologii a medicíně: Od DNA k úderu srdce“. V Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (eds.). Fraktály ve vědě. Springer.
  23. ^ A b Liu, Jing Z .; Zhang, Lu D .; Yue, Guang H. (2003). „Fraktální dimenze v lidském mozečku měřená magnetickou rezonancí“. Biofyzikální deník. 85 (6): 4041–4046. Bibcode:2003BpJ .... 85.4041L. doi:10.1016 / S0006-3495 (03) 74817-6. PMC  1303704. PMID  14645092.
  24. ^ A b Karperien, Audrey L .; Jelinek, Herbert F .; Buchan, Alastair M. (2008). „Box-Counting Analysis of Microglia Form in Schizophrenia, Alzheimer's Disease and Affective Disorder“. Fraktály. 16 (2): 103. doi:10.1142 / S0218348X08003880.
  25. ^ A b C d E Jelinek, Herbert F .; Karperien, Audrey; Cornforth, David; Cesar, Roberto; Leandro, Jorge de Jesus Gomes (2002). „MicroMod-an L-systems approach to neurural modeling“. V Sarker, Ruhul (ed.). Sborník semináře: Šestý společný seminář Austrálie a Japonska o inteligentních a evolučních systémech, University House, ANU. University of New South Wales. ISBN  9780731705054. OCLC  224846454. Citováno 3. února 2012. Místo konání: Canberra, Austrálie
  26. ^ A b Hu, Shougeng; Cheng, Qiuming; Wang, Le; Xie, Shuyun (2012). "Multifrakční charakterizace ceny městských obytných pozemků v prostoru a čase". Aplikovaná geografie. 34: 161–170. doi:10.1016 / j.apgeog.2011.10.016.
  27. ^ A b Karperien, Audrey; Jelinek, Herbert F .; Leandro, Jorge de Jesus Gomes; Soares, João V. B .; Cesar Jr, Roberto M .; Luckie, Alan (2008). „Automatická detekce proliferativní retinopatie v klinické praxi“. Klinická oftalmologie (Auckland, NZ). 2 (1): 109–122. doi:10,2147 / OPTH.S1579. PMC  2698675. PMID  19668394.
  28. ^ A b C d Losa, Gabriele A .; Nonnenmacher, Theo F. (2005). Fraktály v biologii a medicíně. Springer. ISBN  978-3-7643-7172-2.
  29. ^ A b C Vannucchi, Paola; Leoni, Lorenzo (2007). „Strukturální charakterizace kostarického dekoltu: Důkazy pro seismicky indukované pulzování tekutin“. Dopisy o Zemi a planetách. 262 (3–4): 413. Bibcode:2007E & PSL.262..413V. doi:10.1016 / j.epsl.2007.07.056.
  30. ^ A b Wallace, David Foster (4. srpna 2006). „Knihomol na KCRW“. Kcrw.com. Citováno 17. října 2010.
  31. ^ A b Eglash, Ron (1999). „Africké fraktály: moderní výpočetní technika a domorodý design“. New Brunswick: Rutgers University Press. Archivovány od originál 3. ledna 2018. Citováno 17. října 2010.
  32. ^ A b Ostwald, Michael J. a Vaughan, Josephine (2016) Fraktální dimenze architektury. Birhauser, Basilej. doi:10.1007/978-3-319-32426-5.
  33. ^ Barangere, Michaeli. „Chaos, složitost a entropie: Fyzikální přednáška pro nefyziky“ (PDF).
  34. ^ A b C CM. Song, S.Havlin, H.A. Makse (2005). "Autopodobnost komplexních sítí". Příroda. 433 (7024): 392–5. arXiv:cond-mat / 0503078. doi:10.1038 / nature03248. PMID  15674285. S2CID  1985935.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
  35. ^ CM. Song, S.Havlin, H.A. Makse (2006). "Počátky fraktality v růstu komplexních sítí". Fyzika přírody 2. 275.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
  36. ^ H.D. Rozenfeld, S.Havlin, D. Ben-Avraham (2007). "Fraktální a trans fraktální rekurzivní sítě bez vodního kamene". Nový J. Phys. 175 (9).CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
  37. ^ Eglash, Ron (1999). Africké fraktály moderní výpočetní technika a domorodý design. ISBN  978-0-8135-2613-3.
