Skupina (matematika) - Group (mathematics)

Manipulace s tím Rubikova kostka tvoří Rubikova kostka.

v matematika, a skupina je soubor vybaven a binární operace který kombinuje jakékoli dvě elementy vytvořit třetí prvek takovým způsobem, že čtyři podmínky se nazývají skupina axiomy jsou spokojeni, jmenovitě uzavření, asociativita, identita a invertibilita. Jedním z nejznámějších příkladů skupiny je sada celá čísla společně s přidání operace, ale skupiny se setkávají v mnoha oblastech uvnitř i vně matematiky a pomáhají zaměřit se na základní strukturální aspekty tím, že je oddělují od konkrétní povahy předmětu studie.^[1][2]

Skupiny sdílejí základní příbuznost s představou symetrie. Například a skupina symetrie kóduje symetrické rysy a geometrický objekt: skupina se skládá ze sady transformací, které ponechávají objekt beze změny, a operace kombinující dvě takové transformace prováděním jedné po druhé. Lež skupiny jsou skupiny symetrie používané v Standardní model z částicová fyzika; Poincaré skupiny, což jsou také Lieovy skupiny, mohou vyjadřovat základní fyzickou symetrii speciální relativita; a bodové skupiny slouží k pochopení jevy symetrie v molekulární chemii.

Koncept skupiny vznikl studiem polynomiální rovnice, začínání s Évariste Galois ve třicátých letech 19. století, který zavedl termín skupina (skupina, ve francouzštině) pro skupinu symetrie kořeny rovnice, nyní nazývané a Galoisova skupina. Po příspěvcích z jiných oborů jako např teorie čísel a geometrie, pojem skupiny byl zobecněn a pevně zaveden kolem roku 1870. Moderní teorie skupin - aktivní matematická disciplína - studuje skupiny samostatně.^[A] Aby matematici prozkoumali skupiny, vymysleli různé představy, jak rozdělit skupiny na menší, lépe srozumitelné části, jako např podskupiny, kvocientové skupiny a jednoduché skupiny. Vedle svých abstraktních vlastností studují teoretici skupin také různé způsoby konkrétního vyjádření skupiny, a to jak z hlediska teorie reprezentace (tj. prostřednictvím reprezentace skupiny ) a teorie výpočetních grup. Teorie byla vyvinuta pro konečné skupiny, které vyvrcholily klasifikace konečných jednoduchých skupin, dokončena v roce 2004.^[aa] Od poloviny 80. let teorie geometrických skupin, která studuje konečně generované skupiny jako geometrické objekty se stala aktivní oblastí v teorii skupin.

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

Definice a ilustrace

První příklad: celá čísla

Jednou z nejznámějších skupin je sada celá čísla ${displaystyle mathbb {Z}}$, který se skládá z čísel

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...,^[3] dohromady s přidání.

Následující vlastnosti přidávání celých čísel slouží jako model pro skupinové axiomy uvedené v níže uvedené definici.

• Pro libovolná dvě celá čísla A a b, součet A + b je také celé číslo. To znamená, že přidáním celých čísel se vždy získá celé číslo. Tato vlastnost je známá jako uzavření pod přidáním.
• Pro všechna celá čísla A, b a C, (A + b) + C = A + (b + C). Vyjádřeno slovy, přidání A na b nejprve a poté přidejte výsledek do C dává stejný konečný výsledek jako přidání A na součet b a C, vlastnost známá jako asociativita.
• Li A je tedy celé číslo 0 + A = A a A + 0 = A. Nula se nazývá prvek identity přidání, protože jeho přidání na libovolné celé číslo vrátí stejné celé číslo.
• Pro každé celé číslo A, existuje celé číslo b takhle A + b = 0 a b + A = 0. Celé číslo b se nazývá inverzní prvek celého čísla A a je označen -A.

Celá čísla spolu s operací + tvoří matematický objekt patřící do široké třídy sdílející podobné strukturální aspekty. Abychom tyto struktury vhodně chápali jako kolektivní, postupujte následovně definice je vyvinut.

Definice

Skupina je soubor, G, spolu s úkon ⋅ (nazývá se skupinové právo z G), který kombinuje jakékoli dvě elementy A a b k vytvoření dalšího prvku, označeného A ⋅ b nebo ab. Chcete-li se kvalifikovat jako skupina, sada a provoz, (G, ⋅), musí splňovat čtyři požadavky známé jako skupinové axiomy:^[5]

Uzavření

Pro všechny A, b v G, výsledek operace, A ⋅ b, je také v G.^[b]

Asociativita

Pro všechny A, b a C v G, (A ⋅ b) ⋅ C = A ⋅ (b ⋅ C).

Prvek identity

Existuje prvek E v G takové, že pro každý prvek A v G, rovnice E ⋅ A = A a A ⋅ E = A držet. Takový prvek je jedinečný (viz. níže ), a tak se o něm mluví the prvek identity.

Inverzní prvek

Pro každého A v G, existuje prvek b v G takhle A ⋅ b = E a b ⋅ A = E, kde E je prvek identity. Pro každého A, b je jedinečný a běžně se označuje A⁻¹ (nebo -A, pokud je operace označena „+“).

Výsledek skupinové operace může záviset na pořadí operandů. Jinými slovy, výsledek kombinujícího prvku A s prvkem b nemusí přinést stejný výsledek jako kombinující prvek b s prvkem A; rovnice

A ⋅ b = b ⋅ A

nemusí platit pro každé dva prvky A a b. Tato rovnice vždy platí ve skupině celých čísel, protože A + b = b + A pro libovolná dvě celá čísla (komutativita přidání). Skupiny, pro které je komutativní rovnice A ⋅ b = b ⋅ A jsou volána vždy chytání abelianské skupiny (na počest Niels Henrik Abel ). Skupina symetrie popsaná v následující části je příkladem skupiny, která není abelianská.

Prvek identity skupiny G je často psáno jako 1 nebo 1_G,^[6] zápis zděděný z multiplikativní identita. Pokud je skupina abelian, pak se může rozhodnout označit operaci skupiny znakem + a prvek identity číslem 0; v takovém případě se skupina nazývá aditivní skupina. Prvek identity lze také zapsat jako id.

Sada G se nazývá základní sada skupiny (G, ⋅). Často je podkladovou sadou skupiny G se používá jako zkrácený název skupiny (G, ⋅). Stejnými řádky se používají zkratkové výrazy, jako například „podmnožina skupiny G„nebo“ prvek skupiny G„se používají, když se ve skutečnosti rozumí“ podmnožina podkladové sady G skupiny (G, ⋅)„nebo“ prvek podkladové sady G skupiny (G, ⋅)Obvykle je z kontextu zřejmé, zda se symbol líbí G označuje skupinu nebo podkladovou sadu.

Alternativní (ale ekvivalentní) definicí je rozšířit strukturu skupiny tak, aby definovala skupinu jako sadu vybavenou třemi operacemi splňujícími stejné axiomy jako výše, přičemž část „existuje“ je odstraněna ve dvou posledních axiomech, přičemž tyto operace jsou skupinové právo, jak je uvedeno výše, což je a binární operace, inverzní operace, což je unární provoz a mapy A na ${displaystyle a ^ {- 1},}$a prvek identity, který je považován za a 0-letá operace.

Protože se tato formulace definice vyhýbá existenční kvantifikátory, je obecně výhodné pro práce se skupinami a pro počítačově podporované důkazy. Tato formulace vykazuje různé skupiny univerzální algebra. Je také užitečné pro mluvení o vlastnostech inverzní operace, jak je potřeba pro definování topologické skupiny a skupinové objekty.

