Hudba a matematika - Music and mathematics

A spektrogram tvaru houslí, s lineární frekvencí na svislé ose a časem na vodorovné ose. Jasné čáry ukazují, jak se spektrální složky v průběhu času mění. Intenzita zabarvení je logaritmická (černá je -120 dBFS).

Hudební teorie nemá žádný axiomatický nadace v moderním matematika, ačkoli v tomto směru byla nedávno provedena nějaká zajímavá práce (viz Externí odkazy), ale základ hudby zvuk lze popsat matematicky (v angličtině) akustika ) a vykazuje „pozoruhodnou řadu číselných vlastností“.[1] Prvky hudby jako je jeho formulář, rytmus a Metr, hřiště jeho poznámky a tempo jeho puls může souviset s měření času a frekvence, nabídka připravena analogie v geometrie.

Pokus strukturovat a sdělovat nové způsoby skládání a poslechu hudby vedl k hudebním aplikacím teorie množin, abstraktní algebra a teorie čísel. Někteří skladatelé začlenili Zlatý řez a Fibonacciho čísla do jejich práce.[2][3]

Dějiny

Ačkoli je známo, že starověcí Číňané, Indové, Egypťané a Mezopotámci studovali matematické principy zvuku,[4] the Pytagorejci (zejména Philolaus a Archytas )[5] starověkého Řecka byli prvními vědci, o nichž je známo, že zkoumali výraz hudební váhy číselně poměry,[6] zejména poměry malých celých čísel. Jejich ústřední doktrína spočívala v tom, že „se skládá z veškeré přírody harmonie vyplývající z čísel ".[7]

Od doby Platón, harmonie byla považována za základní odvětví fyzika, nyní známý jako hudební akustika. Brzy indický a čínština teoretici ukazují podobné přístupy: všichni se snažili ukázat, že matematické zákony z harmonické a rytmy byly zásadní nejen pro naše chápání světa, ale i pro lidský blahobyt.[8] Konfucius stejně jako Pythagoras považovali malé počty 1,2,3,4 za zdroj veškeré dokonalosti.[9]

Čas, rytmus a metr

Bez hranic rytmické struktury - základní rovnoměrné a pravidelné uspořádání puls opakování, přízvuk, fráze a trvání - hudba by nebyla možná.[10] Moderní hudební použití výrazů jako Metr a opatření také odráží historický význam hudby, spolu s astronomií, ve vývoji počítání, aritmetiky a přesného měření času a periodicita to je pro fyziku zásadní.[Citace je zapotřebí ]

Prvky hudební formy často vytvářejí přísné proporce nebo hypermetrické struktury (mocniny čísel 2 a 3).[11]

Hudební forma

Hlavní článek: Hudební forma

Hudební forma je plán, kterým se rozšiřuje krátká hudba. Termín „plán“ se používá také v architektuře, s níž se často srovnává hudební forma. Stejně jako architekt musí skladatel brát v úvahu funkci, pro kterou je dílo určeno, a dostupné prostředky, procvičovat ekonomiku a využívat opakování a pořádek.[12] Běžné typy forem známé jako binární a trojice („dvojnásobný“ a „trojnásobný“) opět demonstrují význam malých integrálních hodnot pro srozumitelnost a přitažlivost hudby.[13][14]

Frekvence a harmonie

Chladniho postavy vyrobené zvukovými vibracemi v jemném prášku na čtvercové desce. (Ernst Chladni, Akustika, 1802)

A hudební měřítko je diskrétní sada hřiště používá se při vytváření nebo popisu hudby. Nejdůležitější stupnicí v západní tradici je diatonická stupnice ale mnoho dalších bylo použito a navrženo v různých historických epochách a částech světa. Každé hřiště odpovídá určité frekvenci, vyjádřené v hertzích (Hz), někdy označované jako cykly za sekundu (c.p.s.). Stupnice má interval opakování, obvykle oktáva. The oktáva libovolné výšky tónu odkazuje na frekvenci přesně dvakrát vyšší, než je frekvence daného tónu.