  38. ^ A b Pickover, Clifford A. (2009). Matematická kniha: Od Pythagora k 57. dimenzi, 250 milníků v dějinách matematiky. Sterling. p. 310. ISBN  978-1-4027-5796-9.
  39. ^ "Fraktální geometrie". www-history.mcs.st-and.ac.uk. Citováno 11. dubna 2017.
  40. ^ Mandelbrot, B. (1967). „Jak dlouhé je pobřeží Británie?“. Věda. 156 (3775): 636–638. Bibcode:1967Sci ... 156..636M. doi:10.1126 / science.156.3775.636. PMID  17837158. S2CID  15662830.
  41. ^ Batty, Michael (4. dubna 1985). "Fraktály - geometrie mezi rozměry". Nový vědec. 105 (1450): 31.
  42. ^ Russ, John C. (1994). Fraktální povrchy. 1. Springer. p. 1. ISBN  978-0-306-44702-0. Citováno 5. února 2011.
  43. ^ kottke.org. 2009. Vol Libre, úžasný CG film z roku 1980. [online] Dostupné na: http://kottke.org/09/07/vol-libre-an-amazing-cg-film-from-1980
  44. ^ Edgar, Gerald (2008). Měření, topologie a fraktální geometrie. New York: Springer-Verlag. p. 1. ISBN  978-0-387-74748-4.
  45. ^ Karperien, Audrey (2004). Definování mikrogliální morfologie: forma, funkce a fraktální dimenze. Univerzita Karla Sturta. doi:10.13140/2.1.2815.9048.
  46. ^ Spencer, John; Thomas, Michael S. C .; McClelland, James L. (2009). Směrem k jednotné teorii rozvoje: znovu se uvažuje o konekcionismu a teorii dynamických systémů. Oxford / New York: Oxford University Press. ISBN  978-0-19-530059-8.
  47. ^ Frame, Angus (3. srpna 1998). "Systémy s iterovanou funkcí". V Pickover, Clifford A. (ed.). Chaos a fraktály: počítačová grafická cesta: desetiletá kompilace pokročilého výzkumu. Elsevier. 349–351. ISBN  978-0-444-50002-1. Citováno 4. února 2012.
  48. ^ "Haferman Carpet". WolframAlpha. Citováno 18. října 2012.
  49. ^ A b C d Hahn, Horst K .; Georg, Manfred; Peitgen, Heinz-Otto (2005). "Fraktální aspekty trojrozměrné vaskulární konstruktivní optimalizace". V Losa, Gabriele A .; Nonnenmacher, Theo F. (eds.). Fraktály v biologii a medicíně. Springer. str. 55–66. ISBN  978-3-7643-7172-2.
  50. ^ Cannon, W. J. Floyd, W. R. Parry. Pravidla konečného dělení. Conformal Geometry and Dynamics, sv. 5 (2001), s. 153–196.
  51. ^ J. W. Cannon, W. Floyd a W. Parry. Růst krystalů, růst biologických buněk a geometrie. Formování vzorů v biologii, vizi a dynamice, str. 65–82. World Scientific, 2000. ISBN  981-02-3792-8, ISBN  978-981-02-3792-9.
  52. ^ Fathallah-Shaykh, Hassan M. (2011). „Fraktální dimenze cirkrosiánských hodin Drosophila“. Fraktály. 19 (4): 423–430. doi:10.1142 / S0218348X11005476.
  53. ^ „Lov na skrytou dimenzionální“. Nova. PBS. WPMB-Maryland. 28. října 2008.
  54. ^ Sadegh, Sanaz (2017). „Plazmová membrána je rozdělena do podobného kortikálního aktinového pletiva“. Fyzická kontrola X. 7 (1): 011031. arXiv:1702.03997. Bibcode:2017PhRvX ... 7a1031S. doi:10.1103 / PhysRevX.7.011031. PMC  5500227. PMID  28690919.
