Minimální povrch - Minimal surface

A vrtulník minimální povrch tvořený mýdlovým filmem na šroubovicovém rámu

v matematika, a minimální povrch je povrch, který lokálně minimalizuje svou plochu. To odpovídá nule střední zakřivení (viz definice níže).

Termín „minimální povrch“ se používá proto, že tyto povrchy původně vznikly jako povrchy, které minimalizovaly celkovou povrchovou plochu pod určitým omezením. Fyzikální modely minimálních ploch s minimalizací plochy lze vyrobit ponořením drátěného rámu do mýdlového roztoku a vytvořením a mýdlový film, což je minimální povrch, jehož hranicí je drátěný rám. Termín se však používá pro obecnější povrchy, které mohou protínají se nebo nemají omezení. Pro dané omezení může také existovat několik minimálních povrchů s různými oblastmi (například viz minimální plocha otáčení ): standardní definice se týkají pouze a místní optimum, ne a globální optimum.

Definice

Sedlová věž minimální povrch. I když jakákoli malá změna povrchu zvětšuje jeho plochu, existují další povrchy se stejnou hranicí s menší celkovou plochou.

Minimální povrchy lze definovat několika ekvivalentními způsoby R³. Skutečnost, že jsou ekvivalentní, slouží k prokázání toho, jak minimální teorie povrchů leží na křižovatce několika matematických disciplín, zejména diferenciální geometrie, variační počet, teorie potenciálu, komplexní analýza a matematická fyzika.^[1]

Definice místní nejmenší oblasti: Povrch M ⊂ R³ je minimální právě tehdy, když každý bod p ∈ M má sousedství, ohraničený jednoduchou uzavřenou křivkou, která má nejmenší plochu ze všech povrchů se stejnou hranicí.

Tato vlastnost je místní: na minimálním povrchu mohou existovat oblasti spolu s dalšími povrchy menší oblasti, které mají stejnou hranici. Tato vlastnost navazuje spojení s mýdlovými filmy; mýdlový film deformovaný tak, aby měl drátěný rám jako hranici, minimalizuje plochu.

Variační definice: Povrch M ⊂ R³ je minimální právě tehdy, pokud se jedná o a kritický bod oblasti funkční pro všechny kompaktně podporované variace.

Tato definice činí z minimálních ploch dvourozměrný analog geodetika, které jsou analogicky definovány jako kritické body funkční délky.

Minimální roviny zakřivení povrchu. Na minimálním povrchu je zakřivení podél hlavních rovin zakřivení v každém bodě stejné a opačné. Tím je střední zakřivení nulové.

Definice střední křivosti: Povrch M ⊂ R³ je minimální, právě když je střední zakřivení se rovná nule ve všech bodech.

Přímým důsledkem této definice je, že každý bod na povrchu je a sedlový bod se stejnými a opačnými hlavní zakřivení. Navíc to dělá minimální povrchy do statických řešení střední tok zakřivení. Podle Young – Laplaceova rovnice, střední zakřivení mýdlového filmu je úměrný rozdílu v tlaku mezi stranami. Pokud mýdlový film neuzavírá region, bude jeho střední zakřivení nulové. Naproti tomu sférický mýdlová bublina uzavírá oblast, která má odlišný tlak od vnější oblasti, a jako taková nemá nulové střední zakřivení.

Definice diferenciální rovnice: Povrch M ⊂ R³ je minimální právě tehdy, pokud jej lze lokálně vyjádřit jako graf řešení

${ displaystyle (1 + u_ {x} ^ {2}) u_ {yy} -2u_ {x} u_ {y} u_ {xy} + (1 + u_ {y} ^ {2}) u_ {xx} = 0}$

Parciální diferenciální rovnice v této definici byla původně nalezena v roce 1762 autorem Lagrange,^[2] a Jean Baptiste Meusnier objevil v roce 1776, že to znamená mizející střední zakřivení.^[3]

Energetická definice: A konformní ponoření X: M → R³ je minimální právě tehdy, je-li kritickým bodem Dirichletova energie pro všechny kompaktní podporované varianty nebo ekvivalentně, pokud existuje p ∈ M má sousedství s nejmenší energií vzhledem k jeho hranici.

