Vesmírná skupina - Space group

v matematika, fyzika a chemie, a vesmírná skupina je skupina symetrie konfigurace v prostoru, obvykle v tři rozměry.[1] Ve třech rozměrech existuje 219 odlišných typů, nebo 230, pokud chirální kopie jsou považovány za odlišné. Vesmírné skupiny se také studují v jiných dimenzích než 3, kde se někdy nazývají Bieberbach skupinya jsou diskrétní cocompact skupiny izometrií orientovaného Euklidovský prostor.
v krystalografie, vesmírné skupiny se také nazývají krystalografické nebo Fedorov skupinya představují popis souboru symetrie krystalu. Definitivním zdrojem týkajícím se trojrozměrných prostorových skupin je Mezinárodní tabulky pro krystalografii (Hahn (2002) ).
Dějiny
Prostorové skupiny ve 2 dimenzích jsou 17 skupiny tapet které jsou známy již několik století, ačkoli důkaz, že seznam byl úplný, byl uveden až v roce 1891, poté, co byla do značné míry dokončena mnohem obtížnější klasifikace vesmírných skupin.[2]V roce 1879 německý matematik Leonhard Sohncke vypsal 65 vesmírných skupin (nazývaných Sohncke skupiny), jejichž prvky zachovávají chirality.[3] Přesněji uvedl 66 skupin, ale ruského matematika i krystalografa Evgraf Fedorov a německý matematik Arthur Moritz Schoenflies všimli si, že dva z nich jsou opravdu stejní. Vesmírné skupiny ve třech dimenzích byly poprvé vyjmenovány v roce 1891 Fedorovem[4] (jehož seznam měl dvě opomenutí (I43d a Fdd2) a jedna duplikace (Fmm2)) a krátce nato v roce 1891 byly samostatně vyčísleny Schönfliesem[5] (jehož seznam měl čtyři opomenutí (I43d, Pc, Cc,?) A jedna duplikace (P421m)). Správný seznam 230 vesmírných skupin našel rok 1892 během korespondence mezi Fedorovem a Schönfliesem.[6] Barlow (1894 ) později vyjmenoval skupiny jinou metodou, ale vynechal čtyři skupiny (Fdd2, I42d, P421d a P421c) přestože již měl správný seznam 230 skupin od Fedorova a Schönfliesa; společné tvrzení, že Barlow o jejich práci nevěděl, je nesprávné.[Citace je zapotřebí ]Burckhardt (1967) podrobně popisuje historii objevu vesmírných skupin.
Elementy
Prostorové skupiny ve třech rozměrech jsou vyrobeny z kombinací 32 krystalografické skupiny bodů s 14 Bravais svazy, z nichž každý patří k jednomu ze 7 příhradové systémy. To znamená, že akci kteréhokoli prvku dané vesmírné skupiny lze vyjádřit jako akci prvku příslušné skupiny bodů následovanou volitelně překladem. Prostorová skupina je tedy nějakou kombinací translační symetrie a jednotková buňka (včetně centrování mřížky[je zapotřebí objasnění ]), operace bodové grupy symetrie odraz, otáčení a nesprávná rotace (nazývané také rotoinversion) a osa šroubu a klouzat letadlo operace symetrie. Kombinace všech těchto operací symetrie vede k celkem 230 různým prostorovým skupinám popisujícím všechny možné krystalové symetrie.
Prvky upevňující bod
Prvky vesmírné skupiny fixující vesmírný bod jsou prvek identity, odrazy, rotace a nesprávné otáčení.
Překlady
Překlady tvoří normální abelianskou podskupinu hodnost 3, nazvaný Bravaisova mříž. Existuje 14 možných typů mřížky Bravais. The kvocient vesmírné skupiny u Bravaisovy mřížky je konečná skupina, která je jednou z 32 možných bodové skupiny.
Klouzat rovinami
A klouzat letadlo je odraz v rovině, následovaný translací rovnoběžnou s touto rovinou. Toto zaznamenává , nebo , v závislosti na tom, v které ose je klouzání podél K dispozici je také klouzání, což je klouzání podél poloviny úhlopříčky obličeje, a klouzání, což je čtvrtina cesty podél úhlopříčky plochy nebo prostoru jednotkové buňky. Ta druhá se nazývá diamantová klouzavá rovina, jak je uvedena v diamant struktura. V 17 vesmírných skupinách se v důsledku centrování buňky klouzání vyskytuje ve dvou kolmých směrech současně, tj. lze nazvat stejnou kluznou rovinu b nebo C, A nebo b, A nebo C. Například skupina Abm2 může být také nazývána Acm2, skupina Ccca může být nazývána Cccb. V roce 1992 bylo navrženo použít symbol E pro taková letadla. Byly upraveny symboly pro pět vesmírných skupin:
Vesmírná skupina č. | 39 | 41 | 64 | 67 | 68 |
---|---|---|---|---|---|
Nový symbol | Aem2 | Aea2 | Cmce | Cmme | CCCE |
Starý Symbol | Abm2 | Aba2 | Cmca | Cmma | Ccca |
Osy šroubů
A osa šroubu je rotace kolem osy, následovaná posunem ve směru osy. Ty jsou označeny číslem, n, k popisu stupně rotace, kde počet udává, kolik operací je třeba použít k dokončení úplné rotace (např. 3 by znamenalo vždy jednu třetinu otáčení kolem osy). Stupeň překladu je poté přidán jako dolní index ukazující, jak daleko podél osy je překlad, jako část paralelního mřížkového vektoru. Takže 21 je dvojitá rotace následovaná translací 1/2 mřížkového vektoru.
