Matematická krása - Mathematical beauty

Matematická krása je estetický potěšení typicky odvozené z abstraktnosti, čistoty, jednoduchosti, hloubky nebo uspořádanosti matematika.[1] Matematici toto potěšení často vyjadřují popisem matematiky (nebo alespoň některého aspektu matematiky) jako Krásná. Mohli by také popsat matematiku jako uměleckou formu (např. Pozici zaujatou G. H. Hardy[2]) nebo minimálně jako a tvůrčí činnost. Srovnávají se často s hudbou a poezií.
Bertrand Russell vyjádřil svůj smysl pro matematickou krásu těmito slovy:
Matematika, která je správně vnímána, má nejen pravdu, ale i nejvyšší krásu - krásu chladnou a strohou, jako je sochařství, bez přitažlivosti k jakékoli části naší slabší povahy, bez nádherných ozdob malby nebo hudby, přesto úžasně čistých a schopných přísné dokonalosti, jakou může ukázat jen to největší umění. Pravého ducha rozkoše, oslavení, pocitu být více než člověkem, který je prubířským kamenem nejvyšší kvality, lze v matematice najít stejně jistě jako poezii.[3]
Paul Erdős vyjádřil svůj názor na nevyslovitelnost matematiky, když řekl: „Proč jsou čísla krásná? Je to jako ptát se proč Beethovenova devátá symfonie Krásná. Pokud nevidíte proč, někdo vám to nemůže říct. Já znát čísla jsou krásná. Pokud nejsou krásné, nic není “.[4]
Krása v metodě
Matematici popisují obzvláště příjemnou metodu důkaz tak jako elegantní. V závislosti na kontextu to může znamenat:
- Důkaz, který využívá minimum dalších předpokladů nebo předchozích výsledků.
- Důkaz, který je neobvykle výstižný.
- Důkaz, který překvapivě odvozuje výsledek (např. Zjevně nesouvisející teorém nebo sbírka vět).
- Důkaz, který je založen na nových a originálních poznatcích.
- Metoda dokazování, kterou lze snadno zobecnit, aby se vyřešila řada podobných problémů.
Při hledání elegantního důkazu matematici často hledají různé nezávislé způsoby, jak dokázat výsledek - protože první nalezený důkaz lze často vylepšit. Věta, pro kterou bylo objeveno největší množství různých důkazů, je možná Pythagorova věta, se stovkami důkazů, které jsou aktuální.[5] Další teorém, který byl prokázán mnoha různými způsoby, je teorém o kvadratická vzájemnost. Ve skutečnosti, Carl Friedrich Gauss sám měl osm různých důkazů o této větě, z nichž šest publikoval.[6]
Naopak, výsledky, které jsou logicky správné, ale zahrnují namáhavé výpočty, příliš komplikované metody, vysoce konvenční přístupy nebo velké množství výkonných axiomy nebo předchozí výsledky se obvykle nepovažují za elegantní a lze je dokonce označit jako škaredý nebo nemotorný.
Krása ve výsledcích

Někteří matematici vidí krásu v matematických výsledcích, které navazují spojení mezi dvěma oblastmi matematiky, které na první pohled vypadají jako nesouvisející.[7] Tyto výsledky jsou často popisovány jako hluboký. I když je obtížné najít univerzální shodu o tom, zda je výsledek hluboký, některé příklady jsou uváděny častěji než jiné. Jeden takový příklad je Eulerova identita:[8]
Eulerova identita je zvláštním případem Eulerův vzorec, kterou fyzik Richard Feynman s názvem „náš klenot“ a „nejpozoruhodnější vzorec v matematice“.[9] Mezi moderní příklady patří věta o modularitě, která vytváří důležité spojení mezi eliptické křivky a modulární formy (práce, které vedly k udělení Vlčí cena na Andrew Wiles a Robert Langlands ), a "monstrózní měsíční svit ", který spojuje Skupina příšer na modulární funkce přes teorie strun (pro který Richard Borcherds byl oceněn Fields Medal ).