Druhý příklad: skupina symetrie

Dvě postavy v rovině jsou shodný pokud lze jeden změnit na druhý pomocí kombinace rotace, odrazy, a překlady. Každá postava je shodná sama se sebou. Některá čísla jsou si však shodná více než jedním způsobem a tyto zvláštní kongruence se nazývají symetrie. Čtverec má osm symetrií. Tyto jsou:

Prvky skupiny symetrie čtverce (D₄). Vrcholy jsou označeny barvou nebo číslem.

id (udržet to tak, jak to je)	r1 (otočení o 90 ° ve směru hodinových ručiček)	r2 (otočení o 180 °)	r3 (otáčení o 270 ° ve směru hodinových ručiček)
Fproti (vertikální odraz)	Fh (horizontální odraz)	Fd (úhlopříčný odraz)	FC (proti diagonální odraz)

• the operace identity ponechání všeho beze změny, označené id;
• rotace čtverce kolem jeho středu o 90 °, 180 ° a 270 ° ve směru hodinových ručiček, označeno r₁, r₂ a r₃, v uvedeném pořadí;
• odrazy kolem vodorovné a svislé střední čáry (f_proti a f_h), nebo prostřednictvím těchto dvou úhlopříčky (F_d a f_C).

Tyto symetrie jsou funkce. Každý pošle bod ve čtverci do odpovídajícího bodu pod symetrií. Například r₁ vyšle bod k jeho rotaci o 90 ° ve směru hodinových ručiček kolem středu čtverce a f_h pošle bod k jeho odrazu přes vertikální střední čáru čtverce. Skládání dvě z těchto symetrií dává další symetrii. Tyto symetrie určují skupinu zvanou dihedrální skupina stupně 4, označeno D₄. Základní sada skupiny je výše uvedená sada symetrií a operace skupiny je složení funkce.^[7] Dvě symetrie jsou kombinovány tak, že je skládáme jako funkce, tj. Aplikujeme první na čtverec a druhou na výsledek první aplikace. Výsledek prvního provedení A a pak b je psáno symbolicky zprava doleva tak jako b ° A ("použít symetrii b po provedení symetrie A"). (Toto je obvyklá notace pro složení funkcí.)

The skupinový stůl na pravé straně jsou uvedeny výsledky všech možných takových skladeb. Například otáčení o 270 ° ve směru hodinových ručiček (r₃) a poté vodorovně odráží (f_h) je stejné jako provedení odrazu podél úhlopříčky (f_d). Pomocí výše uvedených symbolů zvýrazněných modře v tabulce skupin:

F_h ∘ r₃ = f_d.

Vzhledem k této sadě symetrií a popsané operaci lze skupinové axiomy pochopit takto:

Na rozdíl od skupiny celých čísel výše, kde je pořadí operace irelevantní, na tom v D záleží₄, jako například F_h ∘ r₁ = f_C ale r₁ ∘ f_h = f_d. Jinými slovy, D₄ není abelian, což činí strukturu skupiny obtížnější než celá čísla zavedená jako první.

Dějiny

Moderní koncept abstraktní skupiny se vyvinul z několika oblastí matematiky.^[8][9][10] Původní motivací pro teorii skupin bylo hledání řešení polynomiální rovnice stupně vyšší než 4. Francouzský matematik z 19. století Évariste Galois, rozšiřující předchozí práci Paolo Ruffini a Joseph-Louis Lagrange, dal kritérium pro řešitelnost konkrétní polynomiální rovnice z hlediska skupina symetrie jeho kořeny (řešení). Prvky takové a Galoisova skupina odpovídají určitým obměny kořenů. Zpočátku Galoisovy myšlenky jeho současníci odmítli a publikovali je až posmrtně.^[11][12] Obecnější permutační skupiny byly zkoumány zejména Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayley je Na teorii skupin, v závislosti na symbolické rovnici θⁿ = 1 (1854) uvádí první abstraktní definici a konečná skupina.^[13]

Geometrie byla druhým polem, ve kterém byly skupiny používány systematicky, zejména skupiny symetrie jako součást Felix Klein rok 1872 Program Erlangen.^[14] Po nových geometriích, jako je hyperbolický a projektivní geometrie se objevil, použil Klein teorii skupin, aby je uspořádal koherentnějším způsobem. Další prosazování těchto myšlenek, Sophus Lie založil studii o Lež skupiny v roce 1884.^[15]

Třetí pole přispívající k teorii skupin bylo teorie čísel. Určitý abelianská skupina struktury byly implicitně použity v Carl Friedrich Gauss „početně teoretická práce Disquisitiones Arithmeticae (1798) a konkrétněji Leopold Kronecker.^[16] V roce 1847 Ernst Kummer učinil první pokusy dokázat Fermatova poslední věta vývojem skupiny popisující faktorizaci do prvočísla.^[17]

Konvergence těchto různých zdrojů do jednotné teorie skupin začala Camille Jordan je Traité des substituce et des équations algébriques (1870).^[18] Walther von Dyck (1882) představil myšlenku specifikovat skupinu pomocí generátorů a vztahů a byl také prvním, kdo v dobové terminologii uvedl axiomatickou definici „abstraktní skupiny“.^[19] Jak 20. století, skupiny získaly široké uznání průkopnickou prací Ferdinand Georg Frobenius a William Burnside, který pracoval na teorie reprezentace konečných skupin, Richard Brauer je teorie modulární reprezentace a Issai Schur papíry.^[20] Teorie Lieových skupin a obecněji místně kompaktní skupiny byl studován uživatelem Hermann Weyl, Élie Cartan a mnoho dalších.^[21] Jeho algebraický protějšek, teorie algebraické skupiny, byl nejprve formován Claude Chevalley (od konce 30. let) a později prací Armand Borel a Jacques prsa.^[22]

The University of Chicago Rok 1960–61 Skupinová teorie přinesl dohromady teoretiky skupin, jako např Daniel Gorenstein, John G. Thompson a Walter Feit, položil základ spolupráce, která na základě příspěvku mnoha dalších matematiků vedla k klasifikace konečných jednoduchých skupin s posledním krokem Aschbacher a Smith v roce 2004. Tento projekt překonal dřívější matematické snahy svou velikostí, jak délkou důkazu, tak počtem výzkumníků. Probíhají výzkumy, které mají zjednodušit důkaz této klasifikace.^[23] V dnešní době je teorie skupin stále velmi aktivní matematickou oblastí, která ovlivňuje mnoho dalších oborů.^[A]

Elementární důsledky skupinových axiomů

Základní fakta o všech skupinách, která lze získat přímo ze skupinových axiomů, jsou obvykle zahrnuta pod teorie základních grup.^[24] Například, opakoval aplikace axiomu asociativity ukazují, že jednoznačnost

A ⋅ b ⋅ C = (A ⋅ b) ⋅ C = A ⋅ (b ⋅ C)

zobecňuje na více než tři faktory. Protože to znamená, že závorky lze vložit kdekoli v rámci takové řady výrazů, jsou závorky obvykle vynechány.^[25]

Axiomy mohou být oslabeny, aby se prosadila pouze existence a levá identita a levé inverze. Obojí lze ukázat jako skutečně oboustranné, takže výsledná definice je ekvivalentní té, která je uvedena výše.^[26]