  55. ^ Lovejoy, Shaun (1982). "Vztah plocha-obvod pro oblasti deště a oblačnosti". Věda. 216 (4542): 185–187. Bibcode:1982Sci ... 216..185L. doi:10.1126 / science.216.4542.185. PMID  17736252. S2CID  32255821.
  56. ^ Carbone, Alessandra; Gromov, Mikhael; Prusinkiewicz, Przemyslaw (2000). Formování vzorů v biologii, vidění a dynamice. World Scientific. p. 78. ISBN  978-981-02-3792-9.
  57. ^ C.-K. Peng, S.V. Buldyrev, A.L.Goldberger, S.Havlin, F. Sciortino, M. Simons, H.E. Stanley (1992). "Dálkové korelace v nukleotidových sekvencích". Příroda. 356 (6365): 168–70. doi:10.1038 / 356168a0. PMID  1301010. S2CID  4334674.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
  58. ^ Sornette, Didier (2004). Kritické jevy v přírodních vědách: chaos, fraktály, samoorganizace a porucha: koncepty a nástroje. Springer. str. 128–140. ISBN  978-3-540-40754-6.
  59. ^ A b Sweet, D .; Ott, E .; Yorke, J. A. (1999), „Komplexní topologie v chaotickém rozptylu: Laboratorní pozorování“, Příroda, 399 (6734): 315, Bibcode:1999 Natur.399..315S, doi:10.1038/20573, S2CID  4361904
  60. ^ Havlin, D. Ben-Avraham (1982). "Fraktální rozměrnost polymerních řetězců". J. Phys. A. 15 (6): L311 – L316. doi:10.1088/0305-4470/15/6/011.
  61. ^ Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (1996). Fraktály a neuspořádané systémy.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
  62. ^ Addison, Paul S. (1997). Fraktály a chaos: ilustrovaný kurz. CRC Press. str. 44–46. ISBN  978-0-7503-0400-9. Citováno 5. února 2011.
  63. ^ Pincus, David (září 2009). „Chaotický život: fraktální mozky fraktální myšlenky“. psychologytoday.com.
  64. ^ Enright, Matthew B .; Leitner, David M. (27. ledna 2005). „Masová fraktální dimenze a kompaktnost proteinů“. Fyzický přehled E. 71 (1): 011912. Bibcode:2005PhRvE..71a1912E. doi:10.1103 / PhysRevE.71.011912. PMID  15697635.
  65. ^ Takayasu, H. (1990). Fraktály ve fyzikálních vědách. Manchester: Manchester University Press. p.36. ISBN  9780719034343.
  66. ^ Jun, Li; Ostoja-Starzewski, Martin (1. dubna 2015). „Hrany Saturnových prstenů jsou fraktální“. SpringerPlus. 4,158: 158. doi:10.1186 / s40064-015-0926-6. PMC  4392038. PMID  25883885.
  67. ^ Meyer, Yves; Roques, Sylvie (1993). Pokrok ve vlnkové analýze a aplikacích: sborník z mezinárodní konference „Wavelets and Applications“, Toulouse, Francie - červen 1992. Atlantik Séguier Frontières. p. 25. ISBN  978-2-86332-130-0. Citováno 5. února 2011.
  68. ^ Ozhovan M. I., Dmitriev I. E., Batyukhnova O. G. Fraktální struktura pórů jílovité půdy. Atomic Energy, 74, 241–243 (1993).
  69. ^ Sreenivasan, K. R .; Meneveau, C. (1986). „Fraktální aspekty turbulence“. Journal of Fluid Mechanics. 173: 357–386. Bibcode:1986JFM ... 173..357S. doi:10.1017 / S0022112086001209.
  70. ^ de Silva, C. M .; Philip, J .; Chauhan, K .; Meneveau, C .; Marusic, I. (2013). „Multiscale Geometry and Scaling of the Turbulent – ​​Nonturbulent Interface in High Reynolds Number Boundary Layers“. Phys. Rev. Lett. 111 (6039): 192–196. Bibcode:2011Sci ... 333..192A. doi:10.1126 / science.1203223. PMID  21737736. S2CID  22560587.
