Vlysová skupina - Frieze group

Příklady vlysových vzorů

V matematice, a vlys nebo vlysový vzor je design na a dvourozměrný povrch, který se opakuje v jednom směru. Takové vzory se často vyskytují v architektura a dekorativní umění. A vlysová skupina je sada symetrie vlysového vzoru, konkrétně sady izometrie vzoru, to je geometrické transformace postaveno na pevných pohybech a odrazy které zachovávají vzor. Matematické studium vzorů vlysů ukazuje, že je lze rozdělit do sedmi typů podle jejich symetrie.

Vlysové skupiny jsou dvourozměrné skupiny linek, které mají opakování pouze v jednom směru. Vztahují se ke složitějším skupiny tapet, které klasifikují vzory, které se opakují ve dvou směrech, a krystalografické skupiny, které klasifikují vzory, které se opakují ve třech směrech.

Všeobecné

Sedm vlysových skupin
p1: T (pouze překlad, ve vodorovném směru) p1m1: TV (překlad a odraz svislé čáry) p11m: THG (překlad, odraz vodorovné čáry a klouzavý odraz) p11g: TG (překlad a klouzavý odraz) p2: TR (posun a rotace o 180 °) p2mg: TRVG (překlad, rotace o 180 °, vertikální odraz a klouzavý odraz) p2mm: TRHVG (posun, rotace o 180 °, odraz vodorovné čáry, odraz svislé čáry a klouzavý odraz)

Formálně je vlysová skupina třídou nekonečných diskrétních skupiny symetrie vzorů na proužku (nekonečně široký obdélník), tedy třída skupiny z izometrie roviny nebo pásu. Skupina symetrie skupiny vlysů nutně obsahuje překlady a může obsahovat klouzavé odrazy, odrazy podél dlouhé osy pásu, odrazy podél úzké osy pásu a 180 ° rotace. V souhrnné tabulce je uvedeno sedm skupin vlysů. Mnoho autorů prezentuje vlysové skupiny v jiném pořadí.^[1]^[2]

Skutečné skupiny symetrie ve skupině vlysu se vyznačují nejmenší translační vzdáleností a pro skupiny vlysu s vertikálním odrazem čáry nebo otočením o 180 ° (skupiny 2, 5, 6 a 7) parametrem posunu lokalizujícím osu odrazu nebo bod otáčení. V případě skupin symetrie v rovině jsou dalšími parametry směr vektoru translace a pro skupiny vlysu s odrazem vodorovné čáry, klouzavým odrazem nebo otočením o 180 ° (skupiny 3–7) poloha odrazu osa nebo rotační bod ve směru kolmém na vektor translace. Existují tedy dva stupně svobody pro skupinu 1, tři pro skupiny 2, 3 a 4 a čtyři pro skupiny 5, 6 a 7.

Pro dvě ze sedmi vlysových skupin (skupiny 1 a 4) jsou skupiny symetrie jednotlivě generované, pro čtyři (skupiny 2, 3, 5 a 6) mají dvojici generátorů a pro skupinu 7 skupiny symetrie vyžadují tři generátory. Skupina symetrie ve skupině vlysů 1, 2, 3 nebo 5 je a podskupina skupiny symetrie v poslední vlysové skupině se stejnou translační vzdáleností. Skupina symetrie ve skupině vlysu 4 nebo 6 je podskupina skupiny symetrie v poslední skupině vlysu s polovina překladová vzdálenost. Tato poslední skupina vlysů obsahuje skupiny symetrie nejjednodušších periodických vzorů v pásu (nebo rovině), řadu teček. Jakákoli transformace roviny opouštějící tento vzor neměnný může být rozložena na překlad, (X, y) ↦ (n + X, y), volitelně následovaný odrazem v horizontální ose, (X, y) ↦ (X, −y), nebo svislá osa, (X, y) ↦ (−X, y), za předpokladu, že tato osa je zvolena skrz nebo uprostřed mezi dvěma tečkami nebo rotace o 180 °, (X, y) ↦ (−X, −y) (totéž). Proto svým způsobem tato vlysová skupina obsahuje „největší“ skupiny symetrie, které se skládají ze všech takových transformací.