Jedinečnost prvku identity a inverzí

Dva důležité důsledky skupinových axiomů jsou jedinečnost prvku identity a jedinečnost inverzních prvků. Ve skupině může být pouze jeden prvek identity a každý prvek ve skupině má přesně jeden inverzní prvek. Je tedy zvykem o tom mluvit the totožnost a the inverzní k prvku.^[27]

Dokázat jedinečnost inverzního prvku A, předpokládejme to A má dvě inverze, označené b a C, ve skupině (G, ⋅). Pak

b	=	b ⋅ E		tak jako E je prvek identity
	=	b ⋅ (A ⋅ C)		protože C je inverzní k A, tak E = A ⋅ C
	=	(b ⋅ A) ⋅ C		asociativitou, která umožňuje přeskupit závorky
	=	E ⋅ C		od té doby b je inverzní k A, tj., b ⋅ A = E
	=	C		pro E je prvek identity

Termín b na prvním řádku výše a C na poslední jsou stejné, protože jsou spojeny řetězcem rovností. Jinými slovy, existuje pouze jeden inverzní prvek A. Podobně předpokládejte, abyste dokázali, že prvek identity skupiny je jedinečný G je skupina se dvěma prvky identity E a F. Pak E = E ⋅ F = F, proto E a F jsou rovny.

Divize

Ve skupinách to naznačuje existence inverzních prvků divize je možné: dané prvky A a b skupiny G, existuje právě jedno řešení X v G do rovnice X ⋅ A = b, jmenovitě b ⋅ A⁻¹.^[27] Ve skutečnosti máme

(b ⋅ A⁻¹) ⋅ A = b ⋅ (A⁻¹ ⋅ A) = b ⋅ E = b.

Výsledkem jedinečnosti je znásobení obou stran rovnice X ⋅ A = b podle A⁻¹. Prvek b ⋅ A⁻¹, často označován b / A, se nazývá pravý kvocient z b podle A, nebo výsledek správné dělení z b podle A.

Podobně existuje právě jedno řešení y v G do rovnice A ⋅ y = b, jmenovitě y = A⁻¹ ⋅ b. Toto řešení je levý kvocient z b podle A, a je někdy označován A b.

Obecně b / A a A b se může lišit, ale pokud je skupinová operace komutativní (tj. pokud skupina je abelian ), jsou si rovni. V tomto případě je skupinová operace často označována jako přidání, a jeden mluví o odčítání a rozdíl místo dělení a kvocientu.

Důsledkem toho je násobení skupinovým prvkem G je bijekce. Konkrétně pokud G je prvkem skupiny G, funkce z G pro sebe, že mapy h ∈ G na G ⋅ h je bijekce. Tato funkce se nazývá levý překlad podle G . Podobně správný překlad podle G je bijekce z G pro sebe, že mapy h na h ⋅ G. Li G je abelian, levý a pravý překlad skupinovým prvkem jsou stejné.

Základní pojmy

Následující části používají matematické symboly jako X = {X, y, z} označit a soubor X obsahující elementy X, y, a z, nebo alternativně X ∈ X přepracovat to X je prvek X. Zápis F : X → Y prostředek F je funkce přiřazení ke každému prvku X prvek Y.

Abychom porozuměli skupinám nad úrovní pouhé symbolické manipulace, jak je uvedeno výše, je třeba použít více strukturálních konceptů.^[C] Existuje konceptuální princip, který je základem všech následujících pojmů: aby bylo možné využít strukturu nabízenou skupinami (která stanoví, že „strukturální“ nemá), musí být konstrukce související se skupinami kompatibilní se skupinovou operací. Tato kompatibilita se projevuje v následujících pojmech různými způsoby. Skupiny lze například navzájem propojovat pomocí funkcí zvaných skupinové homomorfismy. Podle uvedeného principu jsou povinni respektovat skupinové struktury v přesném smyslu. Strukturu skupin lze také pochopit jejich rozdělením na části zvané podskupiny a skupiny kvocientů. Princip „zachování struktur“ - opakující se téma v celé matematice - je příkladem práce v a kategorie, v tomto případě kategorie skupin.^[28]

Skupinové homomorfismy

Skupinové homomorfismy^[G] jsou funkce, které zachovávají strukturu skupiny. Funkce A: G → H mezi dvěma skupinami (G, ⋅) a (H, ∗) se nazývá a homomorfismus pokud rovnice

A(G ⋅ k) = A(G) ∗ A(k)

drží pro všechny prvky G, k v G. Jinými slovy, výsledek je stejný při provádění skupinové operace po nebo před aplikací mapy A. Tento požadavek to zajišťuje A(1_G) = 1_H, a také A(G)⁻¹ = A(G⁻¹) pro všechny G v G. Skupinový homomorfismus tedy respektuje celou strukturu G poskytované skupinovými axiomy.^[29]

Dvě skupiny G a H jsou nazývány izomorfní pokud existují skupinové homomorfismy A: G → H a b: H → G, takže použití těchto dvou funkcí jeden po druhém v každém ze dvou možných příkazů dává funkce identity z G a H. To znamená A(b(h)) = h a b(A(G)) = G pro všechny G v G a h v H. Z abstraktního hlediska nesou izomorfní skupiny stejné informace. Například to dokazovat G ⋅ G = 1_G pro nějaký prvek G z G je ekvivalent dokázat to A(G) ∗ A(G) = 1_H, protože přihlašování A na první rovnost přináší druhou, a použití b do druhého vrátí první.

Podskupiny

Neformálně, a podskupina je skupina H obsažené ve větším, G.^[30] Konkrétně jde o prvek identity G je obsažen v Ha kdykoli h₁ a h₂ jsou v H, pak také jsou h₁ ⋅ h₂ a h₁⁻¹, takže prvky H, vybavené skupinovým provozem dne G omezeno na H, skutečně tvoří skupinu.

Ve výše uvedeném příkladu tvoří identita a rotace podskupinu R = {id, r₁, r₂, r₃}, v tabulce skupin výše zvýrazněno červeně: jakékoli dvě složené rotace jsou stále rotací a rotaci lze vrátit zpět (tj. je inverzní) doplňkovými rotacemi 270 ° pro 90 °, 180 ° pro 180 ° a 90 ° pro 270 ° (všimněte si, že rotace v opačném směru není definována). The test podskupiny je nezbytný a dostatečný stav pro neprázdnou podmnožinu H skupiny G být podskupinou: to stačí zkontrolovat G⁻¹h ∈ H pro všechny prvky G, h ∈ H. Vědět podskupiny je důležité pro pochopení skupiny jako celku.^[d]

Vzhledem k jakékoli podmnožině S skupiny G, podskupina generovaná S sestává z produktů prvků S a jejich inverze. Je to nejmenší podskupina G obsahující S.^[31] V úvodním příkladu výše podskupina generovaná r₂ a f_proti se skládá z těchto dvou prvků, identifikačního prvku id a F_h = f_proti ⋅ r₂. Opět se jedná o podskupinu, protože kombinace jakýchkoli dvou z těchto čtyř prvků nebo jejich inverzí (což jsou v tomto konkrétním případě tyto stejné prvky) poskytuje prvek této podskupiny.