Následné superoctaves jsou výšky nalezené na frekvencích čtyř, osmi, šestnáctkrát atd. Základní frekvence. Živice na frekvencích poloviny, čtvrtiny, osminy a tak dále od základního se nazývají suboctaves. V hudební harmonii neexistuje žádný případ, kdy, pokud je dané hřiště považováno za shodné, jeho oktávy jsou považovány za opak. Jakákoli nota a její oktávy proto budou obecně nalezeny v hudebních systémech podobně pojmenované (např. Budou volány všechny doh nebo A nebo Sa, podle okolností).

Když je vyjádřena jako šířka frekvenčního pásma za oktávu A2-A3 rozpětí od 110 Hz do 220 Hz (rozpětí = 110 Hz). Příští oktáva bude trvat od 220 Hz do 440 Hz (rozpětí = 220 Hz). Třetí oktáva se pohybuje od 440 Hz do 880 Hz (rozpětí = 440 Hz) atd. Každá následující oktáva překlenuje dvojnásobný frekvenční rozsah než předchozí oktáva.

Exponenciální povaha oktáv měřená na lineární frekvenční stupnici.
Tento diagram představuje oktávy, jak se objevují ve smyslu hudebních intervalů, rovnoměrně rozmístěných.

Protože nás často zajímají vztahy resp poměry mezi hřišti (známé jako intervaly ) spíše než samotné přesné výšky tónu při popisu stupnice je obvyklé označovat všechny výšky stupnice z hlediska jejich poměru od konkrétní výšky tónu, která má hodnotu jedné (často psané 1/1), obecně poznámka, která funguje jako tonikum stupnice. Pro srovnání velikosti intervalu centů jsou často používány.

Běžné jménoPříklad
název Hz		Násobek
zásadní		Poměr
do oktávy		Centů
do oktávy
ZákladníA2, 110
1X
1/1 = 1X0
OktávaA3 220
2X
2/1 = 2X1200
2/2 = 1X0
Perfektní pátýE4 330
3X
3/2 = 1.5X702
OktávaA4 440
4X
4/2 = 2X1200
4/4 = 1X0
Major třetíC♯5 550
5X
5/4 = 1.25X386
Perfektní pátýE5 660
6X
6/4 = 1.5X702
Harmonická sedmáG5 770
7X
7/4 = 1.75X969
OktávaA5 880
8X
8/4 = 2X1200
8/8 = 1X0

Ladicí systémy

Hlavní články: Hudební ladění a Hudební temperament

Existují dvě hlavní rodiny tuningových systémů: stejný temperament a jen ladění. Váhy se stejným temperamentem se vytvářejí dělením oktávy na intervaly, které jsou na a stejné logaritmická stupnice, což má za následek dokonale rovnoměrně rozdělené stupnice, ale s poměry frekvencí, které jsou iracionální čísla. Jen váhy se vytvářejí vynásobením frekvencí racionální čísla, což má za následek jednoduché poměry mezi frekvencemi, ale s nerovnoměrným dělením stupnice.

Jedním z hlavních rozdílů mezi laděním se stejným temperamentem a laděním jsou rozdíly akustický rytmus když zazní dvě noty společně, což ovlivňuje subjektivní zážitek z souznění a nesoulad. Oba tyto systémy a převážná většina hudby obecně mají stupnice, které se opakují v intervalu každého oktáva, který je definován jako frekvenční poměr 2: 1. Jinými slovy, pokaždé, když se frekvence zdvojnásobí, daná stupnice se opakuje.

Níže jsou Ogg Vorbis soubory prokazující rozdíl mezi pouhou intonací a stejným temperamentem. Možná budete muset několikrát přehrát sample, než zjistíte rozdíl.