Zahrnutí oddělený podmínkou je vyloučit skupinu obsahující všechny překlady a skupiny obsahující libovolně malé překlady (např. skupinu vodorovných překladů podle racionálních vzdáleností). I přes změnu měřítka a posunutí existuje nekonečně mnoho případů, např. uvažováním racionálních čísel, jejichž jmenovateli jsou mocniny daného prvočísla.

Zahrnutí nekonečný podmínkou je vyloučit skupiny, které nemají žádné překlady:

skupina pouze s identitou (izomorfní s C₁, triviální skupina objednávky 1).
skupina skládající se z identity a reflexe v horizontální ose (izomorfní k C₂, cyklická skupina objednávky 2).
skupiny, z nichž každá sestává z identity a reflexe ve svislé ose (podobně)
skupiny, z nichž každá sestává z identity a rotace o 180 ° kolem bodu na vodorovné ose (podobně)
skupiny, z nichž každá sestává z identity, odrazu ve svislé ose, odrazu ve vodorovné ose a otáčení o 180 ° kolem průsečíku (izomorfní k Kleinova čtyřčlenná skupina )

Popisy sedmi skupin vlysů

Ve skupině diskrétních vlysů je sedm odlišných podskupin (až do změny měřítka a posunutí vzorů) generovaných translací, odrazem (podél stejné osy) a otočením o 180 °. Každá z těchto podskupin je skupinou symetrie vlysového vzoru a vzorové vzory jsou zobrazeny na obr. 1. Sedm různých skupin odpovídá 7 nekonečných řad skupin axiálních bodů ve třech rozměrech, s n = ∞.^[3]

Jsou identifikovány v následující tabulce pomocí Hermann – Mauguinova notace (nebo IUC notace ),^[4] Coxeterova notace, Schönfliesova notace, orbifold notace, přezdívky vytvořené matematikem John H. Conway a nakonec popis z hlediska překladu, odrazů a rotací.

Vlysové skupiny
IUC	Kormidelník	Schön^* Struct.	Diagram^§ Orbifold	Příklady a Conway přezdívka^[5]	Popis
p1	[∞]⁺	C_∞ Z_∞	∞∞	F F F F F F F F poskok	(T) Pouze překlady: Tato skupina je jednotlivě generována překladem o nejmenší vzdálenost, nad kterou je vzor periodický.
p11g	[∞⁺,2⁺]	S_∞ Z_∞	∞×	Γ L Γ L Γ L Γ L krok	(TG) Klouzavé odrazy a překlady: Tato skupina je jednotlivě generována klouzavým odrazem, přičemž překlady jsou získány kombinací dvou klouzavých odrazů.
p1m1	[∞]	C_.V Dih_∞	*∞∞	Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ blížit se bokem	(TV) Svislé odrazové čáry a překlady: Skupina je stejná jako netriviální skupina v jednorozměrném případě; je generován posunem a odrazem ve svislé ose.
p2	[∞,2]⁺	D_∞ Dih_∞	22∞	S S S S S S S S předení hop	(TR) Překlady a otočení o 180 °: Skupina je generována překladem a otočením o 180 °.
p2mg	[∞,2⁺]	D_.D Dih_∞	2*∞	V Λ V Λ V Λ V Λ točící se	(TRVG) Svislé odrazové čáry, Klouzavé odrazy, Překlady a otočení o 180 °: Překlady zde vznikají z klouzavých odrazů, takže tato skupina je generována klouzavým odrazem a buď rotací nebo vertikálním odrazem.
p11m	[∞⁺,2]	C_.H Z_∞× Dih₁	∞*	B B B B B B B B skok	(THG) Překlady, Horizontální odrazy, Klouzavé odrazy: Tato skupina je generována translací a odrazem ve vodorovné ose. Klouzavý odraz zde vzniká jako složení translace a horizontálního odrazu
p2mm	[∞,2]	D_.H Dih_∞× Dih₁	*22∞	H H H H H H H H rotující skok	(TRHVG) Vodorovné a svislé odrazové čáry, překlady a otočení o 180 °: Tato skupina vyžaduje tři generátory, přičemž jednu generující sadu tvoří překlad, odraz ve vodorovné ose a odraz ve svislé ose.