Kosety

V mnoha situacích je žádoucí považovat dva prvky skupiny za stejné, pokud se liší prvkem dané podskupiny. Například v D₄ výše, jakmile se provede odraz, čtverec se nikdy nevrátí k r₂ konfigurace pouhým použitím operací rotace (a žádné další odrazy), tj. operace rotace nejsou relevantní pro otázku, zda byl proveden odraz. K formování tohoto přehledu se používají kosety: podskupina H definuje levý a pravý koset, což lze považovat za překlady H libovolnými prvky skupiny G. Ze symbolického hlediska vlevo, odjet a že jo kosety z H obsahující G jsou

gH = {G ⋅ h : h ∈ H} a Hg = {h ⋅ G : h ∈ H}, resp.^[32]

Levé kosety jakékoli podskupiny H formulář a rozdělit z G; toto je svaz všech levých kosetů se rovná G a dva levé kosety jsou buď stejné, nebo mají prázdný průsečík.^[33] První případ G₁H = G₂H se děje přesně kdy G₁⁻¹ ⋅ G₂ ∈ H, tj. pokud se tyto dva prvky liší prvkem H. Podobné úvahy platí pro správné kosety z H. Levá a pravá koseta z H může nebo nemusí být stejný. Pokud jsou, tj. Pro všechny G v G, gH = Hg, pak H se říká, že je normální podskupina.

V D.₄, úvodní skupina symetrie, levé kosety GR podskupiny R skládající se z rotací jsou buď rovny R, pokud G je prvek R sám o sobě, nebo se jinak rovná U = f_CR = {f_C, f_proti, f_d, f_h} (zvýrazněno zeleně). Podskupina R je také normální, protože F_CR = U = RF_C a podobně pro jakýkoli prvek jiný než f_C. (Ve skutečnosti v případě D.₄, pozorujte, že všechny tyto kosety jsou stejné, takové F_hR = f_protiR = f_dR = f_CR.)

Kvocientové skupiny

V některých situacích může být sada kosetů podskupiny vybavena zákonem skupiny, který dává a kvocientová skupina nebo skupina faktorů. Aby to bylo možné, musí být podskupina normální. Vzhledem k jakékoli normální podskupině N, skupina kvocientu je definována

G / N = {gN, G ∈ G}, "G modulo N".^[34]

Tato sada zdědí operaci skupiny (někdy nazývanou coset multiplication nebo sčítání coset) z původní skupiny G: (gN) ⋅ (hN) = (gh)N pro všechny G a h v G. Tato definice je motivována myšlenkou (sama o sobě příkladem obecných strukturálních úvah nastíněných výše), že mapa G → G / N který se přidruží k jakémukoli prvku G jeho coset gN být skupinovým homomorfismem nebo obecně nazývanými abstraktními úvahami univerzální vlastnosti. Coset eN = N slouží jako identita v této skupině a inverzní k gN ve skupině kvocientů je (gN)⁻¹ = (G⁻¹)N.^[E]

Prvky skupiny kvocientů D₄ / R jsou R sám, který představuje identitu, a U = f_protiR. Skupinová operace na kvocientu je zobrazena vpravo. Například, U ⋅ U = f_protiR ⋅ f_protiR = (f_proti ⋅ f_proti)R = R. Obě podskupiny R = {id, r₁, r₂, r₃}, stejně jako odpovídající kvocient jsou abelianské, zatímco D₄ není abelian. Budování větších skupin menšími, jako je D₄ ze své podskupiny R a kvocient D₄ / R je abstrahován pojmem zvaným polopřímý produkt.

Skupiny kvocientů a podskupiny společně tvoří způsob, jak každou skupinu popsat prezentace: jakákoli skupina je kvocientem volná skupina přes generátory skupiny, kvocientem podskupiny vztahy. Dihedrální skupina D₄mohou být například generovány dvěma prvky r a F (například, r = r₁, správné otáčení a F = f_proti vertikální (nebo jakýkoli jiný) odraz), což znamená, že každá symetrie čtverce je konečným složením těchto dvou symetrií nebo jejich inverzí. Společně se vztahy

r ⁴ = F ² = (r ⋅ F)² = 1,^[35]

skupina je úplně popsána. Prezentaci skupiny lze také použít ke konstrukci Cayleyův graf, zařízení sloužící ke grafickému snímání diskrétní skupiny.

Skupiny dílčích a kvocientů jsou příbuzné následujícím způsobem: podmnožina H z G může být viděn jako injekční mapa H → G, tj. jakýkoli prvek cíle má nejvýše jeden prvek, který se k němu mapuje. Protějšek injektivních map je surjektivní mapy (je mapován každý prvek cíle), například kanonická mapa G → G / N.^[y] Interpretace podskupiny a kvocientů ve světle těchto homomorfismů zdůrazňuje strukturální koncept vlastní těmto definicím zmiňovaným v úvodu. Homomorfismy obecně nejsou injektivní ani surjektivní. Jádro a obraz skupinových homomorfismů a první věta o izomorfismu řešit tento jev.

Příklady a aplikace

Pravidelný vzor tapety vyvolává a skupina tapet.

Základní skupina roviny minus bod (tučně) se skládá ze smyček kolem chybějícího bodu. Tato skupina je izomorfní s celými čísly.

Existuje mnoho příkladů a aplikací skupin. Výchozím bodem je skupina Z celých čísel s přidáním jako skupinová operace, zavedené výše. Pokud místo přidání násobení se uvažuje, jeden získá multiplikativní skupiny. Tyto skupiny jsou předchůdci důležitých staveb v abstraktní algebra.

Skupiny se také používají v mnoha dalších matematických oblastech. Matematické objekty jsou často zkoumány pomocí sdružování skupiny k nim a studium vlastností příslušných skupin. Například, Henri Poincaré založil to, co se nyní nazývá algebraická topologie zavedením základní skupina.^[36] Prostřednictvím tohoto spojení topologické vlastnosti jako blízkost a kontinuita přeložit do vlastností skupin.^[i] Například prvky základní skupiny jsou reprezentovány smyčkami. Druhý obrázek vpravo ukazuje několik smyček v rovině minus bod. Je uvažována modrá smyčka nulová homotopie (a tedy irelevantní), protože to může být neustále se zmenšoval do bodu. Přítomnost otvoru brání tomu, aby se oranžová smyčka zmenšila do určité míry. Ukázalo se, že základní skupina roviny s odstraněným bodem je nekonečná cyklická, generovaná oranžovou smyčkou (nebo jakoukoli jinou smyčkou) navíjení jednou kolem otvoru). Tímto způsobem základní skupina detekuje díru.

V novějších aplikacích byl vliv také obrácen, aby motivoval geometrické konstrukce skupinově-teoretickým pozadím.^[j] V podobném duchu, teorie geometrických skupin zaměstnává geometrické pojmy, například při studiu hyperbolické skupiny.^[37] Mezi další odvětví, která zásadně uplatňují skupiny, patří algebraická geometrie a teorie čísel.^[38]

Kromě výše uvedených teoretických aplikací existuje mnoho praktických aplikací skupin. Kryptografie spoléhá na kombinaci přístupu abstraktní teorie skupin spolu s algoritmické znalosti získané v výpočetní grupová teorie, zejména pokud jsou implementovány pro konečné skupiny.^[39] Aplikace teorie skupin se neomezují pouze na matematiku; vědy jako fyzika, chemie a počítačová věda těžit z konceptu.

Čísla

Mnoho číselných systémů, jako jsou celá čísla a racionální, má přirozeně danou skupinovou strukturu. V některých případech, například s racionálními operacemi, operace sčítání a násobení vedou ke skupinovým strukturám. Takové číselné systémy jsou předchůdci obecnějších algebraických struktur známých jako prsteny a pole. Dále abstraktní algebraický pojmy jako moduly, vektorové prostory a algebry také tvoří skupiny.

