Parita (matematika) - Parity (mathematics)

Pro další použití viz Parita (disambiguation).
„Liché číslo“ se přeadresuje tady. K argentinskému filmu z roku 1962 viz Zvláštní číslo (film).
Pruty Cuisenaire: 5 (žlutá) nemůže být rovnoměrně rozdělen na 2 (červená) libovolnými 2 pruty stejné barvy / délky, zatímco 6 (tmavě zelená) umět být rovnoměrně rozdělen na 2 x 3 (světle zelená).

v matematika, parita je majetkem společnosti celé číslo zda je dokonce nebo zvláštní. Parita celého čísla je, i když je dělitelný o dva bez zbývajících zbytků a jeho parita je lichá, pokud je jeho zbytek 1.[1] Například -4, 0, 82 a 178 jsou dokonce i proto, že neexistuje zbytek když jej vydělíte 2. Naproti tomu -3, 5, 7, 21 jsou lichá čísla, protože po dělení 2 zanechávají zbytek 1.

Sudá a lichá čísla mají opačné parity, např. 22 (sudé číslo) a 13 (liché číslo) mají opačné parity. Zejména, parita nuly je sudá.[2]

Formální definice sudého čísla spočívá v tom, že se jedná o celé číslo tvaru n = 2k, kde k je celé číslo;[3] pak lze ukázat, že liché číslo je celé číslo formuláře n = 2k + 1 (nebo střídavě 2k - 1). Je důležité si uvědomit, že výše uvedená definice parity se vztahuje pouze na celočíselná čísla, a proto ji nelze použít na čísla jako 1/2 nebo 4,201. V části „Vyšší matematika“ níže naleznete některá rozšíření pojmu parita na větší třídu „čísel“ nebo další obecnější nastavení.

The sady sudých a lichých čísel lze definovat takto:[4]

  • Dokonce 
  • Zvláštní 

Číslo (tj. Celé číslo) vyjádřené v desetinný číselná soustava je sudý nebo lichý podle toho, zda je jeho poslední číslice sudá nebo lichá. To znamená, že pokud je poslední číslice 1, 3, 5, 7 nebo 9, pak je lichá; jinak je to dokonce. Stejná myšlenka bude fungovat s jakoukoli sudou základnou. Zejména číslo vyjádřené v binární číselná soustava je liché, pokud je jeho poslední číslice 1; je sudé, je-li jeho poslední číslice 0. V liché základně je číslo sudé podle součtu jejích číslic - je sudé, právě když je součet jejích číslic sudý.[5]

Aritmetika na sudých a lichých číslech

Pomocí zákonů lze ověřit následující zákony dělitelnost. Jedná se o zvláštní případ pravidel v modulární aritmetika, a běžně se používají ke kontrole, zda je pravděpodobné, že bude rovnost správná, testováním parity každé strany. Stejně jako u běžné aritmetiky, násobení a sčítání jsou komutativní a asociativní v modulo 2 aritmetice a násobení je distribuční přes sčítání. Odečtení v modulo 2 je však totožné s přidáním, takže odčítání má také tyto vlastnosti, což neplatí pro normální celočíselnou aritmetiku.

Sčítání a odčítání

  • sudý ± sudý = sudý;[1]
  • sudý ± lichý = lichý;[1]
  • lichý ± lichý = sudý;[1]

Násobení

  • sudý × sudý = sudý;[1]
  • sudý × lichý = sudý;[1]
  • lichý × lichý = lichý;[1]

Struktura ({sudý, lichý}, +, ×) je ve skutečnosti a pole pouze se dvěma prvky.