Obecný vzorec
Obecný vzorec pro akci prvku vesmírné skupiny je
- y = M.X + D
kde M je jeho matice, D je jeho vektor a kde prvek transformuje bod X do bodu y. Obecně, D = D(mříž ) + D(M), kde D(M) je jedinečná funkce M to je nula pro M být identitou. Matice M tvoří a bodová skupina to je základ vesmírné skupiny; mřížka musí být symetrická pod touto bodovou skupinou, ale samotná krystalová struktura nemusí být symetrická pod touto bodovou skupinou, jak je aplikována na jakýkoli konkrétní bod (tj. bez překladu). Například diamant krychlový struktura nemá žádný bod, kde skupina kubických bodů platí.
Mřížková dimenze může být menší než celková dimenze, což vede k „subperiodické“ vesmírné skupině. Pro (celkový rozměr, rozměr mřížky):
- (1,1): Jednorozměrný skupiny linek
- (2,1): Dvojrozměrný skupiny linek: vlysové skupiny
- (2,2): Skupiny tapet
- (3,1): Trojrozměrný skupiny linek; se skupinami 3D krystalografických bodů, skupiny prutů
- (3,2): Skupiny vrstev
- (3,3): Vesmírné skupiny popsané v tomto článku
Zápis
Existuje alespoň deset metod pojmenování skupin prostoru. Některé z těchto metod mohou téže vesmírné skupině přiřadit několik různých jmen, takže dohromady existuje mnoho tisíc různých jmen.
- Číslo
- Mezinárodní unie krystalografie publikuje tabulky všech typů vesmírných skupin a každému z nich přiděluje jedinečné číslo od 1 do 230. Číslování je libovolné, až na to, že skupinám se stejnou krystalovou soustavou nebo bodovou skupinou jsou přiřazena po sobě jdoucí čísla.
Směr pohledu 7 krystalových systémů je zobrazen následovně.
Pozice v symbolu | Triclinic | Monoklinický | Ortorombický | Tetragonální | Trigonální | Šestihranný | Krychlový |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | — | b | A | C | C | C | A |
2 | — | b | A | A | A | [111] | |
3 | — | C | [110] | [210] | [210] | [110] |
- Hallův zápis[7]
- Zápis vesmírné skupiny s explicitním počátkem. Symboly rotace, posunu a směru os jsou jasně odděleny a jsou výslovně definována střediska inverze. Konstrukce a formát notace jej činí zvláště vhodným pro počítačové generování symetrických informací. Například skupina číslo 3 má tři Hallovy symboly: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1).
- Schönfliesova notace
- Vesmírné skupiny s danou skupinou bodů jsou očíslovány čísly 1, 2, 3,… (ve stejném pořadí jako jejich mezinárodní číslo) a toto číslo je přidáno jako horní index k symbolu Schönflies pro skupinu bodů. Například skupiny čísel 3 až 5, jejichž bodová skupina je C2 mají symboly Schönflies C1
2, C2
2, C3
2.
- Coxeterova notace
- Skupiny prostorové a bodové symetrie, představované jako modifikace čistého odrazu Skupiny coxeterů.
- Geometrická notace[9]
- A geometrická algebra notace.
Klasifikační systémy
Existuje (alespoň) 10 různých způsobů, jak zařadit vesmírné skupiny do tříd. Vztahy mezi některými z nich jsou popsány v následující tabulce. Každý klasifikační systém je zdokonalením systémů pod ním.