  71. ^ Singh, Chamkor; Mazza, Marco (2019), „Elektrifikace v granulovaných plynech vede k omezenému růstu fraktálů“, Vědecké zprávy, Nature Publishing Group, 9 (1): 9049, doi:10.1038 / s41598-019-45447-x, PMC  6588598, PMID  31227758
  72. ^ Falconer, Kenneth (2013). Fraktály, velmi krátký úvod. Oxford University Press.
  73. ^ Taylor, R. P .; et al. (1999). "Fraktální analýza kapkovitých obrazů Pollocka". Příroda. 399 (6735): 422. Bibcode:1999 Natur.399..422T. doi:10.1038/20833. S2CID  204993516.
  74. ^ Mureika, J. R .; Dyer, C. C .; Cupchik, G. C. (2005). „Multifrakční struktura v nereprezentativním umění“. Fyzický přehled E. 72 (4): 046101–1–15. arXiv:fyzika / 0506063. Bibcode:2005PhRvE..72d6101M. doi:10.1103 / PhysRevE.72.046101. PMID  16383462. S2CID  36628207.
  75. ^ Redies, C .; Hasenstein, J .; Denzler, J. (2007). „Statistika obrazu podobná fraktálu ve vizuálním umění: Podobnost s přírodními scénami“. Prostorové vidění. 21 (1): 137–148. doi:10.1163/156856807782753921. PMID  18073055.
  76. ^ Lee, S .; Olsen, S .; Gooch, B. (2007). „Simulace a analýza obrazů Jacksona Pollocka“. Journal of Mathematics and the Arts. 1 (2): 73–83. CiteSeerX  10.1.1.141.7470. doi:10.1080/17513470701451253. S2CID  8529592.
  77. ^ Alvarez-Ramirez, J .; Ibarra-Valdez, C .; Rodriguez, E .; Dagdug, L. (2008). „1 / f-Noise Structure in Pollock's Drip Paintings“. Physica A. 387 (1): 281–295. Bibcode:2008PhyA..387..281A. doi:10.1016 / j.physa.2007.08.047.
  78. ^ Graham, D. J .; Field, D. J. (2008). „Variace intenzity pro reprezentativní a abstraktní umění a pro umění z východní a západní polokoule“ (PDF). Vnímání. 37 (9): 1341–1352. CiteSeerX  10.1.1.193.4596. doi:10.1068 / p5971. PMID  18986061. S2CID  2794724.
  79. ^ Alvarez-Ramirez, J .; Echeverria, J. C .; Rodriguez, E. (2008). "Výkon vysokorozměrné metody R / S pro odhad Hurstových exponentů". Physica A. 387 (26): 6452–6462. Bibcode:2008PhyA..387,6452A. doi:10.1016 / j.physa.2008.08.014.
  80. ^ Coddington, J .; Elton, J .; Rockmore, D .; Wang, Y. (2008). "Multifractal Analysis and Authentication of Jackson Pollock Paintings". Sborník SPIE. 6810 (68100F): 1–12. Bibcode:2008SPIE.6810E..0FC. doi:10.1117/12.765015. S2CID  7650553.
  81. ^ Al-Ayyoub, M .; Irfan, M. T .; Stork, D. G. (2009). "Posílení vícefunkčních vizuálních textových klasifikátorů pro autentizaci kapecích obrazů Jacksona Pollocka". SPIE Proceedings on Computer Vision and Image Analysis of Art II. Počítačové vidění a obrazová analýza umění II. 7869 (78690H): 78690H. Bibcode:2011SPIE.7869E..0HA. doi:10.1117/12.873142. S2CID  15684445.
  82. ^ Mureika, J. R .; Taylor, R. P. (2013). „The Abstract Expressionists and Les Automatistes: multi-fractal depth?“. Zpracování signálu. 93 (3): 573. doi:10.1016 / j.sigpro.2012.05.002.
  83. ^ Taylor, R. P .; et al. (2005). "Ověření Pollockových obrazů pomocí fraktální geometrie". Písmena pro rozpoznávání vzorů. 28 (6): 695–702. doi:10.1016 / j.patrec.2006.08.012.