Divize

Rozdělení dvou celých čísel nemusí nutně vést k celému číslu. Například 1 děleno 4 se rovná 1/4, což není ani pár ani liché, protože pojmy sudé a liché platí pouze pro celá čísla. Ale když kvocient je celé číslo, bude sudé kdyby a jen kdyby the dividenda má více faktory dvou než dělitel.[6]

Dějiny

Staří Řekové považovali 1, monad, aby nebyl ani zcela lichý, ani úplně rovnoměrný.[7] Některé z těchto nálad přežily až do 19. století: Friedrich Wilhelm August Fröbel rok 1826 Výchova člověka instruuje učitele, aby cvičil studenty s tvrzením, že 1 není ani sudé, ani liché, k čemuž Fröbel připisuje filozofický nápad,

Je dobré nasměrovat pozornost žáka najednou na velký dalekosáhlý zákon přírody a myšlení. To je to, že mezi dvěma relativně odlišnými věcmi nebo myšlenkami stojí vždy třetí, v jakési rovnováze, zdá se, že je spojuje. Mezi lichými a sudými čísly tedy existuje jedno číslo (jedno), které není ani jedním z těchto dvou. Podobně ve formě pravý úhel stojí mezi ostrým a tupým úhlem; a v jazyce polosamohlásky nebo uchazeči mezi ztlumením a samohláskami. Promyšlený učitel a žák učený myslet sám za sebe si sotva mohou všimnout tohoto a dalších důležitých zákonů.[8]

Algebra pro pokročilé

Vyšší dimenze a obecnější třídy čísel

AbCdEFGh
8
Chessboard480.svg
c8 černý kříž
e8 černý kříž
b7 černý kříž
f7 černý kříž
d6 černý rytíř
b5 černý kříž
f5 černý kříž
c4 černý kříž
e4 černý kříž
C1 bílý biskup
f1 bílý biskup
8
77
66
55
44
33
22
11
AbCdEFGh
Ti dva bílí biskupové jsou omezeny na čtverce opačné parity; Černá rytíř může skákat pouze na čtverce střídavé parity.

Celočíselné souřadnice bodů v Euklidovské prostory dvou nebo více dimenzí mají také paritu, obvykle definovanou jako paritu součtu souřadnic. Například obličejově centrovaná kubická mříž a jeho vyšší dimenzionální zobecnění, Dn mříže, se skládají ze všech celočíselných bodů, jejichž součet souřadnic je sudý.[9] Tato vlastnost se projevuje v šachy, kde parita čtverce je označena jeho barvou: biskupové jsou omezeni na druhou mocninu stejné parity; rytíři střídají mezi tahy paritu.[10] Tato forma parity byla skvěle použita k řešení problém zmrzačené šachovnice: Pokud jsou ze šachovnice odstraněny dva protilehlé rohové čtverce, nelze zbývající desku zakrýt dominy, protože každé domino pokrývá jeden čtverec každé parity a v jedné paritě jsou další dva čtverce než v druhé.[11]

The parita řadového čísla lze definovat jako sudé, pokud je číslo limitní ordinál, nebo limitní ordinál plus konečné sudé číslo a jinak liché.[12]

Nechat R být komutativní prsten a nechte Já být ideál z R jehož index je 2. Prvky coset lze volat dokonce, zatímco prvky coset lze volat zvláštníJako příklad nechte R = Z(2) být lokalizace z Z na hlavní ideál (2). Pak prvek R je sudé nebo liché právě tehdy, je-li jeho čitatel tak Z.

Teorie čísel

Sudá čísla tvoří ideál v prsten celých čísel,[13] ale lichá čísla ne - to je zřejmé ze skutečnosti, že identita prvek pro sčítání, nula, je pouze prvkem sudých čísel. Celé číslo je, i když je shodné s 0 modulo tento ideál, jinými slovy, pokud je shodný s 0 modulo 2, a lichý, pokud je shodný s 1 modulo 2.

Všechno prvočísla jsou liché, až na jednu výjimku: prvočíslo 2.[14] Všechny známé perfektní čísla jsou sudé; není známo, zda existují nějaká lichá dokonalá čísla.[15]

Goldbachova domněnka uvádí, že každé sudé celé číslo větší než 2 lze vyjádřit jako součet dvou prvočísel. moderní počítač výpočty ukázaly, že tato domněnka je pravdivá pro celá čísla až do nejméně 4 × 1018, ale stále žádný generál důkaz bylo nalezeno.[16]