(Krystalografické) typy skupin prostorů (230 ve třech rozměrech) | |
---|---|
Dvě vesmírné skupiny, považované za podskupiny skupiny afinní transformace prostoru, mají stejný typ vesmírné skupiny, pokud jsou konjugovány afinní transformací zachovávající chirality. Ve třech rozměrech, pro 11 z afinní prostor skupin, neexistuje žádná mapa zachovávající chiralitu ze skupiny do jejího zrcadlového obrazu, takže pokud někdo rozlišuje skupiny od svých zrcadlových obrazů, rozdělí se každý na dva případy (například P41 a P43). Existuje tedy 54 + 11 = 65 typů vesmírných skupin, které zachovávají chiralitu (Sohncke skupiny). | |
Typy afinních prostorových skupin (219 ve třech rozměrech) | |
Dvě vesmírné skupiny, považované za podskupiny skupiny afinních transformací prostoru, mají stejný typ afinní prostorové skupiny, pokud jsou konjugovány v rámci afinní transformace. Typ afinní vesmírné skupiny je určen podkladovou abstraktní skupinou vesmírné skupiny. Ve třech dimenzích existuje 54 typů afinních vesmírných skupin, které zachovávají chirality. | |
Třídy aritmetického krystalu (73 ve třech rozměrech) | |
Někdy se tomu říká Z-třídy. Ty jsou určeny skupinou bodů společně s působením skupiny bodů na podskupinu překladů. Jinými slovy, aritmetické třídy krystalů odpovídají třídám konjugace konečné podskupiny obecné lineární skupiny GLn(Z) přes celá čísla. Volá se vesmírná skupina symmorfní (nebo rozdělit) pokud existuje bod takový, že všechny symetrie jsou výsledkem symetrie upevňující tento bod a překladu. Ekvivalentně je vesmírná skupina symmorfní, pokud je polopřímý produkt jeho bodové skupiny s její podskupinou překladu. Existuje 73 symmorfních prostorových skupin, s přesně jednou v každé třídě aritmetických krystalů. V aritmetických třídách krystalů existuje také 157 nesymmorfních typů prostorových skupin s různým počtem. Aritmetické třídy krystalů lze interpretovat jako různé orientace skupin bodů v mřížce, přičemž komponenty matice prvků skupiny jsou omezeny tak, aby v mřížkovém prostoru měly celočíselné koeficienty. To je docela snadné si představit ve dvojrozměrném, skupina tapet případ. Některé skupiny bodů mají odrazy a čáry odrazu mohou být podél mřížových směrů, uprostřed mezi nimi nebo obojí.
| |
(geometrický) Křišťálové třídy (32 ve třech rozměrech) | Hejna Bravais (14 ve třech rozměrech) |
Někdy se tomu říká Q-třídy. Krystalová třída vesmírné skupiny je určena její bodovou skupinou: kvocientem podskupiny překladů působících na mřížku. Dvě vesmírné skupiny jsou ve stejné krystalové třídě právě tehdy, jsou-li jejich bodové skupiny, které jsou podskupinami GLn(Z), jsou konjugovány ve větší skupině GLn(Q). | Ty jsou určeny základním typem mřížky Bravais. Ty odpovídají třídám konjugace skupin mřížových bodů v GLn(Z), kde skupina bodů mřížky je skupina symetrií podkladové mřížky, které fixují bod mřížky, a obsahuje skupinu bodů. |
Krystalové systémy (7 ve třech rozměrech) | Příhradové systémy (7 ve třech rozměrech) |
Krystalové systémy jsou ad hoc modifikací mřížových systémů, aby byly kompatibilní s klasifikací podle skupin bodů. Liší se od rodin krystalů tím, že rodina šestiúhelníkových krystalů je rozdělena do dvou podmnožin, které se nazývají trigonální a hexagonální krystalové systémy. Trigonální krystalový systém je větší než kosodélníkový mřížkový systém, hexagonální krystalový systém je menší než hexagonální mřížkový systém a zbývající krystalové systémy a mřížkové systémy jsou stejné. | Mřížkový systém vesmírné skupiny je určen třídou konjugace skupiny mřížových bodů (podskupina GLn(Z)) ve větší skupině GLn(Q). Ve třech rozměrech může mít skupina mřížových bodů jeden ze 7 různých řádů 2, 4, 8, 12, 16, 24 nebo 48. Rodina hexagonálních krystalů je rozdělena do dvou podmnožin, které se nazývají kosodélníková a hexagonální mřížková soustava. |
Křišťálové rodiny (6 ve třech rozměrech) | |
Bodová skupina vesmírné skupiny zcela neurčuje její mřížkový systém, protože občas mohou být v různých mřížkových systémech dvě vesmírné skupiny se stejnou skupinou bodů. Rodiny krystalů jsou tvořeny z mřížkových systémů sloučením obou mřížkových systémů, kdykoli k tomu dojde, takže rodina krystalů vesmírné skupiny je určena buď mřížkovým systémem, nebo jeho bodovou skupinou. Ve 3 dimenzích jsou jedinými dvěma rodinami mřížek, které se tímto způsobem spojily, hexagonální a rhombohedrální mřížový systém, který je sloučen do rodiny šestiúhelníkových krystalů. Těch 6 křišťálových rodin ve 3 rozměrech se nazývá triclinické, monoklinické, ortorombické, tetragonální, šestihranné a kubické. Skupiny krystalů se běžně používají v populárních knihách o krystalech, kde se jim někdy říká krystalové systémy. |
Conway, Delgado Friedrichs a Huson et al. (2001 ) dal další klasifikaci vesmírných skupin, nazvanou a fibrifoldová notace, podle fibrifold struktury na odpovídající orbifold. Rozdělili 219 afinních vesmírných skupin na skupiny redukovatelné a neredukovatelné. Redukovatelné skupiny spadají do 17 tříd odpovídajících 17 skupiny tapet a zbývajících 35 neredukovatelných skupin je stejných jako kubické skupiny a jsou klasifikovány samostatně.