  • Postupně hrály dvě sinusové vlny - tento vzorek má poloviční krok při 550 Hz (C.♯ v intonační stupnici), po kterém následuje půlkrok při 554,37 Hz (C.♯ ve stejné temperamentové stupnici).
  • Stejné dvě noty, nastavené proti pedálu A440 - tento vzorek se skládá z „dyad ". Dolní nota je konstantní A (440 Hz v obou stupnicích), horní nota je C♯ v rovnoměrném měřítku pro první 1 "a C♯ v intonační stupnici pro poslední 1 ". Fáze rozdíly usnadňují detekci přechodu než v předchozím vzorku.

Jen ladění

Prvních 16 harmonických, jejich názvy a frekvence, ukazující exponenciální povahu oktávy a jednoduchou frakční povahu neoktávových harmonických.
Prvních 16 harmonických s frekvencemi a kmitočty protokolu.

5-limit tuning, nejběžnější forma jen intonace, je systém ladění využívající tóny, které jsou běžné číslo harmonické jediného základní frekvence. To byla jedna z vah Johannes Kepler prezentovány v jeho Harmonices Mundi (1619) v souvislosti s planetárním pohybem. Stejné měřítko dal v transponované podobě skotský matematik a hudební teoretik Alexander Malcolm v roce 1721 ve svém Pojednání o Musickovi: Spekulativní, praktické a historické[15] a teoretik Jose Wuerschmidt ve 20. století. Jeho forma se používá v hudbě severní Indie.

Americký skladatel Terry Riley také využil jeho obrácenou podobu ve své „Harp of New Albion“. Pouhá intonace poskytuje vynikající výsledky, když je málo nebo žádné postup akordů: hlasy a další nástroje tíhnou k intonaci, kdykoli je to možné. Poskytuje však dva různé intervaly celých tónů (9: 8 a 10: 9), protože pevně naladěný nástroj, například piano, nemůže změnit klíč.[16] Pro výpočet frekvence noty v měřítku daném z hlediska poměrů se frekvenční poměr vynásobí tonickou frekvencí. Například s tonikem A4 (Přirozený nad středem C), frekvence je 440Hz a spravedlivě naladěná pětina nad ním (E5) je jednoduše 440 × (3: 2) = 660 Hz.

PůltónPoměrIntervalPřírodníPoloviční krok
01:1unisono4800
116:15Méně důležitý půltón51216:15
29:8hlavní sekunda540135:128
36:5malá tercie57616:15
45:4hlavní tercie60025:24
54:3perfektní čtvrtý64016:15
645:32diatonický triton675135:128
73:2perfektní pátý72016:15
88:5menší šestý76816:15
95:3šestý major80025:24
109:5menší sedmý86427:25
1115:8hlavní sedmý90025:24
122:1oktáva96016:15

Pytagorejské ladění je ladění založené pouze na dokonalých souhláskách, (dokonalé) oktávě, dokonalé páté a dokonalé čtvrté. Hlavní třetina tedy není považována za třetinu, ale za diton, doslova „dva tóny“, a je (9: 8)2 = 81:64, spíše než nezávislé a harmonické jen 5: 4 = 80:64 přímo níže. Celý tón je sekundární interval, odvozený ze dvou dokonalých pětin (3: 2)2 = 9:8.

Jen velká tercie, 5: 4 a malá tercie, 6: 5, jsou a syntonická čárka, 81:80, kromě jejich pythagorovských ekvivalentů 81:64 a 32:27. Podle Carle Dahlhaus (1990, str. 187), „závislá třetina odpovídá Pythagorově, nezávislá třetina harmonickému ladění intervalů.“

Západní běžná hudba obvykle nelze hrát pouze v intonaci, ale vyžaduje systematicky temperované měřítko. Popouštění může zahrnovat buď nepravidelnosti dobře temperament nebo být konstruovány jako normální temperament, buď nějaká forma stejný temperament nebo nějaký jiný pravidelný, ale ve všech případech bude zahrnovat základní rysy zlý temperament. Například kořen akordu ii, pokud je naladěn na pětinu nad dominantní, bude to hlavní celý tón (9: 8) nad tonikem. Pokud by byla naladěna jen malá třetina (6: 5) pod právě subdominantní stupeň 4: 3, interval od tonika by se rovnal vedlejšímu celému tónu (10: 9). Meantone temperament snižuje rozdíl mezi 9: 8 a 10: 9. Jejich poměr (9: 8) / (10: 9) = 81:80 je považován za unisono. Interval 81:80, nazývaný syntonická čárka nebo čárka Didymus, je klíčová čárka odměrného temperamentu.