Skupinová teorie

Rubikova pomsta v řešeném stavu

The parita permutace (jak je definováno v abstraktní algebra ) je parita počtu transpozice na kterou lze permutaci rozložit.[17] Například (ABC) na (BCA) je dokonce proto, že to lze provést zaměněním A a B za C a A (dvě transpozice). Je možné ukázat, že žádná permutace nemůže být rozložena jak v sudém, tak v lichém počtu transpozic. Výše uvedené je tedy vhodná definice. v Rubikova kostka, Megaminx a další skládací hádanky, pohyby puzzle umožňují pouze rovnoměrné permutace dílků, takže parita je důležitá pro pochopení konfigurační prostor těchto hádanek.[18]

The Feit-Thompsonova věta uvádí, že a konečná skupina je vždy řešitelné, pokud je jeho pořadí liché číslo. Toto je příklad lichých čísel hrajících roli v pokročilé matematické větě, kde metoda aplikace jednoduché hypotézy „lichého řádu“ není zdaleka zřejmá.[19]

Analýza

The parita funkce popisuje, jak se jeho hodnoty mění, když jsou jeho argumenty vyměňovány s jejich negacemi. Sudá funkce, jako je sudá síla proměnné, poskytuje stejný výsledek pro jakýkoli argument jako pro její negaci. Lichá funkce, například lichá síla proměnné, dává pro jakýkoli argument negaci jeho výsledku, když je dána negace tohoto argumentu. Je možné, aby funkce nebyla ani lichá, ani sudá a pro případ F(X) = 0, aby byly liché i sudé.[20] The Taylor série sudé funkce obsahuje pouze výrazy, jejichž exponentem je sudé číslo, a Taylorova řada liché funkce obsahuje pouze výrazy, jejichž exponentem je liché číslo.[21]

Kombinatorická teorie her

v kombinatorická teorie her, an zlé číslo je číslo, které má v sudém počtu 1 binární reprezentace a odporné číslo je číslo, které má v binární reprezentaci lichý počet 1; tato čísla hrají důležitou roli ve strategii hry Kayles.[22] The paritní funkce mapuje číslo na počet 1 v jeho binární reprezentaci, modulo 2, takže jeho hodnota je nulová pro zlá čísla a jedna pro odporná čísla. The Sekvence Thue – Morse, nekonečná sekvence 0 a 1, má 0 na pozici i když i je zlý a 1 v této pozici, když i je odporný.[23]

Další aplikace

v teorie informace, a paritní bit připojeno k binárnímu číslu poskytuje nejjednodušší formu chyba při detekci kódu. Pokud se ve výsledné hodnotě změní jeden bit, pak už nebude mít správnou paritu: změna bitu v původním čísle mu dá jinou paritu než zaznamenanou a změna paritního bitu beze změny čísla, které bylo odvozeno od znovu vytváří nesprávný výsledek. Tímto způsobem mohou být spolehlivě detekovány všechny jednobitové chyby přenosu.[24] Některé sofistikovanější kódy pro detekci chyb jsou také založeny na použití více paritních bitů pro podmnožiny bitů původní kódované hodnoty.[25]

v dechové nástroje s válcovým otvorem a ve skutečnosti uzavřené na jednom konci, například klarinet u náustku, harmonické jsou vyrobeny liché násobky základní frekvence. (S válcovými trubkami otevřenými na obou koncích, používané například u některých orgán se zastaví tak jako otevřený diapason, harmonické jsou dokonce násobky stejné frekvence pro danou délku otvoru, ale to má za následek zdvojnásobení základní frekvence a vytvoření všech násobků této základní frekvence.) Viz harmonická řada (hudba).[26]

V některých zemích, číslování domů jsou vybrány tak, že domy na jedné straně ulice mají sudá čísla a domy na druhé straně lichá čísla.[27]Podobně mezi Spojené státy americké očíslovaly dálnice, sudá čísla primárně označují dálnice východ-západ, zatímco lichá čísla primárně označují dálnice sever-jih.[28] Mezi leteckou společností čísla letů, sudá čísla typicky identifikují lety na východ nebo na sever a lichá čísla typicky identifikují lety na západ nebo na jih.[29]