Celá čísla

Skupina celých čísel ${displaystyle mathbb {Z}}$ pod doplněním, označeno ${displaystyle left (mathbb {Z}, + ight)}$, bylo popsáno výše. Celá čísla s operací násobení místo přidání ${displaystyle left (mathbb {Z}, cdot ight)}$ dělat ne vytvořit skupinu. Axiomy uzavření, asociativity a identity jsou splněny, ale inverze neexistují: například A = 2 je celé číslo, ale jediné řešení rovnice a · b = 1 v tomto případě je b = 1/2, což je racionální číslo, ale ne celé číslo. Proto ne každý prvek ${displaystyle mathbb {Z}}$ má (multiplikativní) inverzní.^[k]

Rationals

Touha po existenci multiplikativních inverzí naznačuje uvažování zlomky

${displaystyle {frac {a} {b}}.}$

Zlomky celých čísel (s b nenulové) jsou známé jako racionální čísla.^[l] Soubor všech takových neredukovatelných zlomků je běžně označován ${displaystyle mathbb {Q}}$. Stále existuje malá překážka ${displaystyle left (mathbb {Q}, cdot ight)}$, racionály s násobením, které jsou skupinou: protože racionální číslo 0 nemá multiplikativní inverzi (tj. neexistuje X takhle X · 0 = 1), ${displaystyle left (mathbb {Q}, cdot ight)}$ stále není skupina.

Soubor všech nenulové racionální čísla ${displaystyle mathbb {Q} setminus left {0ight} = vlevo {qin mathbb {Q} mid qeq 0ight}}$ tvoří multiplikační skupinu, obecně označovanou ${displaystyle mathbb {Q} ^ {*}}$.^[m] Axiomy elementů asociativity a identity vyplývají z vlastností celých čísel. Po odstranění nuly stále platí požadavek na uzavření, protože součin dvou nenulových racionálních hodnot není nikdy nula. Nakonec inverzní k A/b je b/A, proto je axiom inverzního prvku splněn.

Racionální čísla (včetně 0) také tvoří přidávanou skupinu. Intertwining operace sčítání a násobení přináší složitější struktury zvané prsteny a - pokud je možné rozdělení, například v ${displaystyle mathbb {Q}}$—pole, které zaujímají centrální polohu v abstraktní algebra. Skupinové teoretické argumenty jsou tedy základem částí teorie těchto entit.^[n]

Modulární aritmetika

Hodiny na hodinách tvoří skupinu, která používá přidání modulo 12. Zde 9 + 4 = 1.

v modulární aritmetika, přidají se dvě celá čísla a poté se součet vydělí kladným celým číslem zvaným modul. Výsledkem modulárního přidání je zbytek této divize. Pro jakýkoli modul n, množina celých čísel od 0 do n − 1 tvoří skupinu pod modulárním přidáním: inverzní k jakémukoli prvku A je n − Aa 0 je prvek identity. To je známé z přidání hodin na tváři a hodiny: pokud je hodinová ručička na 9 a je pokročilá o 4 hodiny, končí na 1, jak je znázorněno vpravo. To je vyjádřeno tím, že 9 + 4 se rovná 1 „modulo 12“ nebo v symbolech

9 + 4 ≡ 1 modulo 12.

Skupina celých čísel modulo n je psáno ${displaystyle mathbb {Z} _ {n}}$ nebo ${displaystyle mathbb {Z} / nmathbb {Z}}$.

Pro všechny prvočíslo p, existuje také multiplikativní skupina celých čísel modulo p.^[40] Jeho prvky jsou celá čísla od 1 do p − 1. Skupinová operace je multiplikační modulo p. To znamená, že obvyklý produkt je rozdělen na p a zbytek tohoto dělení je výsledkem modulárního násobení. Například pokud p = 5, existují čtyři skupinové prvky 1, 2, 3, 4. V této skupině 4 · 4 = 1, protože obvyklý produkt 16 je ekvivalentní 1, který vydělí 5, čímž získá zbytek 1. pro 5 dělení 16 − 1 = 15, označeno

16 ≡ 1 (mod 5).

Primalita p zajišťuje, že součin dvou celých čísel, z nichž ani jedno není dělitelné p není dělitelné p buď je tedy označená množina tříd uzavřena při násobení.^[Ó] Element identity je 1, jak je obvyklé pro multiplikativní skupinu, a asociativita vyplývá z odpovídající vlastnosti celých čísel. A konečně, inverzní prvek axiom vyžaduje, aby dané celé číslo A není dělitelný p, existuje celé číslo b takhle

A · b ≡ 1 (mod p), tj., p rozdělí rozdíl A · b − 1.

Inverzní b lze najít pomocí Bézoutova identita a skutečnost, že největší společný dělitel gcd (A, p) se rovná 1.^[41] V případě p = 5 nahoře, inverze 4 je 4 a inverze 3 je 2, jako 3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5). Proto jsou splněny všechny skupinové axiomy. Ve skutečnosti je tento příklad podobný ${displaystyle left (mathbb {Q} setminus left {0ight}, cdot ight)}$ výše: skládá se přesně z těchto prvků v ${displaystyle mathbb {Z} / pmathbb {Z}}$ které mají multiplikativní inverzi.^[42] Tyto skupiny jsou označeny F_p^×. Jsou pro to rozhodující kryptografie veřejného klíče.^[p]

Cyklické skupiny

6. komplex kořenů jednoty tvoří cyklickou skupinu. z je primitivní prvek, ale z² není, protože zvláštní síly z nejsou moc z².

A cyklická skupina je skupina, jejíž všechny prvky jsou pravomoci konkrétního prvku A.^[43] V multiplikativní notaci jsou prvky skupiny:

..., A⁻³, A⁻², A⁻¹, A⁰ = E, A, A², A³, ...,

kde A² prostředek A ⋅ A, a A⁻³ znamená A⁻¹ ⋅ A⁻¹ ⋅ A⁻¹ = (A ⋅ A ⋅ A)⁻¹ atd.^[h] Takový prvek A se nazývá generátor nebo primitivní prvek skupiny. V aditivní notaci je požadavek na primitivní prvek, aby každý prvek skupiny mohl být zapsán jako

..., −A−A, −A, 0, A, A+A, ...

Ve skupinách Z/nZ výše je prvek 1 primitivní, takže tyto skupiny jsou cyklické. Každý prvek je skutečně vyjádřitelný jako součet, jehož všechny členy jsou 1. Libovolná cyklická skupina s n prvků je pro tuto skupinu izomorfní. Druhým příkladem pro cyklické skupiny je skupina n-tý komplexní kořen jednoty, dána komplexní čísla z uspokojující zⁿ = 1. Tato čísla lze vizualizovat jako vrcholy na regulárním n-gon, jak je znázorněno modře vpravo pro n = 6. Skupinová operace je násobení komplexních čísel. Na obrázku se vynásobí z odpovídá a proti směru hodinových ručiček otáčení o 60 °.^[44] Pomocí některých teorie pole, skupina F_p^× lze zobrazit jako cyklické: například pokud p = 5, 3 je generátor od 3¹ = 3, 3² = 9 ≡ 4, 3³ ≡ 2, a 3⁴ ≡ 1.

Některé cyklické skupiny mají nekonečné množství prvků. V těchto skupinách pro každý nenulový prvek A, všechny pravomoci A jsou odlišné; i přes název „cyklická skupina“ se mocnosti prvků necyklují. Nekonečná cyklická skupina je izomorfní s (Z, +), výše přidaná skupina celých čísel.^[45] Jelikož tyto dva prototypy jsou oba abelianské, tak je tomu i v případě jakékoli cyklické skupiny.