Stejné temperamentové ladění

v stejný temperament, je oktáva rozdělena na stejné části v logaritmické stupnici. I když je možné postavit stejnou temperamentní stupnici s libovolným počtem not (například 24tónovou Arabský tónový systém ), nejběžnější číslo je 12, které tvoří stejný temperament chromatická stupnice. V západní hudbě se běžně předpokládá rozdělení do dvanácti intervalů, pokud není uvedeno jinak.

Pro chromatickou stupnici je oktáva rozdělena na dvanáct stejných částí, přičemž každý půltón (půlkrok) je intervalem dvanáctý kořen ze dvou takže dvanáct z těchto stejných polovičních kroků přidává přesně oktávu. U pražcových nástrojů je velmi užitečné používat stejný temperament, aby se pražce vyrovnaly rovnoměrně napříč strunami. V evropské hudební tradici byl stejný temperament používán pro loutnu a kytarovou hudbu mnohem dříve než pro jiné nástroje, jako např hudební klávesy. Kvůli této historické síle je nyní dominantní intonační systém v západním a hodně v nezápadním světě dvanáctitónový stejný temperament.

Byly použity stejně temperované váhy a nástroje byly konstruovány s použitím různých jiných počtů stejných intervalů. The 19 stejného temperamentu, poprvé navrženo a použito Guillaume Costeley v 16. století používá 19 stejně rozmístěných tónů, které nabízejí lepší hlavní třetiny a mnohem lepší menší třetiny než normální 12-půltónový stejný temperament za cenu plošší pětiny. Celkový efekt má větší soulad. Dvacet čtyři stejného temperamentu, s dvaceti čtyřmi rovnoměrně rozmístěnými tóny, je rozšířený v pedagogice a notace z Arabská hudba. Teoreticky i v praxi se však intonace arabské hudby přizpůsobuje racionální poměry, na rozdíl od iracionální poměry stejně temperovaných systémů.[17]

Zatímco jakýkoli analog k stejně temperované čtvrt tónu zcela chybí v arabských intonačních systémech, analogií tříčtvrtečního tónu, nebo neutrální sekundu se často vyskytují. Tyto neutrální sekundy se však mírně liší v poměru v závislosti na maqam, stejně jako zeměpis. Arabský hudební historik Habib Hassan Touma napsal, že „šířka odchylky tohoto hudebního kroku je zásadní přísadou ve zvláštní chuti arabské hudby. Zmírnit stupnici dělením oktávy na dvacet čtyři čtvrttónů stejné velikosti by znamenalo vzdát se jednoho z nejvíce charakteristické prvky této hudební kultury. “[17]

53 stejný temperament vyplývá z téměř rovnosti 53 perfektní pětiny s 31 oktávami, a byl zaznamenán Jing Fang a Nicholas Mercator.

Vazby na matematiku

Teorie množin

Hlavní článek: Teorie množin (hudba)

Hudební teorie množin používá matematický jazyk teorie množin elementárním způsobem uspořádat hudební objekty a popsat jejich vztahy. Při analýze struktury (obvykle atonální) hudby pomocí teorie hudební množiny se obvykle začíná sadou tónů, které mohou tvořit motivy nebo akordy. Použitím jednoduchých operací, jako je transpozice a inverze, lze v hudbě objevit hluboké struktury. Operace jako transpozice a inverze se nazývají izometrie protože zachovávají intervaly mezi tóny v sadě.

