Objednávka (teorie skupin) - Order (group theory)

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: Teorie skupiny „Objednat“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Květen 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet produkt věnce jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

v teorie skupin, pobočka matematika, pořadí skupiny je jeho mohutnost, tj. počet prvků v jeho sadě. Pokud je skupina viděna multiplikativně, pořadí prvku A skupiny, někdy nazývané také délka období nebo doba z A, je nejmenší kladné celé číslo m takhle A^m = E, kde E označuje prvek identity skupiny a A^m označuje produkt m kopie A. Pokud žádný takový m existuje, A říká se, že má nekonečný řád.

Pořadí skupiny G je označen ord (G) nebo |G| a pořadí prvku A je označen ord (A) nebo |A|. Pořadí prvku A se rovná řádu jeho cyklická podskupina ⟨A⟩ = {A^k pro k celé číslo}, podskupina generováno podle A. Tedy |A| = |⟨A⟩|.

Lagrangeova věta uvádí, že pro jakoukoli podskupinu H z G, pořadí podskupiny dělí pořadí skupiny: |H| je dělitel z | G |. Zejména objednávka |A| libovolného prvku je dělitelem |G|.

Příklad

The symetrická skupina S₃ má následující násobilka.

•	E	s	t	u	proti	w
E	E	s	t	u	proti	w
s	s	E	proti	w	t	u
t	t	u	E	s	w	proti
u	u	t	w	proti	E	s
proti	proti	w	s	E	u	t
w	w	proti	u	t	s	E

Tato skupina má šest prvků, takže ord (S₃) = 6. Podle definice je pořadí identity, E, je jeden, protože E ¹ = E. Každý z s, t, a w čtverce do E, takže tyto prvky skupiny mají pořadí dva: |s| = |t| = |w| = 2. Konečně, u a proti mít objednávku 3, protože u³ = vu = E, a proti³ = uv = E.

Pořadí a struktura

Pořadí skupiny G a pořadí jeho prvků poskytuje mnoho informací o struktuře skupiny. Zhruba řečeno, čím složitější faktorizace z |G|, tím složitější je struktura G.

Pro |G| = 1, skupina je triviální. V jakékoli skupině pouze prvek identity a = e má ord (A) = 1. Pokud každý prvek neidentity v G se rovná jeho inverzní funkci (takže A² = E), pak ord (A) = 2; z toho vyplývá G je abelian od té doby ${ displaystyle ab = (ab) ^ {- 1} = b ^ {- 1} a ^ {- 1} = ba}$. Opak není pravdivý; například (přísada) cyklická skupina Z₆ celých čísel modulo 6 je abelian, ale číslo 2 má pořadí 3:

${ displaystyle 2 + 2 + 2 = 6 equiv 0 { pmod {6}}}$.

Vztah mezi dvěma pojmy řádu je následující: když píšeme

${ displaystyle langle a rangle = {a ^ {k} dvojtečka k v mathbb {Z} }}$

pro podskupina generováno podle A, pak

${ displaystyle operatorname {ord} (a) = operatorname {ord} ( langle a rangle).}$

Pro jakékoli celé číslo k, my máme

A^k = E právě tehdy, když ord (A) rozděluje k.

Obecně platí, že pořadí jakékoli podskupiny G rozdělí pořadí G. Přesněji: pokud H je podskupina G, pak

ord (G) / ord (H) = [G : H], kde [G : H] se nazývá index z H v G, celé číslo. Tohle je Lagrangeova věta. (To však platí pouze tehdy, když G má konečné pořadí. Pokud ord (G) = ∞, kvocient ord (G) / ord (H) nedává smysl.)

Jako bezprostřední důsledek výše uvedeného vidíme, že pořadí každého prvku skupiny rozděluje pořadí skupiny. Například v symetrické skupině zobrazené výše, kde ord (S₃) = 6, pořadí prvků je 1, 2 nebo 3.