Studium konečně generovaných abelianských skupin je docela vyspělé, včetně základní věta o konečně generovaných abelianských skupinách; a odrážející tento stav věcí, mnoho pojmů souvisejících se skupinou, jako je centrum a komutátor, popište, do jaké míry není daná skupina abelianská.^[46]

Skupiny symetrie

Skupiny symetrie jsou skupiny skládající se z symetrie daných matematických objektů - ať už geometrické povahy, jako je úvodní skupina symetrie čtverce, nebo algebraické povahy, například polynomiální rovnice a jejich řešení.^[47] Koncepčně lze teorii skupin považovat za studium symetrie.^[t] Symetrie v matematice výrazně zjednodušit studium geometrický nebo analytické objekty. Říká se, že skupina akt na jiném matematickém objektu X pokud každý prvek skupiny může být spojen s nějakou operací na X a složení těchto operací se řídí zákonem o skupině. V níže uvedeném příkladu zcela vpravo prvek pořadí 7 prvku (2,3,7) trojúhelníková skupina působí na obklady permutací zvýrazněných pokřivených trojúhelníků (a také ostatních). Skupinovou akcí je vzor skupiny spojen se strukturou objektu, na který se jedná.

Rotace a odrazy tvoří skupinu symetrie a velký dvacetistěn.

V chemických polích, jako je krystalografie, vesmírné skupiny a bodové skupiny popsat molekulární symetrie a krystalové symetrie. Tyto symetrie jsou základem chemického a fyzikálního chování těchto systémů a teorie skupin umožňuje zjednodušení kvantově mechanické analýza těchto vlastností.^[48] Například teorie skupin se používá k prokázání, že optické přechody mezi určitými kvantovými úrovněmi nemohou nastat jednoduše kvůli symetrii zúčastněných stavů.

Skupiny jsou užitečné nejen k posouzení důsledků symetrie v molekulách, ale překvapivě také předpovídají, že molekuly někdy mohou změnit symetrii. The Jahn-Tellerův efekt je zkreslení molekuly vysoké symetrie, když přijme konkrétní základní stav nižší symetrie ze sady možných základních stavů, které spolu souvisejí operacemi symetrie molekuly.^[49][50]

Podobně teorie skupin pomáhá předvídat změny fyzikálních vlastností, ke kterým dochází, když materiál prochází a fázový přechod například z krychlové do čtyřboké krystalické formy. Příkladem je feroelektrický materiály, kde ke změně z paraelektrického na feroelektrický stav dochází na Curieova teplota a souvisí se změnou z vysoce symetrického paraelektrického stavu do feroelektrického stavu s nižší symetrií, doprovázenou tzv. měkkým telefon mode, a vibrational lattice mode that goes to zero frequency at the transition.^[51]

Takový spontánní narušení symetrie has found further application in elementary particle physics, where its occurrence is related to the appearance of Goldstone bosons.

Buckminsterfullerene displeje ikosahedrální symetrie, though the double bonds reduce this to pyritohedrální symetrie.	Amoniak, NH3. Its symmetry group is of order 6, generated by a 120° rotation and a reflection.	Kubánský C8H8 funkce oktaedrická symetrie.	Hexaaquacopper(II) komplexní ion, [Cu(Ó H2)6]2+. Compared to a perfectly symmetrical shape, the molecule is vertically dilated by about 22% (Jahn-Teller effect).	The (2,3,7) triangle group, a hyperbolic group, acts on this obklady z hyperbolický letadlo.

Finite symmetry groups such as the Mathieu groups jsou používány v teorie kódování, which is in turn applied in oprava chyb of transmitted data, and in CD přehrávače.^[52] Another application is differential Galois theory, which characterizes functions having antiderivativa of a prescribed form, giving group-theoretic criteria for when solutions of certain diferenciální rovnice are well-behaved.^[u] Geometric properties that remain stable under group actions are investigated in (geometric) invariant theory.^[53]

General linear group and representation theory

Dva vektory (the left illustration) multiplied by matrices (the middle and right illustrations). The middle illustration represents a clockwise rotation by 90°, while the right-most one stretches the X-coordinate by factor 2.

Matrix groups skládá se z matice dohromady s násobení matic. The obecná lineární skupina GL (n, R) skládá se ze všeho invertibilní n-podle-n matrices with nemovitý záznamů.^[54] Its subgroups are referred to as matrix groups nebo lineární skupiny. The dihedral group example mentioned above can be viewed as a (very small) matrix group. Another important matrix group is the speciální ortogonální skupina TAK(n). It describes all possible rotations in n rozměry. Přes Eulerovy úhly, rotation matrices jsou používány v počítačová grafika.^[55]

Teorie reprezentace is both an application of the group concept and important for a deeper understanding of groups.^[56][57] It studies the group by its skupinové akce on other spaces. A broad class of skupinové reprezentace are linear representations, i.e., the group is acting on a vektorový prostor, such as the three-dimensional Euklidovský prostor R³. Reprezentace G na n-dimenzionální real vector space is simply a group homomorphism

ρ: G → GL(n, R)

from the group to the general linear group. This way, the group operation, which may be abstractly given, translates to the multiplication of matrices making it accessible to explicit computations.^[w]

Given a group action, this gives further means to study the object being acted on.^[X] On the other hand, it also yields information about the group. Group representations are an organizing principle in the theory of finite groups, Lie groups, algebraické skupiny a topologické skupiny, especially (locally) compact groups.^[56][58]

Galoisovy skupiny

Galoisovy skupiny were developed to help solve polynomiální rovnice by capturing their symmetry features.^[59][60] For example, the solutions of the kvadratická rovnice sekera² + bx + C = 0 jsou dány

${displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Exchanging "+" and "−" in the expression, i.e., permuting the two solutions of the equation can be viewed as a (very simple) group operation. Similar formulae are known for krychlový a kvartické rovnice, but do ne exist in general for degree 5 and higher.^[61] Abstract properties of Galois groups associated with polynomials (in particular their solvability ) give a criterion for polynomials that have all their solutions expressible by radicals, i.e., solutions expressible using solely addition, multiplication, and kořeny similar to the formula above.^[62]

The problem can be dealt with by shifting to teorie pole and considering the rozdělení pole of a polynomial. Moderní Galoisova teorie generalizes the above type of Galois groups to rozšíření pole and establishes—via the základní věta o Galoisově teorii —a precise relationship between fields and groups, underlining once again the ubiquity of groups in mathematics.

Konečné skupiny

A group is called konečný pokud má finite number of elements. The number of elements is called the objednat skupiny.^[63] An important class is the symmetric groups S_N, the groups of obměny z N písmena. For example, the symmetric group on 3 letters S₃ is the group consisting of all possible orderings of the three letters ABC, i.e., contains the elements ABC, ACB, BAC, BCA, KABINA, CBA, in total 6 (faktoriál of 3) elements. This class is fundamental insofar as any finite group can be expressed as a subgroup of a symmetric group S_N for a suitable integer N, podle Cayleyho věta. Parallel to the group of symmetries of the square above, S₃ can also be interpreted as the group of symmetries of an rovnostranný trojúhelník.

The order of an element A in a group G is the least positive integer n takhle Aⁿ = E, kde Aⁿ představuje

${displaystyle underbrace {acdots a} _{n{ ext{ factors}}},}$

i.e., application of the operation ⋅ to n kopie A. (If ⋅ represents multiplication, then Aⁿ odpovídá nth power of A.) In infinite groups, such an n may not exist, in which case the order of A is said to be infinity. The order of an element equals the order of the cyclic subgroup generated by this element.