Mezi další příklady hlubokých výsledků patří neočekávané vhledy do matematických struktur. Například Gaussova Věta Egregium je hluboká věta, která se týká místního jevu (zakřivení ) ke globálnímu jevu (plocha ) překvapivým způsobem. Zejména oblast trojúhelníku na zakřiveném povrchu je úměrná přebytku trojúhelníku a úměrnost je zakřivení. Dalším příkladem je základní věta o počtu[10] (a jeho vektorové verze včetně Greenova věta a Stokesova věta ).
Opak hluboký je triviální. Triviální věta může být výsledkem, který lze zjevným a přímým způsobem odvodit z jiných známých výsledků, nebo který se vztahuje pouze na konkrétní sadu konkrétních objektů, jako je prázdná sada. V některých případech však může být věta dostatečně originální, aby mohla být považována za hlubokou - i když její důkaz je zcela zřejmý.
V jeho Matematikova omluva, Hardy naznačuje, že krásný důkaz nebo výsledek má „nevyhnutelnost“, „nečekanost“ a „ekonomiku“.[11]
Rota, nicméně nesouhlasí s neočekávaností jako nezbytnou podmínkou krásy a navrhuje protiklad:
Mnoho teorémů z matematiky se jeví jako překvapivé; tedy například před dvaceti lety [od roku 1977] důkaz existence neekvivalentní diferencovatelné struktury na sférách vysoké dimenze se považovalo za překvapivé, ale nikoho nenapadlo, aby takovou skutečnost nazval krásnou, ať už tehdy, nebo nyní.[12]
Možná ironicky, Monastyrsky píše:
Je velmi obtížné najít obdobný vynález v minulosti Milnor Překrásná konstrukce různých diferenciálních struktur v sedmidimenzionální sféře ... Původní důkaz Milnora nebyl příliš konstruktivní, ale později E. Briscorn ukázal, že tyto diferenciální struktury lze popsat v extrémně explicitní a krásné podobě.[13]
Tato neshoda ilustruje jak subjektivní povahu matematické krásy, tak její souvislost s matematickými výsledky: v tomto případě nejen existenci exotických sfér, ale také jejich konkrétní realizaci.
Krása v zážitku

![]() | Tato část je tón nebo styl nemusí odrážet encyklopedický tón použitý na Wikipedii.Březen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Zájem o čistá matematika to je oddělené od empirický studium bylo součástí této zkušenosti různých civilizací, včetně toho starověcí Řekové, který „dělal matematiku pro její krásu“.[14] To estetické potěšení matematičtí fyzici mívají zkušenosti s Einsteinovou teorií obecná relativita bylo přiděleno (uživatelem Paul Dirac, mimo jiné) k jeho „velké matematické kráse“.[15] Krása matematiky je prožívána, když fyzická realita objektů je reprezentováno matematické modely. Skupinová teorie, vyvinutý na počátku 19. století za jediným účelem řešení polynomiální rovnice se stal plodným způsobem kategorizace elementární částice - stavební kameny hmoty. Podobně studie o uzly poskytuje důležité informace o teorie strun a smyčková kvantová gravitace.
Někteří věří, že k tomu, aby matematici ocenili, je třeba se matematice věnovat.[16]Například, Matematický kruh je mimoškolní program obohacování, kde studenti dělají matematiku prostřednictvím her a aktivit; existují i někteří učitelé, kteří povzbuzují zapojení studentů kinestetickou výukou matematiky (viz kinestetické učení ).