Následující částečná konverzace platí pro konečné skupiny: pokud d rozdělí pořadí skupiny G a d je prvočíslo, pak existuje prvek řádu d v G (někdy se tomu říká Cauchyova věta ). Prohlášení neplatí pro kompozitní objednávky, např. the Kleinova čtyřčlenná skupina nemá prvek řádu čtyři). To lze ukázat pomocí induktivní důkaz.^[1] Důsledky věty zahrnují: pořadí skupiny G je moc prvočísla p právě tehdy, když ord (A) je nějaká síla p pro každého A v G.^[2]

Li A má nekonečné pořadí, pak všechny nenulové síly A mít také nekonečný pořádek. Li A má konečný řád, máme následující vzorec pro pořadí mocnin A:

ord (A^k) = ord (A) / gcd (ord (A), k)^[3]

pro každé celé číslo k. Zejména, A a jeho inverzní A⁻¹ mít stejné pořadí.

V jakékoli skupině

${ displaystyle operatorname {ord} (ab) = operatorname {ord} (ba)}$

Neexistuje žádný obecný vzorec vztahující se k objednávce produktu ab na rozkazy A a b. Ve skutečnosti je možné, že obojí A a b mít konečnou objednávku ab má nekonečný řád nebo obojí A a b mít nekonečný řád ab má konečný řád. Příkladem prvního je A(X) = 2−X, b(X) = 1−X s ab(X) = X−1 ve skupině ${ displaystyle Sym ( mathbb {Z})}$. Příkladem toho druhého je A(X) = X+1, b(X) = X-1 s ab(X) = X. Li ab = ba, můžeme alespoň říci, že ord (ab) rozděluje lcm (ord (A), ord (b)). V důsledku toho lze dokázat, že v konečné abelianské skupině, pokud m označuje maximum ze všech pořadí prvků skupiny, potom se pořadí každého prvku rozdělí m.

Počítání podle pořadí prvků

Předpokládat G je konečná skupina řádu n, a d je dělitel n. Počet objednávekd-prvky v G je násobkem φ (d) (možná nula), kde φ je Eulerova totientová funkce, přičemž počet kladných celých čísel není větší než d a coprime k tomu. Například v případě S₃, φ (3) = 2, a máme přesně dva prvky řádu 3. Věta neposkytuje žádné užitečné informace o prvcích řádu 2, protože φ (2) = 1, a má pouze omezenou užitečnost pro kompozitní d jako d= 6, protože φ (6) = 2, a v S jsou nulové prvky řádu 6₃.

Ve vztahu k homomorfismům

Skupinové homomorfismy mají tendenci snižovat pořadí prvků: pokud F: G → H je homomorfismus a A je prvek G konečného řádu, pak ord (F(A)) rozdělí ord (A). Li F je injekční, pak ord (F(A)) = ord (A). To lze často použít k prokázání, že mezi dvěma konkrétně danými skupinami neexistují žádné (injektivní) homomorfismy. (Například nemůže existovat žádný netriviální homomorfismus h: S₃ → Z₅, protože každé číslo kromě nuly v Z₅ má řád 5, který nerozděluje řády 1, 2 a 3 prvků v S₃.) Dalším důsledkem je to konjugované prvky mít stejné pořadí.

Třída rovnice

Důležitým výsledkem objednávek je třídní rovnice; týká se pořadí konečné skupiny G v pořadí jeho centrum Z (G) a velikosti jeho netriviálních třídy konjugace:

${ displaystyle | G | = | Z (G) | + součet _ {i} d_ {i} ;}$

Kde d_i jsou velikosti netriviálních tříd konjugace; to jsou správní dělitelé |G| větší než jedna a rovnají se také indexům centralizátorů v G zástupců netriviálních tříd konjugace. Například střed S₃ je jen triviální skupina s jediným prvkem Ea rovnice zní | S₃| = 1+2+3.

Viz také

• Torzní podskupina
• Lagrangeova věta (teorie grup)

Poznámky

Reference

• Dummit, David; Foote, Richarde. Abstraktní algebra, ISBN  978-0471433347, str. 20, 54–59, 90
• Artin, Michael. Algebra, ISBN  0-13-004763-5, s. 46–47