V jiných dimenzích
Bieberbachovy věty
v n dimenze, afinní vesmírná skupina nebo skupina Bieberbach, je diskrétní podskupina izometrií n-dimenzionální euklidovský prostor s kompaktní základní doménou. Bieberbach (1911, 1912 ) dokázal, že podskupina překladů jakékoli takové skupiny obsahuje n lineárně nezávislé překlady a je zdarma abelian podskupina konečného indexu a je také jedinečnou maximální normální podskupinou abelian. Ukázal to také v jakékoli dimenzi n pro třídu izomorfismu základní skupiny vesmírné skupiny existuje jen omezené množství možností a navíc je působení skupiny na euklidovský prostor jedinečné až do konjugace afinními transformacemi. Toto odpovídá na část Hilbertův osmnáctý problém. Zassenhaus (1948) ukázalo, že naopak každá skupina, která je příponou[když je definováno jako? ] z Zn konečnou skupinou jednající věrně je afinní prostor skupina. Kombinace těchto výsledků ukazuje, že klasifikace vesmírných skupin v n dimenze až po konjugaci afinními transformacemi je v podstatě stejná jako klasifikace tříd izomorfismu pro skupiny, které jsou rozšířeními Zn konečnou skupinou jednající věrně.
V Bieberbachových větách je nezbytné předpokládat, že skupina funguje jako izometrie; věty se nezobecňují na diskrétní kokompaktní skupiny afinních transformací euklidovského prostoru. Protiklad je dán 3-dimenzionální Heisenbergovou skupinou celých čísel působících překlady na Heisenbergovu skupinu realů, identifikovanou 3-dimenzionálním euklidovským prostorem. Toto je diskrétní kokompaktní skupina afinních transformací prostoru, ale neobsahuje podskupinu Z3.
Klasifikace v malých rozměrech
Tato tabulka uvádí počet typů skupin prostorů v malých rozměrech, včetně počtu různých tříd skupiny prostorů. Počty enantiomorfních párů jsou uvedeny v závorkách.
Rozměry | Křišťálové rodiny (sekvence A004032 v OEIS ) | Krystalové systémy (sekvence A004031 v OEIS ) | Bravais svazy (sekvence A256413 v OEIS ) | Abstraktní krystalografické skupiny bodů (sekvence A006226 v OEIS ) | Třídy geometrických krystalů, třídy Q, krystalografické skupiny bodů (sekvence A004028 v OEIS ) | Aritmetické třídy krystalů, třídy Z (sekvence A004027 v OEIS ) | Typy afinních prostorových skupin (sekvence A004029 v OEIS ) | Krystalografické typy prostorových skupin (sekvence A006227 v OEIS ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0[A] | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1[b] | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
2[C] | 4 | 4 | 5 | 9 | 10 | 13 | 17 | 17 |
3[d] | 6 | 7 | 14 | 18 | 32 | 73 | 219 (+11) | 230 |
4[E] | 23 (+6) | 33 (+7) | 64 (+10) | 118 | 227 (+44) | 710 (+70) | 4783 (+111) | 4894 |
5[F] | 32 | 59 | 189 | 239 | 955 | 6079 | 222018 (+79) | 222097 |
6[G] | 91 | 251 | 841 | 1594 | 7103 | 85308 (+?) | 28927915 (+?) | ? |
- ^ Triviální skupina
- ^ Jeden je skupina celých čísel a druhý je nekonečná dihedrální skupina; vidět skupiny symetrie v jedné dimenzi.
- ^ Tyto 2D prostorové skupiny se také nazývají skupiny tapet nebo skupiny letadel.
- ^ Ve 3D existuje 230 typů krystalografických prostorových skupin, což snižuje na 219 typů afinních prostorových skupin, protože některé typy se liší od jejich zrcadlového obrazu; tyto se údajně liší enantiomorfní charakter (např. P3112 a P3212). Obvykle vesmírná skupina odkazuje na 3D. Byli samostatně vyjmenováni Barlow (1894), Fedorov (1891) a Schönflies (1891).
- ^ 4895 4-dimenzionálních skupin vyjmenovali Harold Brown, Rolf Bülow a Joachim Neubüser et al. (1978 ) Neubüser, Souvignier & Wondratschek (2002) opravil počet enantiomorfních skupin ze 112 na 111, takže celkový počet skupin je 4783 + 111 = 4894. Ve 4-dimenzionálním prostoru je 44 enantiomorfních bodových skupin. Pokud považujeme enantiomorfní skupiny za odlišné, je celkový počet skupin bodů 227 + 44 = 271.
- ^ Plesken & Schulz (2000) vyjmenoval ty z dimenze 5. Souvignier (2003) spočítali enantiomorfy.
- ^ Plesken & Schulz (2000) vyjmenoval ty z dimenze 6, později byly nalezeny opravené údaje.[10] Původně publikovaný počet 826 typů mřížek v Plesken & Hanrath (1984) byl opraven na 841 v Opgenorth, Plesken & Schulz (1998). Viz také Janssen a kol. (2002) . Souvignier (2003) spočítal enantiomorfy, ale tento dokument se spoléhal na stará chybná data CARAT pro dimenzi 6.