  84. ^ Jones-Smith, K .; et al. (2006). „Fractal Analysis: Revisiting Pollock's Paintings“. Příroda. 444 (7119): E9–10. Bibcode:2006 Natur.444E ... 9J. doi:10.1038 / nature05398. PMID  17136047. S2CID  4413758.
  85. ^ Taylor, R. P .; et al. (2006). „Fractal Analysis: Revisiting Pollock's Paintings (Reply)“. Příroda. 444 (7119): E10–11. Bibcode:2006 Natur.444E..10T. doi:10.1038 / nature05399. S2CID  31353634.
  86. ^ Shamar, L. (2015). „Co dělá Pollocka Pollocka: Přístup strojového vidění“ (PDF). International Journal of Arts and Technology. 8: 1–10. CiteSeerX  10.1.1.647.365. doi:10.1504 / IJART.2015.067389.
  87. ^ Taylor, R. P .; Spehar, B .; Van Donkelaar, P .; Hagerhall, C. M. (2011). „Percepční a fyziologické reakce na fraktály Jacksona Pollocka“. Frontiers in Human Neuroscience. 5: 1–13. doi:10.3389 / fnhum.2011.00060. PMC  3124832. PMID  21734876.
  88. ^ Frame, Michael; a Mandelbrot, Benoît B .; Panorama fraktálů a jejich použití
  89. ^ Nelson, Bryn; Sofistikovaná matematika za designy afrických vesnic Fraktální vzory používají opakování ve velkém, malém měřítku „San Francisco Chronicle, středa 23. února 2009
  90. ^ Situngkir, Hokky; Dahlan, Rolan (2009). Fisika batik: implementovat kreatif melalui sifat fraktal pada batikovat secara komputasional. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. ISBN  978-979-22-4484-7
  91. ^ Rulistia, Novia D. (6. října 2015). "Aplikace mapuje národní batikovaný příběh". Jakarta Post. Citováno 25. září 2016.
  92. ^ Koutonin, Mawuna (18. března 2016). „Příběh měst č. 5: Benin City, mocné středověké hlavní město nyní beze stopy ztracené“. Citováno 2. dubna 2018.
  93. ^ Taylor, Richard P. (2016). „Fractal Fluency: Intimní vztah mezi mozkem a zpracováním fraktálních podnětů“. V Di Ieva, Antonio (ed.). Fraktální geometrie mozku. Springerova řada ve výpočetní neurovědě. Springer. str. 485–496. ISBN  978-1-4939-3995-4.
  94. ^ Taylor, Richard P. (2006). „Snížení fyziologického stresu pomocí fraktálního umění a architektury“. Leonardo. 39 (3): 245–251. doi:10.1162 / leon.2006.39.3.245. S2CID  8495221.
  95. ^ Další diskuse o tomto účinku viz Taylor, Richard P .; Spehar, Branka; Donkelaar, Paul Van; Hagerhall, Caroline M. (2011). „Percepční a fyziologické reakce na fraktály Jacksona Pollocka“. Frontiers in Human Neuroscience. 5: 60. doi:10.3389 / fnhum.2011.00060. PMC  3124832. PMID  21734876.
  96. ^ Hohlfeld, Robert G .; Cohen, Nathan (1999). "Self-podobnost a geometrické požadavky na frekvenční nezávislost v anténách". Fraktály. 7 (1): 79–84. doi:10.1142 / S0218348X99000098.
  97. ^ Reiner, Richard; Waltereit, Patrick; Benkhelifa, Fouad; Müller, Stefan; Walcher, Herbert; Wagner, Sandrine; Quay, Rüdiger; Schlechtweg, Michael; Ambacher, Oliver; Ambacher, O. (2012). „Fraktální struktury pro výkonové tranzistory AlGaN / GaN s nízkým odporem“. Sborník ISPSD: 341–344. doi:10.1109 / ISPSD.2012.6229091. ISBN  978-1-4577-1596-9. S2CID  43053855.