Tato definice váže minimální povrchy harmonické funkce a teorie potenciálu.

Harmonická definice: Pokud X = (X₁, X₂, X₃): M → R³ je izometrické ponoření a Riemannův povrch pak do 3-prostoru X se říká, že je minimální kdykoli X_i je harmonická funkce na M pro každého i.

Přímý důsledek této definice a maximální princip pro harmonické funkce je, že neexistují kompaktní kompletní minimální povrchy v R³.

Definice Gaussovy mapy: Povrch M ⊂ R³ je minimální, právě když je stereograficky předpokládané Gaussova mapa G: M → C ∪ {∞} je meromorfní s ohledem na podkladové Riemannův povrch struktura a M není kus koule.

Tato definice používá, že střední zakřivení je polovina z stopa z operátor tvaru, který je spojen s deriváty Gaussovy mapy. Pokud se projektovaná Gaussova mapa řídí Cauchy – Riemannovy rovnice pak buď stopa zmizí, nebo každý bod M je pupeční, v tom případě se jedná o kousek koule.

Místní nejmenší oblast a variační definice umožňují rozšíření minimálních ploch na další Riemannovy rozdělovače než R³.

Dějiny

Teorie minimálního povrchu má původ v Lagrange který v roce 1762 uvažoval o variačním problému hledání povrchu z = z(X, y) nejmenší oblasti protažené daným uzavřeným obrysem. Odvodil Euler-Lagrangeova rovnice pro řešení

${ displaystyle { frac {d} {dx}} vlevo ({ frac {z_ {x}} { sqrt {1 + z_ {x} ^ {2} + z_ {y} ^ {2}}} } right) + { frac {d} {dy}} left ({ frac {z_ {y}} { sqrt {1 + z_ {x} ^ {2} + z_ {y} ^ {2} }}} vpravo) = 0}$

Nepodařilo se mu najít žádné řešení mimo letadlo. V roce 1776 Jean Baptiste Marie Meusnier zjistil, že vrtulník a katenoid splňují rovnici a diferenciální výraz odpovídá dvojnásobku střední zakřivení povrchu, k závěru, že povrchy s nulovým středním zakřivením minimalizují plochu.

Rozšířením Lagrangeovy rovnice na

${ displaystyle left (1 + z_ {x} ^ {2} right) z_ {yy} -2z_ {x} z_ {y} z_ {xy} + left (1 + z_ {y} ^ {2} right) z_ {xx} = 0}$

Gaspard Monge a Legendre v roce 1795 odvozené reprezentační vzorce pro povrchy řešení. Zatímco tyto byly úspěšně použity Heinrich Scherk v roce 1830 odvodit jeho povrchy, byly obecně považovány za prakticky nepoužitelné. Katalánština v letech 1842/43 dokázal, že helikoid je jediný vládl minimální povrch.

Pokrok byl poměrně pomalý až do poloviny století, kdy Björlingův problém byl vyřešen pomocí složitých metod. Začal „první zlatý věk“ minimálních povrchů. Schwarz našel řešení Problém náhorní plošiny pro pravidelný čtyřúhelník v roce 1865 a pro obecný čtyřúhelník v roce 1867 (umožňující konstrukci jeho povrchové rodiny ) pomocí složitých metod. Weierstrass a Enneper vyvinut užitečnější reprezentační vzorce, pevně spojující minimální povrchy s komplexní analýza a harmonické funkce. Další důležité příspěvky pocházely od Beltrami, Bonnet, Darboux, Lie, Riemann, Serret a Weingarten.