Magnetické skupiny a obrácení času
Kromě krystalografických prostorových skupin existují také magnetické prostorové skupiny (nazývané také dvoubarevné (černé a bílé) krystalografické skupiny nebo Shubnikovovy skupiny). Tyto symetrie obsahují prvek známý jako obrácení času. Zacházejí s časem jako s další dimenzí a prvky skupiny mohou zahrnovat obrácení času jako odraz v něm. Jsou důležité v magnetické struktury které obsahují objednané nepárové otočení, tj. ferro-, ferri- nebo antiferomagnetický struktury, jak studoval neutronová difrakce. Prvek časového převrácení převrátí magnetické otáčení, přičemž ponechá všechny ostatní struktury stejné a lze jej kombinovat s řadou dalších prvků symetrie. Včetně časového obratu existuje 1651 skupin magnetického prostoru ve 3D (Kim 1999, str. 428). Bylo také možné zkonstruovat magnetické verze pro jiné celkové a mřížkové rozměry (Doklady Daniela Litvina, (Litvin 2008 ), (Litvin 2005 )). Skupiny vlysu jsou magnetické skupiny 1D čar a skupiny vrstev jsou skupiny magnetických tapet a skupiny axiálních 3D bodů jsou skupiny magnetických 2D bodů. Počet původních a magnetických skupin podle (celkové, mřížkové) dimenze :(Palistrant 2012 )(Souvignier 2006 )
Celkově dimenze | Mříž dimenze | Obyčejné skupiny | Magnetické skupiny | |||
---|---|---|---|---|---|---|
název | Symbol | Počet | Symbol | Počet | ||
0 | 0 | Skupina nulové dimenze symetrie | 1 | 2 | ||
1 | 0 | Skupiny jednorozměrných bodů | 2 | 5 | ||
1 | Jednorozměrné diskrétní skupiny symetrie | 2 | 7 | |||
2 | 0 | Dvojrozměrné skupiny bodů | 10 | 31 | ||
1 | Vlysové skupiny | 7 | 31 | |||
2 | Skupiny tapet | 17 | 80 | |||
3 | 0 | Trojrozměrné skupiny bodů | 32 | 122 | ||
1 | Rodové skupiny | 75 | 394 | |||
2 | Skupiny vrstev | 80 | 528 | |||
3 | Trojrozměrné vesmírné skupiny | 230 | 1651 | |||
4 | 0 | Skupiny čtyřrozměrných bodů | 271 | 1202 | ||
1 | 343 | |||||
2 | 1091 | |||||
3 | 1594 | |||||
4 | Čtyřrozměrné diskrétní skupiny symetrie | 4894 | 62227 |
Tabulka skupin prostorů ve 2 rozměrech (skupiny tapet)
Tabulka skupiny tapet pomocí klasifikace 3-dimenzionálních prostorových skupin:
Krystalový systém (Bravaisova mříž) | Geometrická třída Skupina bodů | Aritmetický třída | Skupiny tapet (buňkový diagram) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schön. | Orbifold | Kormidelník. | Obj. | ||||||
Šikmý![]() | C1 | (1) | [ ]+ | 1 | Žádný | p1 (1) | ![]() | ||
C2 | (22) | [2]+ | 2 | Žádný | p2 (2222) | ![]() | |||
Obdélníkový (Na střed kosočtverec) ![]() | D1 | (*) | [ ] | 2 | Podél | odpoledne (**) | ![]() | str (××) | ![]() |
D2 | (*22) | [2] | 4 | Podél | pmm (*2222) | ![]() | pmg (22*) | ![]() | |
Kosočtverečný (Na střed obdélníkový) ![]() | D1 | (*) | [ ] | 2 | Mezi | cm (*×) | ![]() | ||
D2 | (*22) | [2] | 4 | Mezi | cmm (2*22) | ![]() | pgg (22×) | ![]() | |
Náměstí![]() | C4 | (44) | [4]+ | 4 | Žádný | p4 (442) | ![]() | ||
D4 | (*44) | [4] | 8 | Oba | p4m (*442) | ![]() | p4g (4*2) | ![]() | |
Šestihranný![]() | C3 | (33) | [3]+ | 3 | Žádný | p3 (333) | ![]() | ||
D3 | (*33) | [3] | 6 | Mezi | p3m1 (*333) | ![]() | 31 m (3*3) | ![]() | |
C6 | (66) | [6]+ | 6 | Žádný | p6 (632) | ![]() | |||
D6 | (*66) | [6] | 12 | Oba | p6m (*632) | ![]() |
Pro každou geometrickou třídu jsou možné aritmetické třídy
- Žádné: žádné reflexní čáry
- Podél: odrazové čáry podél mřížových směrů
- Mezi: odrazové čáry uprostřed mezi mřížovými směry
- Oba: odrazové čáry podél i mezi směry mřížky
Tabulka prostorových skupin ve 3 rozměrech
# | Krystalový systém (počet) Bravaisova mříž | Skupina bodů | Vesmírné skupiny (mezinárodní krátký symbol) | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Int'l | Schön. | Orbifold | Kormidelník. | Obj. | |||
1 | Triclinic (2) ![]() | 1 | C1 | 11 | [ ]+ | 1 | P1 |
2 | 1 | Ci | 1× | [2+,2+] | 2 | P1 | |
3–5 | Monoklinický (13) ![]() ![]() | 2 | C2 | 22 | [2]+ | 2 | P2, P21 C2 |