  98. ^ Zhiwei Huang; Yunho Hwang; Vikrant Aute; Reinhard Radermacher (2016). "Přehled fraktálních tepelných výměníků" (PDF) Mezinárodní konference o chlazení a klimatizaci. Papír 1725
  99. ^ Chen, Yanguang (2011). „Modelování fraktální struktury distribucí velikosti města pomocí korelačních funkcí“. PLOS ONE. 6 (9): e24791. arXiv:1104.4682. Bibcode:2011PLoSO ... 624791C. doi:10.1371 / journal.pone.0024791. PMC  3176775. PMID  21949753.
  100. ^ "Aplikace". Archivovány od originál 12. října 2007. Citováno 21. října 2007.
  101. ^ „Detekce„ života, jak ho neznáme “pomocí fraktální analýzy“
  102. ^ Smith, Robert F .; Mohr, David N .; Torres, Vicente E .; Offord, Kenneth P .; Melton III, L. Joseph (1989). „Renální nedostatečnost u pacientů v komunitě s mírnou asymptomatickou mikrohematurií“. Mayo Clinic Proceedings. 64 (4): 409–414. doi:10.1016 / s0025-6196 (12) 65730-9. PMID  2716356.
  103. ^ Landini, Gabriel (2011). "Fraktály v mikroskopii". Journal of Microscopy. 241 (1): 1–8. doi:10.1111 / j.1365-2818.2010.03454.x. PMID  21118245. S2CID  40311727.
  104. ^ Cheng, Qiuming (1997). "Multifractal Modeling and Lacunarity Analysis". Matematická geologie. 29 (7): 919–932. doi:10.1023 / A: 1022355723781. S2CID  118918429.
  105. ^ Chen, Yanguang (2011). „Modelování fraktální struktury distribucí velikosti města pomocí korelačních funkcí“. PLOS ONE. 6 (9): e24791. arXiv:1104.4682. Bibcode:2011PLoSO ... 624791C. doi:10.1371 / journal.pone.0024791. PMC  3176775. PMID  21949753.
  106. ^ Burkle-Elizondo, Gerardo; Valdéz-Cepeda, Ricardo David (2006). "Fraktální analýza mezoamerických pyramid". Nelineární dynamika, psychologie a biologické vědy. 10 (1): 105–122. PMID  16393505.
  107. ^ Brown, Clifford T .; Witschey, Walter R. T .; Liebovitch, Larry S. (2005). „Zlomená minulost: Fraktály v archeologii“. Journal of Archaeological Method and Theory. 12: 37–78. doi:10.1007 / s10816-005-2396-6. S2CID  7481018.
  108. ^ Saeedi, Panteha; Sorensen, Soren A. (2009). „Algoritmický přístup ke generování testovacích polí po katastrofě pro agenty pátrání a záchrany“ (PDF). Sborník světového kongresu o strojírenství 2009: 93–98. ISBN  978-988-17-0125-1.
  109. ^ Bunde, A .; Havlin, S. (2009). "Fraktální geometrie, stručný úvod do". Encyclopedia of Complexity and Systems Science. p. 3700. doi:10.1007/978-0-387-30440-3_218. ISBN  978-0-387-75888-6.
  110. ^ „Interní prvky GPU“ (PDF).
  111. ^ „sony patents“.
  112. ^ "popis chichotavých a hybridních kachlových chichotavých textur".
  113. ^ „US8773422B1 - systém, metoda a produkt počítačového programu pro seskupování lineárně uspořádaných primitiv“. Patenty Google. 4. prosince 2007. Citováno 28. prosince 2019.
  114. ^ „US20110227921A1 - Zpracování 3D počítačových grafických dat na více stínovacích strojích“. Patenty Google. 15. prosince 2010. Citováno 27. prosince 2019.
  115. ^ „Databáze turbulencí Johns Hopkins“.
  116. ^ Li, Y .; Perlman, E .; Wang, M .; Yang, y .; Meneveau, C .; Burns, R .; Chen, S .; Szalay, A .; Eyink, G. (2008). "Veřejný turbulenční databázový klastr a aplikace ke studiu Lagrangeovy evoluce přírůstků rychlosti v turbulenci". Journal of Turbulence. 9: N31. arXiv:0804.1703. Bibcode:2008JTurb ... 9 ... 31L. doi:10.1080/14685240802376389. S2CID  15768582.