V obecné lekci Matematický kruh studenti používají hledání vzorů, pozorování a zkoumání k vytváření vlastních matematických objevů. Například matematická krása vzniká v aktivitě Matematický kruh na symetrie určené pro žáky 2. a 3. ročníku, kde si studenti vytvářejí vlastní sněhové vločky skládáním čtvercového papíru a vyřezáváním vzorů podle vlastního výběru podél okrajů skládaného papíru. Po rozložení se projeví symetrický design. V každodenní hodině matematiky na základní škole lze symetrii jako takovou prezentovat uměleckým způsobem, kde studenti vidí v matematice esteticky příjemné výsledky.
Někteří učitelé raději používají matematické manipulativy představit matematiku esteticky příjemným způsobem. Mezi příklady manipulativního patří algebraové dlaždice, kuchyňské pruty, a vzorové bloky. Například lze naučit metodu dokončení náměstí pomocí dlaždic algebry. Tyče Cuisenaire lze použít k výuce zlomků a bloky vzorů lze použít k výuce geometrie. Používání matematických manipulativů pomáhá studentům získat koncepční porozumění, které by se v písemných matematických vzorcích nemusí okamžitě projevit.[17]
Další příklad krásy ve zkušenosti zahrnuje použití origami. Origami, umění skládání papíru, má estetické kvality a mnoho matematických souvislostí. Jeden může studovat matematika skládání papíru pozorováním záhybový vzor na rozložených kouscích origami.[18]
Kombinatorika, studium počítání, má umělecká vyjádření, která některým připadají matematicky krásná.[19] Existuje mnoho vizuálních příkladů, které ilustrují kombinatorické koncepty. Některá z témat a předmětů viděných v kurzech kombinatoriky s vizuálními reprezentacemi zahrnují mimo jiné:
Krása a filozofie
Někteří matematici jsou toho názoru, že matematika je blíže objevu než vynález, například:
Neexistuje žádný vědecký objevitel, žádný básník, žádný malíř, žádný hudebník, který vám neřekne, že našel připravený svůj objev nebo báseň nebo obrázek - že k němu přišel zvenčí a že jej vědomě nevytvořil zevnitř .
— William Kingdon Clifford, z přednášky pro Royal Institution s názvem „Některé z podmínek duševního vývoje“
Tito matematici věří, že podrobné a přesné výsledky matematiky lze rozumně považovat za pravdivé bez jakékoli závislosti na vesmíru, ve kterém žijeme. Například by tvrdili, že teorie přirozená čísla je zásadně platný, a to způsobem, který nevyžaduje žádný konkrétní kontext. Někteří matematici tento názor extrapolovali na to, že matematická krása je pravdou dále, v některých případech se stává mysticismus.
v Platón Ve filozofii existovaly dva světy, fyzický, ve kterém žijeme, a další abstraktní svět, který obsahoval neměnnou pravdu, včetně matematiky. Věřil, že fyzický svět je pouhým odrazem dokonalejšího abstraktního světa.[20]
maďarský matematik Paul Erdős[21] hovořil o imaginární knize, do které Bůh zapsal všechny nejkrásnější matematické důkazy. Když chtěl Erdős zvlášť ocenit důkaz, zvolal: „Tenhle je z Knihy!“
Francouzský filozof dvacátého století Alain Badiou tvrdí, že ontologie je matematika.[22] Badiou také věří v hluboké souvislosti mezi matematikou, poezií a filozofií.
V některých případech přírodní filosofové a další vědci, kteří rozsáhle využívali matematiku, učinili skoky v odvození mezi krásou a fyzickou pravdou způsoby, které se ukázaly jako chybné. Například v jedné fázi svého života Johannes Kepler věřil, že proporce oběžných drah tehdy známých planet v Sluneční Soustava byly uspořádány uživatelem Bůh aby odpovídalo soustřednému uspořádání pěti Platonické pevné látky, každá oběžná dráha leží na okolní jednoho mnohostěn a insphere jiného. Jelikož existuje přesně pět platonických pevných látek, Keplerova hypotéza mohla pojmout pouze šest planetárních drah a byla vyvrácena následným objevem Uran.