6–9 | m | Cs | *11 | [ ] | 2 | Pm, Pc Cm, Cc | |
10–15 | 2 / m | C2h | 2* | [2,2+] | 4 | P2 / m, P21/ m C2 / m, P2 / c, P21/C C2 / c | |
16–24 | Ortorombický (59) ![]() ![]() ![]() ![]() | 222 | D2 | 222 | [2,2]+ | 4 | P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121 |
25–46 | mm2 | C2v | *22 | [2] | 4 | Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2 Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2 Fmm2, Fdd2 Imm2, Iba2, Ima2 | |
47–74 | mmm | D2h | *222 | [2,2] | 8 | Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce Fmmm, Fddd Immm, Ibam, Ibca, Imma | |
75–80 | Tetragonální (68) ![]() ![]() | 4 | C4 | 44 | [4]+ | 4 | P4, P41, P42, P43, I4, I41 |
81–82 | 4 | S4 | 2× | [2+,4+] | 4 | P4, Já4 | |
83–88 | 4 / m | C4h | 4* | [2,4+] | 8 | P4 / m, P42/ m, P4 / n, P42/ n I4 / m, I41/A | |
89–98 | 422 | D4 | 224 | [2,4]+ | 8 | P422, P4212, P4122, str1212, P4222, str2212, P4322, str3212 I422, I4122 | |
99–110 | 4 mm | C4v | *44 | [4] | 8 | P4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42před naším letopočtem I4mm, I4cm, I41md, I41CD | |
111–122 | 42 m | D2d | 2*2 | [2+,4] | 8 | P42m, P42c, str421m, P421c, str4m2, str4c2, P4b2, P4n2 Já4m2, já4c2, já42m, já42d | |
123–142 | 4 / mmm | D4h | *224 | [2,4] | 16 | P4 / mmm, P4 / mcc, P4 / nbm, P4 / nnc, P4 / mbm, P4 / mnc, P4 / nmm, P4 / ncc, P42/ mmc, P42/ mcm, P42/ nbc, P42/ nnm, P42/ mbc, P42/ mnm, P42/ nmc, P42/ ncm I4 / mmm, I4 / mcm, I41/ AMD, I41/ akd | |
143–146 | Trigonální (25) ![]() ![]() | 3 | C3 | 33 | [3]+ | 3 | P3, P31, P32 R3 |
147–148 | 3 | S6 | 3× | [2+,6+] | 6 | P3, R.3 | |
149–155 | 32 | D3 | 223 | [2,3]+ | 6 | P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221 R32 | |
156–161 | 3 m | C3v | *33 | [3] | 6 | P3m1, P31m, P3c1, P31c R3m, R3c | |
162–167 | 3m | D3d | 2*3 | [2+,6] | 12 | P31m, P31c, str3ml, P3c1 R3m, R.3C | |
168–173 | Šestihranný (27) ![]() | 6 | C6 | 66 | [6]+ | 6 | P6, P61, P65, P62, P64, P63 |
174 | 6 | C3h | 3* | [2,3+] | 6 | P6 | |
175–176 | 6 / m | C6h | 6* | [2,6+] | 12 | P6 / m, P63/ m | |
177–182 | 622 | D6 | 226 | [2,6]+ | 12 | P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322 | |
183–186 | 6 mm | C6v | *66 | [6] | 12 | P6mm, P6cc, P63cm, P63mc | |
187–190 | 6m2 | D3h | *223 | [2,3] | 12 | P6m2, str6c2, P62m, P62c | |
191–194 | 6 / mmm | D6h | *226 | [2,6] | 24 | P6 / mmm, P6 / mcc, P63/ mcm, P63/ mmc | |
195–199 | Krychlový (36) ![]() ![]() ![]() | 23 | T | 332 | [3,3]+ | 12 | P23, F23, I23 P213, I213 |
200–206 | m3 | Th | 3*2 | [3+,4] | 24 | Odpoledne3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, IA3 | |
207–214 | 432 | Ó | 432 | [3,4]+ | 24 | P432, P4232 F432, F4132 1432 P4332, str132, 14132 | |
215–220 | 43 m | Td | *332 | [3,3] | 24 | P43m, F43m, já43 m P43n, F43c, já43d | |
221–230 | m3m | Óh | *432 | [3,4] | 48 | Odpoledne3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3C Im3m, já3d |
Poznámka: An E rovina je dvojitá klouzavá rovina, z nichž jedna má klouzání ve dvou různých směrech. Nacházejí se v sedmi ortorombických, pěti tetragonálních a pěti kubických prostorových skupinách, všechny se středovou mřížkou. Použití symbolu E se stal oficiálním s Hahn (2002).
Mřížový systém lze nalézt následovně. Pokud krystalový systém není trigonální, je mřížkový systém stejného typu. Pokud je krystalový systém trigonální, pak je mřížkový systém šestihranný, pokud vesmírná skupina není jednou ze sedmi v kosodélníkový mřížkový systém skládající se ze 7 skupin trigonálních prostorů v tabulce výše, jejichž název začíná písmenem R. (Termín rhomboedrický systém se také někdy používá jako alternativní název pro celý trigonální systém.) šestihranný mřížový systém je větší než hexagonální krystalový systém a skládá se z hexagonálního krystalového systému spolu s 18 skupinami trigonálního krystalového systému kromě sedmi, jejichž jména začínají písmenem R.
