Nesprávné otáčení - Improper rotation

Příklad mnohostěnů s rotoreflexní symetrií
SkupinaS4S6S8S10S12
PodskupinyC2C3, S.2 = C.iC4, C.2C5, S.2 = C.iC6, S.4, C.3, C.2
Příklad2-antiprism rotoreflection.png
zkosený digonal antiprism		3-antiprism rotoreflection.png
trojúhelníkový antiprism		Příklad rotačního odrazu čtvercový antiprism.png
čtvercový antiprism		Příklad rotační reflexe antiprism.png
pětiúhelníkový antiprism		6-antiprism rotorereflection.png
šestihranný antiprism
Antiprismy s nasměrovanými hranami mají rotoreflexní symetrii.
p-protiskry pro liché p obsahovat inverzní symetrie, C.i.

v geometrie, an nesprávná rotace,[1] také zvaný rotační odraz,[2] rotační odraz,[1] rotační odraz,[3] nebo rotoinverze[4] je, v závislosti na kontextu, a lineární transformace nebo afinní transformace což je kombinace a otáčení kolem osy a odraz v rovině kolmé na tuto osu.[5]

Tři rozměry

Další informace: Skupiny bodů ve třech dimenzích
Podskupiny pro skupiny Schoenflies S2 do S.20

Ve 3D jde ekvivalentně o kombinaci rotace a inverze v bodě na ose.[1] Proto se také nazývá a rotoinverze nebo rotační inverze. Trojrozměrná symetrie, která má pouze jednu pevný bod je nutně nesprávná rotace.[3]

V obou případech dojíždí operace. Rotoreflexe a rotoinverze jsou stejné, pokud se liší úhel otáčení o 180 ° a bod inverze je v rovině odrazu.

Nesprávná rotace objektu tak způsobí rotaci jeho zrcadlový obraz. Osa se nazývá osa rotace a odrazu.[6] Tomu se říká n-násobné nesprávné otáčení pokud je úhel otáčení 360 ° /n.[6] Existuje několik různých systémů pro pojmenování jednotlivých nesprávných rotací:

  • The Schoenflies notace používá symbol Sn (Němec, Spiegel, pro zrcadlo ) označuje skupinu symetrie generovanou znakem n-násobné nesprávné otáčení. Například operace symetrie S6 je kombinací rotace (360 ° / 6) = 60 ° a odrazu v rovině zrcadla. (To by nemělo být zaměňováno se stejnou notací pro symetrické skupiny ).[6]
  • v Hermann – Mauguinova notace symbol n se používá pro n-násobná rotoinverze; tj. rotace o úhel rotace 360 ​​° /n s inverzí. Všimněte si, že 2 je jednoduše odrazem a obvykle se označuje m.
  • The Coxeterova notace pro S.2n je [2n+,2+].
  • The Orbifold notace je n×, objednávka 2n.

The přímá podskupina S2n, z index 2, je C.n, [n]+, nebo (nn) objednávky n, což je generátor rotační reflexe aplikovaný dvakrát.

S2n pro liché n obsahuje inverze, označeno Ci. Ale dokonce n S2n neobsahuje inverzi. Obecně, pokud je liché p je dělitel n, pak S2n/p je podskupina S2n. Například S4 je podskupina S12.

Jako nepřímá izometrie

V širším smyslu lze nesprávnou rotaci definovat jako jakoukoli nepřímá izometrie; tj. prvek E (3)\E+(3): může to tedy být také čistý odraz v rovině, nebo mít a klouzat letadlo. Nepřímá izometrie je afinní transformace s ortogonální matice který má determinant -1.

A správné otáčení je obyčejná rotace. V širším smyslu je správná rotace definována jako a přímá izometrie; tj. prvek E+(3): může to být také identita, rotace s překladem podél osy nebo čistý překlad. Přímá izometrie je afinní transformace s ortogonální maticí, která má determinant 1.

V užších nebo širších smyslech je složení dvou nesprávných rotací správná rotace a složení nesprávné a správné rotace je nesprávná rotace.

Fyzické systémy

Při studiu symetrie fyzického systému při nesprávné rotaci (např. Pokud má systém zrcadlovou rovinu symetrie) je důležité rozlišovat mezi vektory a pseudovektory (stejně jako skaláry a pseudoskaláře a obecně mezi tenzory a pseudotenzory ), protože tyto se transformují odlišně při správných a nesprávných rotacích (ve 3 rozměrech jsou pseudovektory invariantní pod inverzí).

Viz také

Reference

  1. ^ A b C Morawiec, Adam (2004), Orientace a rotace: Výpočty v krystalografických texturách, Springer, str. 7, ISBN  9783540407348.
  2. ^ Miessler, Gary; Fischer, Paul; Tarr, Donald (2014), Anorganická chemie (5. vyd.), Pearson, str. 78
  3. ^ A b Kinsey, L. Christine; Moore, Teresa E. (2002), Symetrie, tvar a povrchy: Úvod do matematiky prostřednictvím geometrie, Springer, str. 267, ISBN  9781930190092.
  4. ^ Klein, Philpotts (2013). Materiály Země. Cambridge University Press. str. 89–90. ISBN  9780521145213.
  5. ^ Salomon, David (1999), Počítačová grafika a geometrické modelování, Springer, str. 84, ISBN  9780387986821.
  6. ^ A b C Bishop, David M. (1993), Skupinová teorie a chemie, Publikace Courier Dover, s. 13, ISBN  9780486673554.