Teorie krásy a matematické informace
V 70. letech Abraham Moles a Frieder Nake analyzované vazby mezi krásou, zpracování informací, a teorie informace.[23][24] V 90. letech Jürgen Schmidhuber na základě formuloval matematickou teorii subjektivní krásy závislé na pozorovateli teorie algoritmických informací: nejkrásnější objekty mezi subjektivně srovnatelnými objekty mají krátké algoritmické popisy (tj. Kolmogorovova složitost ) ve vztahu k tomu, co již pozorovatel ví.[25][26][27] Schmidhuber výslovně rozlišuje mezi krásným a zajímavým. Ten odpovídá první derivace subjektivně vnímané krásy: pozorovatel se neustále snaží zlepšovat předvídatelnost a stlačitelnost pozorování objevením pravidelností, jako jsou opakování a symetrie a fraktální sebepodobnost. Kdykoli se učící proces pozorovatele (možná umělý prediktivní způsob nervová síť ) vede ke zdokonalené kompresi dat, takže sledovací sekvenci lze popsat méně bity než dříve, dočasná zajímavost dat odpovídá postupu komprese a je úměrná odměně za zvědavost pozorovatele.[28][29]
Matematika a umění
Hudba
Mezi příklady využití matematiky v hudbě patří: stochastická hudba z Iannis Xenakis, Fibonacci v Nástroj je Lateralus kontrapunkt Johann Sebastian Bach, polyrytmické struktury (jako v Igor Stravinskij je Svěcení jara ), Metrická modulace z Elliott Carter, permutace teorie v serialismus začínající na Arnold Schoenberg a použití Shepardových tónů v Karlheinz Stockhausen je Hymnen.
Výtvarné umění

Mezi příklady využití matematiky ve výtvarném umění patří aplikace teorie chaosu a fraktální geometrie na počítačem generované umění, symetrie studie Leonardo da Vinci, projektivní geometrie ve vývoji perspektivní teorie renesance umění, mřížky v Op art, optická geometrie v temná komora z Giambattista della Porta a vícenásobná perspektiva v analytice kubismus a futurismus.
Nizozemský grafik M. C. Escher vytvořeno matematicky inspirováno dřevoryty, litografie, a mezzotinty. Tyto rysy jsou nemožné konstrukce, průzkumy nekonečno, architektura, vizuální paradoxy a mozaikování. Britský konstruktér umělec John Ernest vytvořil reliéfy a obrazy inspirované teorií skupin.[30] Řada dalších britských umělců konstrukčních a systémových myšlenkových škol také čerpá z matematických modelů a struktur jako zdroje inspirace, včetně Anthony Hill a Peter Lowe.[31] Počítačem generované umění je založeno na matematice algoritmy.
Viz také
Poznámky
- ^ „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - krása“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-10-31.
- ^ „Citáty Hardyho“. www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. Citováno 2019-10-31.
- ^ Russell, Bertrand (1919). „Studium matematiky“. Mysticismus a logika: a další eseje. Longman. p.60. Citováno 2008-08-22.
Správně zobrazená matematika má nejen pravdu, ale i nejvyšší krásu, krásu chladnou a strohou jako sochařství, aniž by přitahovala jakoukoli část naší slabší povahy bez nádherných ozdob Russella.
- ^ Devlin, Keith (2000). „Mají matematici různé mozky?“. Matematický gen: Jak se vyvinulo matematické myšlení a proč jsou čísla jako drby. Základní knihy. p.140. ISBN 978-0-465-01619-8. Citováno 2008-08-22.
- ^ Elisha Scott Loomis publikoval více než 360 důkazů ve své knize Pythagorean Proposition (ISBN 0-873-53036-5).
- ^ Weisstein, Eric W. „Věta o kvadratické vzájemnosti“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-10-31.
- ^ Rota (1997), str. 173.