  117. ^ "Úvod do fraktální geometrie". www.fractal.org. Citováno 11. dubna 2017.
  118. ^ DeFelice, David (18. srpna 2015). „NASA - iontový pohon“. NASA. Citováno 11. dubna 2017.

[1]

Další čtení

  • Barnsley, Michael F .; a Rising, Hawley; Fraktály všude. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN  0-12-079061-0
  • Duarte, německy A .; Fraktální příběh. O vztahu mezi geometriemi a technologií a jeho dopadu na narativní prostory. Bielefeld: Přepis, 2014. ISBN  978-3-8376-2829-6
  • Falconer, Kenneth; Techniky fraktální geometrie. John Wiley and Sons, 1997. ISBN  0-471-92287-0
  • Jürgens, Hartmut; Peitgen, Heinz-Otto; a Saupe, Dietmar; Chaos a fraktály: Nové hranice vědy. New York: Springer-Verlag, 1992. ISBN  0-387-97903-4
  • Mandelbrot, Benoit B.; Fraktální geometrie přírody. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. ISBN  0-7167-1186-9
  • Peitgen, Heinz-Otto; a Saupe, Dietmar; eds .; Věda fraktálních obrazů. New York: Springer-Verlag, 1988. ISBN  0-387-96608-0
  • Pickover, Clifford A.; vyd .; Chaos and Fractals: A Computer Graphical Journey - A 10 Year Compilation of Advanced Research. Elsevier, 1998. ISBN  0-444-50002-2
  • Jones, Jesse; Fraktály pro Macintosh„Waite Group Press, Corte Madera, CA, 1993. ISBN  1-878739-46-8.
  • Lauwerier, Hans; Fraktály: nekonečně opakované geometrické obrazcePřeložil Sophia Gill-Hoffstadt, Princeton University Press, Princeton NJ, 1991. ISBN  0-691-08551-X, hadřík. ISBN  0-691-02445-6 brožura. „Tato kniha byla napsána pro široké publikum ...“ Zahrnuje ukázkové základní programy v příloze.
  • Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos a analýza časových řad. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-850839-7.
  • Wahl, Bernt; Van Roy, Peter; Larsen, Michael; a Kampman, Eric; Zkoumání fraktálů na počítačích Macintosh, Addison Wesley, 1995. ISBN  0-201-62630-6
  • Lesmoir-Gordon, Nigel; Barvy nekonečna: Krása, síla a smysl fraktálů. 2004. ISBN  1-904555-05-5 (Kniha je dodávána se souvisejícím DVD DVD Arthur C. Clarke dokumentární úvod do fraktální koncepce a Mandelbrotova sada.)
  • Liu, Huajie; Fraktální umění, Changsha: Hunan Science and Technology Press, 1997, ISBN  9787535722348.
  • Gouyet, Jean-François; Fyzika a fraktální struktury (Předmluva B. Mandelbrota); Masson, 1996. ISBN  2-225-85130-1a New York: Springer-Verlag, 1996. ISBN  978-0-387-94153-0. Out-of-print. Dostupné v PDF verzi na."Fyzika a fraktální struktury" (francouzsky). Jfgouyet.fr. Citováno 17. října 2010.
  • Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (1996). Fraktály a neuspořádané systémy. Springer.
  • Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (1995). Fraktály ve vědě. Springer.
  • ben-Avraham, Daniel; Havlin, Shlomo (2000). Difúze a reakce ve fraktálech a poruchových systémech. Cambridge University Press.
  • Falconer, Kenneth (2013). Fraktály, velmi krátký úvod. Oxford University Press.

externí odkazy

  1. ^ Santo Banerjee, M. K. Hassan, Sayan Mukherjee a A. Gowrisankar, Fraktální vzory v nelineární dynamice a aplikacích. (CRC Press, Taylor & Francis Group, 2019)