Abstraktní algebra

Hlavní článek: Abstraktní algebra

Někteří teoretici rozšiřují metody teorie hudební množiny a používají k analýze hudby abstraktní algebru. Například třídy výšky tónu ve stejně temperované oktávě tvoří abelianská skupina s 12 prvky. Dá se to popsat jen intonace ve smyslu a bezplatná abelianská skupina.[18][19]

Transformační teorie je obor hudební teorie vyvinutý společností David Lewin. Tato teorie umožňuje velkou obecnost, protože zdůrazňuje transformace mezi hudebními objekty, spíše než samotnými hudebními objekty.

Teoretici také navrhli hudební aplikace sofistikovanějších algebraických konceptů. Teorie regulárních temperamentů byla rozsáhle vyvinuta se širokou škálou sofistikované matematiky, například spojením každého regulérního temperamentu s racionálním bodem na Grassmannian.

The chromatická stupnice má bezplatnou a přechodnou akci cyklická skupina , přičemž akce je definována prostřednictvím transpozice poznámek. Chromatickou stupnici lze tedy považovat za a torzor pro skupinu

Teorie kategorií

Hlavní článek: Teorie kategorií

The matematik a muzikolog Guerino Mazzola použil teorie kategorií (teorie topos ) pro základ hudební teorie, která zahrnuje použití topologie jako základ pro teorii rytmus a motivy, a diferenciální geometrie jako základ pro teorii hudební frázování, tempo, a intonace.[20]

Viz také

Audio a.svg Hudební portál

Reference

  1. ^ Reginald Smith Brindle, Nová hudba„Oxford University Press, 1987, s. 42–43
  2. ^ Reginald Smith Brindle, Nová hudba, Oxford University Press, 1987, kapitola 6 passim
  3. ^ „Eric - Matematika a hudba: Harmonická spojení“.
  4. ^ Reginald Smith Brindle, Nová hudbaOxford University Press, 1987, s. 42
  5. ^ Purwins, Hendrik (2005). Profily roztečových tříd Oběžnost relativního rozteče a klíčové experimenty, modely, výpočetní analýza hudby a perspektivy (PDF). s. 22–24.
  6. ^ Platón (překlad Desmond Lee) Republika, Harmondsworth Penguin 1974, strana 340, pozn.
  7. ^ Sir James Jeans, Věda a hudba, Dover 1968, s. 154.
  8. ^ Alain Danielou, Úvod do studia hudebních stupnic, Mushiram Manoharlal 1999, kapitola 1 passim.
  9. ^ Sir James Jeans, Věda a hudba, Dover 1968, s. 155.
  10. ^ Arnold Whittall, v Oxfordský společník hudby, OUP, 2002, Článek: Rytmus
  11. ^ „Александр Виноград, Многообразие проявлений музыкального метра (LAP Lambert Academic Publishing, 2013)“.
  12. ^ Imogen Holst, ABC hudby, Oxford 1963, str. 100
  13. ^ Dreyfus, Tommy; Eisenberg, Theodore (1986). „O estetice matematického myšlení“. Pro učení matematiky. 6 (1): 2–10. ISSN  0228-0671. JSTOR  40247796.
  14. ^ Crocker, Richard L. (1963). „Pytagorova matematika a hudba“. The Journal of Aesthetics and Art Criticism. 22 (2): 189–198. doi:10.2307/427754. ISSN  0021-8529. JSTOR  427754.
  15. ^ Malcolm, Alexander; Mitchell, Mr. (Joseph) (25. května 2018). „Pojednání o musicku, spekulativní, praktické a historické“. Edinburgh: Vytištěno pro autora - prostřednictvím internetového archivu.
  16. ^ Jeremy Montagu, v Oxfordský společník hudby, OUP 2002, Článek: jen intonace.
  17. ^ A b Touma, Habib Hassan (1996). Hudba Arabů. Portland, OR: Amadeus Press. s. 22–24. ISBN  0-931340-88-8.
  18. ^ „Algebra tónových funkcí“.
  19. ^ „Harmonický limit“.
  20. ^ Mazzola, Guerino (2018), Topos of Music: Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance

externí odkazy