- ^ Gallagher, James (13. února 2014). „Matematika: Proč mozek vidí matematiku jako krásu“. BBC News online. Citováno 13. února 2014.
- ^ Feynman, Richard P. (1977). Feynmanovy přednášky z fyziky. Já. Addison-Wesley. s. 22–10. ISBN 0-201-02010-6.
- ^ Weisstein, Eric W. „Základní věty o počtu“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-10-31.
- ^ Hardy, G.H. „18“. Matematikova omluva.
- ^ Rota (1997), str. 172.
- ^ Monastyrsky (2001), Některé trendy v moderní matematice a polní medaile
- ^ Lang, str. 3
- ^ Chandrasekhar, str. 148
- ^ Phillips, George (2005). "Předmluva". Matematika není divácký sport. Springer Science + Business Media. ISBN 0-387-25528-1. Citováno 2008-08-22.
„... ve světě matematiky není nic, co by odpovídalo publiku v koncertním sále, kde pasivní poslouchají aktivní. Naštěstí jsou matematici všichni činitelé, ne diváci.
- ^ Sowell, E (1989). "Účinky manipulačních materiálů ve výuce matematiky". Časopis pro výzkum ve výuce matematiky. 20 (5): 498–505. doi:10.2307/749423. JSTOR 749423.
- ^ Hull, Thomas. „Projekt Origami: Aktivity pro zkoumání matematiky“. Taylor & Francis, 2006.
- ^ Brualdi, Richarde. „Úvodní kombinatorika.“ Pearson, 2009.
- ^ Linnebo, Øystein (2018), „Platonismus ve filozofii matematiky“, ve Zalta, Edward N. (ed.), Stanfordská encyklopedie filozofie (Jaro 2018 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, vyvoláno 2019-10-31
- ^ Schechter, Bruce (2000). Můj mozek je otevřený: Matematické cesty Paula Erdőse. New York: Simon & Schuster. 70–71. ISBN 0-684-85980-7.
- ^ „Alain Badiou: Ontologie a strukturalismus“. Magazín příměří. 2014-04-02. Citováno 2019-10-31.
- ^ A. Krtci: Théorie de l'information et percepční estetika, Paříž, Denoël, 1973 (Teorie informací a estetické vnímání)
- ^ F Nake (1974). Ästhetik als Informationsverarbeitung. (Estetika jako zpracování informací). Grundlagen und Anwendungen der Informatik im Bereich ästhetischer Produktion und Kritik. Springer, 1974, ISBN 3-211-81216-4, ISBN 978-3-211-81216-7
- ^ J. Schmidhuber. Umění s nízkou složitostí. Leonardo, Journal of the International Society for the Arts, Sciences, and Technology (Leonardo / ISAST ), 30(2):97–103, 1997. doi:10.2307/1576418. JSTOR 1576418.
- ^ J. Schmidhuber. Články o teorii krásy a umění s nízkou složitostí od roku 1994: http://www.idsia.ch/~juergen/beauty.html
- ^ J. Schmidhuber. Jednoduché algoritmické principy objevování, subjektivní krása, selektivní pozornost, zvědavost a kreativita. Proc. 10. mezinárodní letiště Konf. o Discovery Science (DS 2007), s. 26–38, LNAI 4755, Springer, 2007. Také v Proc. 18. mezinárodní Konf. o teorii algoritmického učení (ALT 2007) s. 32, LNAI 4754, Springer, 2007. Společná pozvaná přednáška pro DS 2007 a ALT 2007, Sendai, Japonsko, 2007. arXiv:0709.0674.