The Bravaisova mříž vesmírné skupiny je určeno mřížkovým systémem spolu s počátečním písmenem jejího názvu, které pro neromboedrické skupiny je P, I, F, A nebo C, což znamená hlavní, střed těla, střed obličeje, A- mřížky se středem tváře nebo C-tváře.
Odvození třídy krystalů od vesmírné skupiny
- Vynechejte typ Bravais
- Převést všechny prvky symetrie s translačními komponentami na jejich příslušné prvky symetrie bez transmetické symetrie (kluzné roviny jsou převedeny na jednoduché zrcadlové roviny; osy šroubů jsou převedeny na jednoduché osy otáčení)
- Osy rotace, osy rotace s převrácením a roviny zrcadlení zůstávají nezměněny.
Reference
- ^ Hiller, Howard (1986). „Krystalografie a kohomologie skupin“. Amer. Matematika. Měsíční. 93 (10): 765–779. doi:10.2307/2322930. JSTOR 2322930.
- ^ Fedorov, E. (1891). „Симметрія на плоскости“ [Simmetrija na ploskosti, Symetrie v rovině]. Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического Общества (Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva, Proceedings. 2. série (v ruštině). 28: 345–390.
- ^ Sohncke, Leonhard (1879). Die Entwicklung einer Theorie der Krystallstruktur [Vývoj teorie krystalové struktury] (v němčině). Lipsko, Německo: B.G. Teubner.
- ^ Fedorov, E. S. (1891). „Симметрія правильныхъ системъ фигуръ“ [Simmetriya pravil'nykh sistem figur, Symetrie pravidelných soustav obrazců]. Записки Императорского С.-Петербургского минералогического общества (Zapiski Imperatorskova Sankt Petersburgskova Mineralogicheskova Obshchestva, Proceedings. 2. série (v ruštině). 28: 1–146.
- Anglický překlad: Fedorov, E. S .; Harker, David a Katherine, trans. (1971). Symetrie krystalů, monografie Americké krystalografické asociace č. 7. Buffalo, New York, USA: Americká krystalografická asociace. str. 50–131.
- ^ Schönflies, Arthur M. (1891). Krystallsysteme und Krystallstruktur [Krystalové systémy a krystalová struktura] (v němčině). Lipsko, Německo: B.G. Teubner.
- ^ Fedorow, E. von (1892). „Zusammenstellung der kirstallographischen Resultate des Herrn Schoenflies und der meinigen“ [Kompilace krystalografických výsledků pana Schoenflies a mých]. Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie (v němčině). 20: 25–75.
- ^ http://cci.lbl.gov/sginfo/hall_symbols.html
- ^ „Strukturbericht - Wikimedia Commons“. commons.wikimedia.org.
- ^ PDF Krystalografické vesmírné skupiny v geometrické algebře, David Hestenes a Jeremy Holt
- ^ „Domovská stránka CARAT“. Citováno 11. května 2015.
- Barlow, W (1894), „Über die geometrischen Eigenschaften starrer Strukturen und ihre Anwendung auf Kristalle“ [O geometrických vlastnostech tuhých struktur a jejich aplikaci na krystaly], Zeitschrift für Kristallographie, 23: 1–63, doi:10.1524 / zkri.1894.23.1.1
- Bieberbach, Ludwig (1911), „Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume“ [O skupinách tuhé transformace v euklidovských prostorech], Mathematische Annalen, 70 (3): 297–336, doi:10.1007 / BF01564500, ISSN 0025-5831
- Bieberbach, Ludwig (1912), „Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich“ [Na skupinách tuhé transformace v euklidovských prostorech (druhý esej.) Skupiny s konečnou základní doménou], Mathematische Annalen, 72 (3): 400–412, doi:10.1007 / BF01456724, ISSN 0025-5831
- Brown, Harold; Bülow, Rolf; Neubüser, Joachim; Wondratschek, Hans; Zassenhaus, Hans (1978), Krystalografické skupiny čtyřrozměrného prostoru, New York: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9, PAN 0484179
- Burckhardt, Johann Jakob (1947), Die Bewegungsgruppen der Kristallographie [Skupiny Tuhé transformace v krystalografii], Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften (učebnice a monografie z oblasti exaktních věd), 13, Verlag Birkhäuser, Basilej, PAN 0020553
- Burckhardt, Johann Jakob (1967), „Zur Geschichte der Entdeckung der 230 Raumgruppen“ [O historii objevu 230 vesmírných skupin], Archiv pro historii přesných věd, 4 (3): 235–246, doi:10.1007 / BF00412962, ISSN 0003-9519, PAN 0220837
- Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H .; Thurston, William P. (2001), „Na trojrozměrných vesmírných skupinách“, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 42 (2): 475–507, ISSN 0138-4821, PAN 1865535