^*Schönfliesova skupina bodových zápisů je zde rozšířena jako nekonečné množství ekvivalentních symetrií bodů vzepětí

^§Diagram ukazuje jeden základní doména žlutě, s reflexními čarami modře, klouzající reflexní čáry přerušovanou zelenou barvou, normály překladu červeně a 2násobné body gyrace jako malé zelené čtverce.

Jak jsme viděli, až izomorfismus, existují čtyři skupiny, dvě abelian a dva neabelovští.

Příhradové typy: Šikmé a obdélníkové

Skupiny lze klasifikovat podle typu dvourozměrné mřížky nebo mřížky.^[6] Mřížka je šikmá znamená, že druhý směr nemusí být kolmé ve směru opakování.

Příhradový typ	Skupiny
Šikmý	p1, p2
Obdélníkový	p1m1, p11m, p11g, p2mm, p2mg

Viz také

Webové ukázky a software

Existují softwarové grafické nástroje, které vytvářejí 2D vzory pomocí vlysových skupin. Obvykle se celý vzor automaticky aktualizuje v reakci na úpravy původního pruhu.

EscherSketch Bezplatný online program pro kreslení, ukládání a export mozaikování. Podporuje všechny skupiny tapet.
Kali, a bezplatný open source software aplikace pro tapety, vlysy a další vzory.
Kali, zdarma ke stažení Kali pro Windows a Mac Classic.
Tess, a nagware teselační program pro více platforem, podporuje všechny skupiny tapet, vlysů a rozet, stejně jako Heeschovy obklady.
FriezingWorkz, freewarový balíček Hypercard pro platformu Classic Mac, který podporuje všechny skupiny vlysů.

Reference

^ Coxeter, H. S. M. (1969). Úvod do geometrie. New York: John Wiley & Sons. str.47–49. ISBN 0-471-50458-0.
^ Cederberg, Judith N. (2001). Kurz moderních geometrií, 2. vyd. New York: Springer-Verlag. 117–118, 165–171. ISBN 0-387-98972-2.
^ Fisher, G.L .; Mellor, B. (2007), „Trojrozměrné skupiny konečných bodů a symetrie korálkových korálků“ (PDF), Journal of Mathematics and the Arts
^ Radaelli, Paolo G., Základy krystalografické symetrie (PDF)^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
^ Vlysové vzory Matematik John Conway vytvořil jména, která se vztahují ke stopám pro každou ze skupin vlysů.
^ Hitzer, E.S.M .; Ichikawa, D. (2008), "Reprezentace krystalografických subperiodických skupin pomocí geometrické algebry" (PDF), Electronic Proc. AGACSE, Lipsko, Německo (3., 17. – 19. Srpna 2008), archivovány od originál (PDF) dne 14.03.2012

externí odkazy

[1] Coxeter, H. S. M. (1969). Úvod do geometrie. New York: John Wiley & Sons. str.47–49. ISBN 0-471-50458-0.

[2] Cederberg, Judith N. (2001). Kurz moderních geometrií, 2. vyd. New York: Springer-Verlag. 117–118, 165–171. ISBN 0-387-98972-2.

[3] Fisher, G.L .; Mellor, B. (2007), „Trojrozměrné skupiny konečných bodů a symetrie korálkových korálků“ (PDF), Journal of Mathematics and the Arts

[4] Radaelli, Paolo G., Základy krystalografické symetrie (PDF)^{[trvalý mrtvý odkaz ]}

[5] Vlysové vzory Matematik John Conway vytvořil jména, která se vztahují ke stopám pro každou ze skupin vlysů.

[6] Hitzer, E.S.M .; Ichikawa, D. (2008), "Reprezentace krystalografických subperiodických skupin pomocí geometrické algebry" (PDF), Electronic Proc. AGACSE, Lipsko, Německo (3., 17. – 19. Srpna 2008), archivovány od originál (PDF) dne 14.03.2012

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]