- ^ .J. Schmidhuber. Zvědavé řídicí systémy pro vytváření modelů. International Joint Conference on Neural Networks, Singapore, sv. 2, 1458–1463. IEEE press, 1991
- ^ Schmidhuberova teorie krásy a zvědavosti v německé televizní show: http://www.br-online.de/bayerisches-fernsehen/faszination-wissen/schoenheit--aesthetik-wahrnehmung-ID1212005092828.xml Archivováno 3. června 2008 v Wayback Machine
- ^ V článku je analyzováno využití matematiky a zejména teorie grup v jeho uměleckých dílech John Ernest, matematický umělec Paul Ernest v Philosophy of Mathematics Education Journal, Č. 24. prosince 2009 (zvláštní vydání z matematiky a umění): http://people.exeter.ac.uk/PErnest/pome24/index.htm
- ^ Franco, Francesca (05.10.2017). „Systémová skupina (kapitola 2)“. Umění generativních systémů: Práce Ernesta Edmondse. Routledge. ISBN 9781317137436.
Reference
- Aigner, Martin, a Ziegler, Gunter M. (2003), Důkazy z KNIHY, 3. vydání, Springer-Verlag.
- Chandrasekhar, Subrahmanyan (1987), Pravda a krása: Estetika a motivace ve vědě, University of Chicago Press, Chicago, IL.
- Hadamard, Jacques (1949), Psychologie vynálezu v matematické oblasti, 1. vydání, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2. vydání, 1949. Přetištěno, Dover Publications, New York, NY, 1954.
- Hardy, G.H. (1940), Matematikova omluva, 1. vydání, 1940. Přetištěno, C. P. Snow (předmluva), 1967. Přetištěno, Cambridge University Press, Cambridge, Velká Británie, 1992.
- Hoffman, Paul (1992), Muž, který miloval pouze čísla Hyperion.
- Huntley, HE (1970), Božský podíl: Studium matematické krásy, Dover Publications, New York, NY.
- Loomis, Elisha Scott (1968), Pytagorejský návrh, Národní rada učitelů matematiky. Obsahuje 365 důkazů Pythagorovy věty.
- Lang, Serge (1985). Krásy matematiky: Tři veřejné dialogy. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96149-6.
- Peitgen, H.-O. a Richter, P.H. (1986), Krása fraktálů, Springer-Verlag.
- Reber, R.; Brun, M .; Mitterndorfer, K. (2008). "Použití heuristiky v intuitivním matematickém úsudku". Psychonomic Bulletin & Review. 15 (6): 1174–1178. doi:10,3758 / PBR.15.6.1174. hdl:1956/2734. PMID 19001586. S2CID 5297500.
- Strohmeier, John a Westbrook, Peter (1999), Divine Harmony, The Life and Teachings of Pythagoras„Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.
- Rota, Gian-Carlo (1997). „Fenomenologie matematické krásy“. Syntezátor. 111 (2): 171–182. doi:10.1023 / A: 1004930722234. JSTOR 20117626. S2CID 44064821.
- Monastyrsky, Michael (2001). „Některé trendy v moderní matematice a polní medaile“ (PDF). Umět. Matematika. Soc. Poznámky. 33 (2 a 3).
Další čtení
- Cellucci, Carlo (2015), „Matematická krása, porozumění a objevování“, Základy vědy, 20 (4): 339–355, doi:10.1007 / s10699-014-9378-7, S2CID 120068870
- Zeki, S.; Romaya, J. P .; Benincasa, D. M. T .; Atiyah, M. F. (2014), „Zkušenost matematické krásy a její neurální koreláty“, Frontiers in Human Neuroscience, 8: 68, doi:10.3389 / fnhum.2014.00068, PMC 3923150, PMID 24592230
externí odkazy
- Matematika, poezie a krása
- Je matematika krásná?
- Justin Mullins
- Edna St. Vincent Millay (básník): Samotný Euclid vypadal na kráse holý
- Terence Tao, Co je dobrá matematika?
- Blog Mathbeauty
- The Estetické odvolání sbírka na Internetový archiv
- Matematická románek Jim Holt 5. Prosince 2013 vydání The New York Review of Books recenze Láska a matematika: Srdce skryté reality podle Edward Frenkel