- Fedorov, E. S. (1891), „Симметрія правильныхъ системъ фигуръ“ [Simmetriya pravil'nykh sistem figur, Symetrie pravidelných soustav obrazců], Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического Общества (Zapiski Imperatorskova Sankt Petersburgskova Mineralogicheskova Obshchestva, Proceedings, 2. série, 28 (2): 1–146
- Fedorov, E. S. (1971), Symetrie krystalů, Monografie ACA, 7, Americká krystalografická asociace
- Hahn, Th. (2002), Hahn, Theo (ed.), International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symetry, Mezinárodní tabulky pro krystalografii, A (5. vydání), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1107/97809553602060000100, ISBN 978-0-7923-6590-7
- Hall, S.R. (1981), „Zápis vesmírné skupiny s výslovným původem“, Acta Crystallographica A, 37 (4): 517–525, Bibcode:1981 AcCrA..37..517H, doi:10.1107 / s0567739481001228
- Janssen, T.; Birman, J.L .; Dénoyer, F .; Koptsik, V.A .; Verger-Gaugry, J.L .; Weigel, D .; Yamamoto, A .; Abrahams, S.C .; Kopsky, V. (2002), "Zpráva podvýboru pro nomenklaturu n-Dimenzionální krystalografie. II. Symboly pro třídy aritmetického krystalu, třídy Bravais a vesmírné skupiny ", Acta Crystallographica A, 58 (Pt 6): 605–621, doi:10.1107 / S010876730201379X
- Kim, Shoon K. (1999), Skupinové teoretické metody a aplikace na molekuly a krystaly, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511534867, ISBN 978-0-521-64062-6, PAN 1713786
- Litvin, D.B. (Květen 2008), „Tabulky krystalografických vlastností skupin magnetického prostoru“, Acta Crystallographica A, 64 (Pt 3): 419–24, Bibcode:2008AcCrA..64..419L, doi:10.1107 / S010876730800768X, PMID 18421131
- Litvin, D.B. (Květen 2005), "Tabulky vlastností magnetických subperiodických skupin" (PDF), Acta Crystallographica A, 61 (Pt 3): 382–5, Bibcode:2005AcCrA..61..382L, doi:10.1107 / S010876730500406X, PMID 15846043
- Neubüser, J .; Souvignier, B .; Wondratschek, H. (2002), „Opravy krystalografických skupin čtyřrozměrného prostoru Brown a kol. (1978) [New York: Wiley and Sons]“, Acta Crystallographica A, 58 (Pt 3): 301, doi:10.1107 / S0108767302001368, PMID 11961294
- Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), „Krystalografické algoritmy a tabulky“, Acta Crystallographica A, 54 (Pt 5): 517–531, doi:10.1107 / S010876739701547X
- Palistrant, A. F. (2012), „Complete Scheme of Four-Dimensional Crystallographic Symetry Groups“, Zprávy o krystalografii, 57 (4): 471–477, Bibcode:2012CryRp..57..471P, doi:10.1134 / S1063774512040104
- Plesken, Wilhelm; Hanrath, W (1984), „Mřížky šestrozměrného prostoru“, Matematika. Comp., 43 (168): 573–587, doi:10.1090 / s0025-5718-1984-0758205-5
- Plesken, Wilhelm; Schulz, Tilman (2000), „Počítání krystalografických skupin v nízkých rozměrech“, Experimentální matematika, 9 (3): 407–411, doi:10.1080/10586458.2000.10504417, ISSN 1058-6458, PAN 1795312
- Schönflies, Arthur Moritz (1923), „Theorie der Kristallstruktur“ [Theory of Crystal Structure], Gebrüder Bornträger, Berlín.
- Souvignier, Bernd (2006), „Čtyřrozměrné magnetické skupiny bodů a prostorů“, Zeitschrift für Kristallographie, 221: 77–82, Bibcode:2006ZK .... 221 ... 77S, doi:10.1524 / zkri.2006.221.1.77
- Vinberg, E. (2001) [1994], „Krystalografická skupina“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Zassenhaus, Hans (1948), „Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen“ [Na algoritmu pro stanovení vesmírných skupin], Commentarii Mathematici Helvetici, 21: 117–141, doi:10.1007 / BF02568029, ISSN 0010-2571, PAN 0024424
- Souvignier, Bernd (2003), „Enantiomorfismus krystalografických skupin ve vyšších dimenzích s výsledky v dimenzích do 6“, Acta Crystallographica A, 59 (3): 210–220, doi:10.1107 / S0108767303004161
externí odkazy
- Mezinárodní unie krystalografie
- Skupiny bodů a mříže Bravais
- [1] Křišťálový server Bilbao
- Informace o vesmírné skupině (staré)
- Informace o vesmírné skupině (nové)
- Krystalová mřížková struktura: index podle vesmírné skupiny
- Úplný seznam 230 krystalografických vesmírných skupin
- Interaktivní 3D vizualizace všech 230 krystalografických skupin prostoru
- Huson, Daniel H. (1999), Fibrifoldova notace a klasifikace pro 3D vesmírné skupiny (PDF)
- Centrum geometrie: 2.1 Vzorce pro symetrie v kartézských souřadnicích (dvě dimenze)
- Centrum geometrie: 10.1 Vzorce pro symetrie v kartézských souřadnicích (tři rozměry)