V letech 1925 až 1950 došlo k oživení teorie minimálního povrchu, která byla nyní zaměřena hlavně na neparametrické minimální povrchy. Kompletní řešení problému Plateau do Jesse Douglas a Tibor Radó byl významným milníkem. Bernsteinův problém a Robert Osserman Důležité byly také práce na úplných minimálních plochách konečného celkového zakřivení.

Další oživení začalo v 80. letech. Jednou z příčin byl objev Celso Costa z roku 1982 povrch které vyvrátily domněnku, že letadlo, katenoid a helikoid jsou jedinými úplnými vloženými minimálními plochami R³ konečného topologického typu. To nejen podnítilo novou práci na používání starých parametrických metod, ale také prokázalo význam počítačové grafiky pro vizualizaci studovaných povrchů a numerické metody pro řešení „dobového problému“ (při použití metoda konjugovaného povrchu k určení povrchových záplat, které lze sestavit do většího symetrického povrchu, je třeba numericky přizpůsobit určité parametry, aby se vytvořil vložený povrch). Další příčinou bylo ověření H. Karcherem, že ztrojnásobte periodické minimální povrchy původně empiricky popsal Alan Schoen v roce 1970, skutečně existují. To vedlo k bohatému zvěřinci povrchových rodin a metod odvozování nových povrchů ze starých, například přidáním úchytů nebo jejich zkreslením.

V současné době se teorie minimálních povrchů diverzifikovala na minimální dílčí potrubí v jiných geometriích prostředí a stala se relevantní pro matematickou fyziku (např. pozitivní domněnka, Penrosova domněnka ) a geometrie se třemi potrubími (např Smith domněnka, Poincarého domněnka, Thurstonova geometrizační domněnka ).

Příklady

Costa je minimální povrch

Klasické příklady minimálních povrchů zahrnují:

• the letadlo, což je triviální případ
• katenoidy: minimální povrchy vytvořené otočením a řetězovka jednou kolem své directrix
• helikoidy: Povrch vymetený přímkou ​​rotující rovnoměrnou rychlostí kolem osy kolmé na přímku a současně pohybující se podél osy rovnoměrnou rychlostí

Mezi povrchy ze zlatého věku 19. století patří:

• Schwarzovy minimální povrchy: ztrojnásobte periodické povrchy že výplň R³
• Riemannova minimální plocha: Posmrtně popsaný periodický povrch
• the Enneper povrch
• the Hennebergův povrch: první neorientovatelný minimální povrch
• Bourův minimální povrch

Mezi moderní povrchy patří:

• the Gyroid: Jeden z Schoenových povrchů z roku 1970, trojnásobný periodický povrch zvláštního zájmu pro strukturu tekutých krystalů
• the Sedlová věž rodina: zobecnění Scherkův druhý povrch
• Costa je minimální plocha: Slavný dohad vyvrácení. Popsáno v roce 1982 autorem Celso Costa a později vizualizováno Jim Hoffman. Jim Hoffman, David Hoffman a William Meeks III poté rozšířili definici a vytvořili rodinu povrchů s různými rotačními symetriemi.
• the Povrch Chen – Gackstatter rodina, přidání úchytů na povrch Enneper.

Zobecnění a odkazy na další pole

Minimální plochy lze definovat v jiných rozdělovače než R³, jako hyperbolický prostor, výškové prostory nebo Riemannovy rozdělovače.

Definici minimálních ploch lze zobecnit / rozšířit tak, aby pokryla konstantní střední zakřivení povrchů: plochy s konstantním středním zakřivením, které se nemusí rovnat nule.

v diskrétní diferenciální geometrie diskrétní minimální povrchy jsou studovány: zjednodušené komplexy trojúhelníků, které minimalizují svou plochu při malých poruchách jejich vrcholných pozic.^[4] Takové diskretizace se často používají k numerické aproximaci minimálních ploch, i když nejsou známy žádné výrazy uzavřené formy.