More sophisticated counting techniques, for example counting cosets, yield more precise statements about finite groups: Lagrange's Theorem states that for a finite group G the order of any finite subgroup H rozděluje the order of G. The Sylowovy věty give a partial converse.

The dihedrální skupina (discussed above) is a finite group of order 8. The order of r₁ is 4, as is the order of the subgroup R it generates (see above). The order of the reflection elements f_proti etc. is 2. Both orders divide 8, as predicted by Lagrange's theorem. Skupiny F_p^× above have order p − 1.

Klasifikace konečných jednoduchých skupin

Mathematicians often strive for a complete klasifikace (or list) of a mathematical notion. In the context of finite groups, this aim leads to difficult mathematics. According to Lagrange's theorem, finite groups of order p, a prime number, are necessarily cyclic (abelian) groups Z_p. Groups of order p² can also be shown to be abelian, a statement which does not generalize to order p³, as the non-abelian group D₄ of order 8 = 2³ above shows.^[64] Počítačové algebraické systémy lze zvyknout list small groups, but there is no classification of all finite groups.^[q] An intermediate step is the classification of finite simple groups.^[r] A nontrivial group is called jednoduchý if its only normal subgroups are the triviální skupina and the group itself.^[s] The Jordan–Hölder theorem exhibits finite simple groups as the building blocks for all finite groups.^[65] Listing all finite simple groups was a major achievement in contemporary group theory. 1998 Fields Medal vítěz Richard Borcherds succeeded in proving the monstrózní měsíční svit conjectures, a surprising and deep relation between the largest finite simple sporadic group —the "skupina příšer "—and certain modulární funkce, a piece of classical komplexní analýza, a teorie strun, a theory supposed to unify the description of many physical phenomena.^[66]

Groups with additional structure

Many groups are simultaneously groups and examples of other mathematical structures. V jazyce teorie kategorií, oni jsou skupinové objekty v kategorie, meaning that they are objects (that is, examples of another mathematical structure) which come with transformations (called morfismy ) that mimic the group axioms. For example, every group (as defined above) is also a set, so a group is a group object in the kategorie sad.

Topologické skupiny

The jednotkový kruh v složité letadlo under complex multiplication is a Lie group and, therefore, a topological group. It is topological since complex multiplication and division are continuous. It is a manifold and thus a Lie group, because every small piece, such as the red arc in the figure, looks like a part of the skutečná linie (shown at the bottom).

Nějaký topologické prostory may be endowed with a group law. In order for the group law and the topology to interweave well, the group operations must be spojité funkce, to znamená, G ⋅ h, a G⁻¹ must not vary wildly if G a h vary only little. Such groups are called topological groups, and they are the group objects in the kategorie topologických prostorů.^[67] The most basic examples are the realita R under addition, (R ∖ {0}, ·), and similarly with any other topological field tak jako komplexní čísla nebo p-adická čísla. All of these groups are místně kompaktní, so they have Haar measures and can be studied via harmonická analýza. The former offer an abstract formalism of invariant integrály. Invariance means, in the case of real numbers for example:

${displaystyle int _{mathbb {R} }f(x),dx=int _{mathbb {R} }f(x+c),dx}$

for any constant C. Matrix groups over these fields fall under this regime, as do adele rings a adelic algebraic groups, which are basic to number theory.^[68] Galois groups of infinite field extensions such as the absolutní skupina Galois can also be equipped with a topology, the so-called Krullova topologie, which in turn is central to generalize the above sketched connection of fields and groups to infinite field extensions.^[69] An advanced generalization of this idea, adapted to the needs of algebraická geometrie, je étale fundamental group.^[70]

Lež skupiny

Lež skupiny (in honor of Sophus Lie ) are groups which also have a potrubí structure, i.e., they are spaces looking locally like nějaký Euklidovský prostor of the appropriate dimenze.^[71] Again, the additional structure, here the manifold structure, has to be compatible, i.e., the maps corresponding to multiplication and the inverse have to be hladký.

A standard example is the general linear group introduced above: it is an otevřená podmnožina of the space of all n-podle-n matrices, because it is given by the inequality

det (A) ≠ 0,

kde A denotes an n-podle-n matice.^[72]

Lie groups are of fundamental importance in modern physics: Noetherova věta links continuous symmetries to conserved quantities.^[73] Otáčení, stejně jako překlady v prostor a čas are basic symmetries of the laws of mechanika. They can, for instance, be used to construct simple models—imposing, say, axial symmetry on a situation will typically lead to significant simplification in the equations one needs to solve to provide a physical description.^[proti] Dalším příkladem jsou Lorentzovy transformace, which relate measurements of time and velocity of two observers in motion relative to each other. They can be deduced in a purely group-theoretical way, by expressing the transformations as a rotational symmetry of Minkowského prostor. The latter serves—in the absence of significant gravitace —as a model of vesmírný čas v speciální relativita.^[74] The full symmetry group of Minkowski space, i.e., including translations, is known as the Poincaré skupina. By the above, it plays a pivotal role in special relativity and, by implication, for quantum field theories.^[75] Symmetries that vary with location are central to the modern description of physical interactions with the help of teorie měřidel.^[76]

Zobecnění

v abstraktní algebra, more general structures are defined by relaxing some of the axioms defining a group.^[28][77][78] For example, if the requirement that every element has an inverse is eliminated, the resulting algebraic structure is called a monoidní. The přirozená čísla N (including 0) under addition form a monoid, as do the nonzero integers under multiplication (Z ∖ {0}, ·), see above. There is a general method to formally add inverses to elements to any (abelian) monoid, much the same way as (Q ∖ {0}, ·) je odvozen z (Z ∖ {0}, ·), známý jako Grothendieck group.Groupoids are similar to groups except that the composition A ⋅ b need not be defined for all A a b. They arise in the study of more complicated forms of symmetry, often in topologické a analytické structures, such as the základní grupoid nebo hromádky. Finally, it is possible to generalize any of these concepts by replacing the binary operation with an arbitrary n-ary one (i.e., an operation taking n arguments). With the proper generalization of the group axioms this gives rise to an n-ary group.^[79] The table gives a list of several structures generalizing groups.

Viz také

• Seznam témat teorie skupin

Poznámky

Citace

Reference

Obecné odkazy

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN  978-0-89871-510-1Kapitola 2 obsahuje výklad pojmů pojednávaných v tomto článku na vysokoškolské úrovni.
• Devlin, Keith (2000), Jazyk matematiky: Zviditelnění neviditelnéhoKnihy sov, ISBN  978-0-8050-7254-9Kapitola 5 poskytuje laikům dostupné vysvětlení skupin.
• Hall, G. G. (1967), Aplikovaná teorie grup, American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, PAN  0219593, základní úvod.
• Herstein, Izrael Nathan (1996), Abstraktní algebra (3. vyd.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN  978-0-13-374562-7, PAN  1375019.
• Herstein, Israel Nathan (1975), Témata v algebře (2. vyd.), Lexington, Massachusetts: Xerox College Publishing, PAN  0356988.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, PAN  1878556
• Lang, Serge (2005), Vysokoškolská algebra (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-22025-3.
• Ledermann, Walter (1953), Úvod do teorie konečných grup, Oliver a Boyd, Edinburgh a Londýn, PAN  0054593.
• Ledermann, Walter (1973), Úvod do teorie grup, New York: Barnes and Noble, OCLC  795613.
• Robinson, Derek John Scott (1996), Kurz teorie skupin, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94461-6.