Brownův pohyb na minimální ploše vede k pravděpodobnostním důkazům několika vět o minimálních plochách.^[5]

Minimální povrchy se staly oblastí intenzivního vědeckého studia, zejména v oblastech molekulární inženýrství a věda o materiálech, vzhledem k jejich předpokládaným aplikacím v vlastní montáž složitých materiálů.^{[Citace je zapotřebí ]} The endoplazmatické retikulum, důležitá struktura v buněčné biologii, se navrhuje, aby byla pod evolučním tlakem, aby se přizpůsobila netriviálnímu minimálnímu povrchu.^[6]

V polích obecná relativita a Lorentzian geometrie, některá rozšíření a modifikace pojmu minimální plocha, známá jako zdánlivé obzory, jsou významné.^[7] Na rozdíl od horizont událostí, představují a zakřivení přístup založený na porozumění Černá díra hranice.

Cirkusový stan přibližně a minimální povrch.

Jako stany lze použít konstrukce s minimálním povrchem.

Minimální povrchy jsou součástí generativní design panel nástrojů používaný moderními designéry. O architekturu byl velký zájem tahové struktury, které úzce souvisí s minimálními povrchy. Slavným příkladem je Olympiapark v Mnichově podle Frei Otto, inspirovaný mýdlovými povrchy.

V uměleckém světě byly minimální povrchy rozsáhle prozkoumány v plastice Robert Engman (1927– ), Robert Longhurst (1949–) a Charles O. Perry (1929–2011), mimo jiné.

Viz také

Reference

Další čtení

Učebnice

• Tobias Holck Colding a William P. Minicozzi, II. Kurz na minimálních plochách. Postgraduální studium matematiky, 121. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. xii + 313 pp. ISBN  978-0-8218-5323-8
• R. Courant. Dirichletův princip, konformní mapování a minimální povrchy. Dodatek M. Schiffera. Interscience Publishers, Inc., New York, NY, 1950. xiii + 330 stran
• Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt a Friedrich Sauvigny. Minimální povrchy. Přepracované a rozšířené druhé vydání. S pomocí a příspěvků A. Küstera a R. Jakoba. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi + 688 pp. ISBN  978-3-642-11697-1, doi:10.1007/978-3-642-11698-8 , PAN2566897
• H. Blaine Lawson, Jr. Přednášky na minimálních podmanifoldech. Sv. I. Druhé vydání. Série přednášek o matematice, 9. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. iv + 178 str. ISBN  0-914098-18-7
• Johannes C.C. Nitsche. Přednášky na minimálních plochách. Sv. 1. Úvod, základy, geometrie a základní okrajové úlohy. Přeložil z němčiny Jerry M. Feinberg. S německou předmluvou. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xxvi + 563 stran ISBN  0-521-24427-7
• Robert Osserman. Přehled minimálních povrchů. Druhé vydání. Dover Publications, Inc., New York, 1986. vi + 207 str. ISBN  0-486-64998-9, PAN0852409

Online zdroje

• Karcher, Hermann; Polthier, Konrad (1995). „Touching Soap Films - An Introduction to minimal surface“. Citováno 27. prosince 2006. (grafické seznámení s minimálními povrchy a mýdlovými filmy.)
• Jacek Klinowski. „Galerie pravidelných minimálních povrchů“. Citováno 2. února 2009. (Sbírka minimálních ploch s klasickými i moderními příklady)
• Martin Steffens a Christian Teitzel. "Minimální knihovna povrchů hroznů". Citováno 27. říjen 2008. (Sbírka minimálních povrchů)
• Různé (2000). "EG-modely". Citováno 28. září 2004. (Online deník s několika publikovanými modely minimálních ploch)

externí odkazy

• "Minimální povrch", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• 3D-XplorMath-J Homepage - program Java a applety pro interaktivní matematickou vizualizaci
• Galerie otočných minimálních povrchů
• Galerie otočných / zvětšitelných minimálních ploch založená na WebGL