Speciální reference

• Artin, Emil (1998), Galoisova teorie, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-62342-9.
• Aschbacher, Michael (2004), „Stav klasifikace konečných jednoduchých skupin“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 51 (7): 736–740.
• Becchi, C. (1997), Úvod do teorií měřidel, str. 5211, arXiv:hep-ph / 9705211, Bibcode:1997hep.ph .... 5211B.
• Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E. A. (2001), „Skupiny objednávky maximálně 2000“, Oznámení elektronického výzkumu Americké matematické společnosti, 7: 1–4, doi:10.1090 / S1079-6762-01-00087-7, PAN  1826989.
• Bishop, David H. L. (1993), Skupinová teorie a chemie, New York: Publikace Dover, ISBN  978-0-486-67355-4.
• Borel, Armand (1991), Lineární algebraické skupiny, Postgraduální texty z matematiky, 126 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97370-8, PAN  1102012.
• Carter, Roger W. (1989), Jednoduché skupiny typu Lie, New York: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-50683-6.
• Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H .; Thurston, William P. (2001), „O trojrozměrných vesmírných skupinách“, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 42 (2): 475–507, arXiv:math.MG/9911185, PAN  1865535.
• Coornaert, M .; Delzant, T .; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes [Geometry and Group Theory], Přednášky z matematiky (ve francouzštině), 1441, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-52977-4, PAN  1075994.
• Denecke, Klaus; Wismath, Shelly L. (2002), Univerzální algebra a aplikace v teoretické informatice, Londýn: CRC Press, ISBN  978-1-58488-254-1.
• Dudek, W.A. (2001), „On some old problems in n-ary groups“, Kvazigroup a související systémy, 8: 15–36.
• Frucht, R. (1939), „Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Konstrukce grafů s předepsanou skupinou]“, Compositio Mathematica (v němčině), 6: 239–50, archivovány od originál dne 01.12.2008.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Teorie reprezentace. První kurz, Postgraduální texty z matematiky Čtení z matematiky, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97495-8, PAN  1153249
• Goldstein, Herbert (1980), Klasická mechanika (2. vyd.), Reading, MA: Addison-Wesley Publishing, str. 588–596, ISBN  0-201-02918-9.
• Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-79540-1.
• Husain, Taqdir (1966), Úvod do topologických skupin, Filadelfie: W.B. Saunders Company, ISBN  978-0-89874-193-3
• Jahn, H.; Teller, E. (1937), "Stabilita polyatomových molekul v degenerovaných elektronických stavech. I. Orbitální degenerace", Sborník královské společnosti A, 161 (905): 220–235, Bibcode:1937RSPSA.161..220J, doi:10.1098 / rspa.1937.0142.
• Kuipers, Jack B. (1999), Kvaterniony a rotační sekvence - základ s aplikacemi na oběžné dráhy, letectví a virtuální realitu, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-05872-6, PAN  1670862.
• Kuga, Michio (1993), Galoisův sen: teorie grup a diferenciální rovnice, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN  978-0-8176-3688-3, PAN  1199112.
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), Teorie konečných grupUniversitext, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-40510-0, PAN  2014408.
• Lay, David (2003), Lineární algebra a její aplikace, Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-70970-4.
• Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie pro Working Mathematician (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98403-2.
• Michler, Gerhard (2006), Teorie konečných jednoduchých skupin, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-86625-5.
• Milne, James S. (1980), Étale cohomology, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08238-7
• Mumford, David; Fogarty, J .; Kirwan, F. (1994), Geometrická invariantní teorie, 34 (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-56963-3, PAN  1304906.
• Naber, Gregory L. (2003), Geometrie Minkowského časoprostoru, New York: Publikace Dover, ISBN  978-0-486-43235-9, PAN  2044239.
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraická teorie čísel, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-65399-8, PAN  1697859, Zbl  0956.11021
• Romanowska, A.B .; Smith, J.D.H. (2002), Režimy, World Scientific, ISBN  978-981-02-4942-7.
• Ronan, Mark (2007), Symetrie a monstrum: Příběh jednoho z největších úkolů matematiky, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-280723-6.
• Rosen, Kenneth H. (2000), Základní teorie čísel a její aplikace (4. vydání), Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-87073-2, PAN  1739433.
• Rudin, Walter (1990), Fourierova analýza na skupinách, Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN  0-471-52364-X.
• Seress, Ákos (1997), „Úvod do teorie výpočetních grup“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 44 (6): 671–679, PAN  1452069.
• Serre, Jean-Pierre (1977), Lineární reprezentace konečných grup, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90190-9, PAN  0450380.
• Shatz, Stephen S. (1972), Nekonečné skupiny, aritmetika a geometrie, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08017-8, PAN  0347778
• Suzuki, Michio (1951), „Na mřížce podskupin konečných skupin“, Transakce Americké matematické společnosti, 70 (2): 345–371, doi:10.2307/1990375, JSTOR  1990375.
• Warner, Frank (1983), Základy diferencovatelných potrubí a ležových skupin, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90894-6.
• Weinberg, Steven (1972), Gravitace a kosmologie, New York: John Wiley & Sons, ISBN  0-471-92567-5.
• Welsh, Dominic (1989), Kódy a kryptografieOxford: Clarendon Press, ISBN  978-0-19-853287-3.
• Weyl, Hermann (1952), Symetrie, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-02374-8.

Historické odkazy

• Borel, Armand (2001), Eseje v dějinách lžových skupin a algebraických skupin„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0288-5
• Cayley, Arthur (1889), Shromážděné matematické práce Arthura Cayleyho, II (1851–1860), Cambridge University Press.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Vývoj teorie grup“, MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.
• Curtis, Charles W. (2003), Průkopníci teorie reprezentace: Frobenius, Burnside, Schur a Brauer, History of Mathematics, Providence, R.I .: American Mathematical Society, ISBN  978-0-8218-2677-5.
• von Dyck, Walther (1882), „Gruppentheoretische Studien (Skupinová teoretická studia)“, Mathematische Annalen (v němčině), 20 (1): 1–44, doi:10.1007 / BF01443322, S2CID  179178038, archivovány z originál dne 22.02.2014.
• Galois, Évariste (1908), Tannery, Jules (ed.), Manuscrits de Évariste Galois [rukopisy Évariste Galois '] (ve francouzštině), Paříž: Gauthier-Villars (Galoisovo dílo poprvé vydalo Joseph Liouville v roce 1843).
• Jordan, Camille (1870), Traité des substituce et des équations algébriques [Studium substitucí a algebraických rovnic] (ve francouzštině), Paříž: Gauthier-Villars.
• Kleiner, Izrael (1986), „The Evolution of Group Theory: A Brief Survey“, Matematický časopis, 59 (4): 195–215, doi:10.2307/2690312, JSTOR  2690312, PAN  0863090.
• Lež, Sophusi (1973), Gesammelte Abhandlungen. Pásmo 1 [Shromážděné papíry. Hlasitost 1] (v němčině), New York: Johnson Reprint Corp., PAN  0392459.
• Mackey, George Whitelaw (1976), Teorie reprezentací unitárních skupin, University of Chicago Press, PAN  0396826
• Smith, David Eugene (1906), Dějiny moderní matematiky, Mathematical Monographs, No. 1.
• Wussing, Hans (2007), Genesis konceptu abstraktní skupiny: Příspěvek k historii vzniku teorie abstraktní skupiny, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-45868-7.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Skupina". MathWorld.
• Skupina (matematika) na Encyklopedie Britannica