Viz také

Reference

  1. ^ A b C d E F G Vijaya, A.V .; Rodriguez, Dora, Zjišťování matematiky, Pearson Education India, s. 20–21, ISBN  9788131703571.
  2. ^ Bóna, Miklós (2011), Procházka kombinatorikou: Úvod do výčtu a teorie grafů, World Scientific, str. 178, ISBN  9789814335232.
  3. ^ Bassarear, Tom (2010), Matematika pro učitele základních škol „Cengage Learning, str. 198, ISBN  9780840054630.
  4. ^ Sidebotham, Thomas H. (2003), A až Z matematiky: Základní průvodce, John Wiley & Sons, str. 181, ISBN  9780471461630.
  5. ^ Owen, Ruth L. (1992), „Dělitelnost v základnách“ (PDF), Pentagon: Matematický časopis pro studenty, 51 (2): 17–20, archivovány od originál (PDF) dne 2015-03-17.
  6. ^ Pólya, Georgi; Tarjan, Robert E.; Woods, Donald R. (2009), Poznámky k úvodní kombinatorice, Springer, str. 21–22, ISBN  9780817649524.
  7. ^ Tankha (2006), Starořecká filozofie: Thales Gorgiasovi, Pearson Education India, s. 136, ISBN  9788177589399.
  8. ^ Froebel, Friedrich; Překladatelka Josephine Jarvisová (1885). Výchova člověka. New York: A Lovell & Company. str.240.
  9. ^ Conway, J. H .; Sloane, N. J. A. (1999), Balení koulí, svazy a skupiny Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 290 (3. vyd.), New York: Springer-Verlag, str. 10, ISBN  978-0-387-98585-5, PAN  1662447.
  10. ^ Pandolfini, Bruce (1995), Šachové myšlení: Vizuální slovník šachových tahů, pravidel, strategií a konceptů, Simon and Schuster, str. 273–274, ISBN  9780671795023.
  11. ^ Mendelsohn, N. S. (2004), „Obklady s domino“, The College Mathematics Journal, 35 (2): 115–120, doi:10.2307/4146865, JSTOR  4146865.
  12. ^ Bruckner, Andrew M .; Bruckner, Judith B .; Thomson, Brian S. (1997), Skutečná analýza, str. 37, ISBN  978-0-13-458886-5.
  13. ^ Stillwell, Johne (2003), Prvky teorie čísel, Springer, str. 199, ISBN  9780387955872.
  14. ^ Lial, Margaret L .; Salzman, Stanley A .; Hestwood, Diana (2005), Základní vysokoškolská matematika (7. vydání), Addison Wesley, str. 128, ISBN  9780321257802.
  15. ^ Dudley, Underwood (1992), „Perfektní čísla“, Matematické kliky „MAA Spectrum, Cambridge University Press, s. 242–244, ISBN  9780883855072.
  16. ^ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2013), „Empirické ověření sudé Goldbachovy domněnky a výpočet hlavních mezer, až 4 · 1018" (PDF), Matematika výpočtu, 83 (288): 2033–2060, doi:10.1090 / s0025-5718-2013-02787-1. V tisku.
  17. ^ Cameron, Peter J. (1999), Permutační skupiny, London Mathematical Society Student Texts, 45, Cambridge University Press, s. 26–27, ISBN  9780521653787.
  18. ^ Joyner, David (2008), „13.1.2 Paritní podmínky“, Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys, JHU Press, s. 252–253, ISBN  9780801897269.
  19. ^ Bender, Helmut; Glauberman, George (1994), Místní analýza pro teorém lichého řádu, Série přednášek London Mathematical Society, 188, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-45716-3, PAN  1311244; Peterfalvi, Thomas (2000), Teorie znaků pro teorém lichého řádu, Série přednášek London Mathematical Society, 272, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-64660-4, PAN  1747393.
  20. ^ Gustafson, Roy David; Hughes, Jeffrey D. (2012), College Algebra (11. vydání), Cengage Learning, str. 315, ISBN  9781111990909.
  21. ^ Jain, R. K.; Iyengar, S.R.K. (2007), Pokročilá inženýrská matematika, Alpha Science Int'l Ltd., s. 853, ISBN  9781842651858.
  22. ^ Guy, Richard K. (1996), „Nestranné hry“, Hry bez šance (Berkeley, CA, 1994), Math. Sci. Res. Inst. Publ., 29, Cambridge: Cambridge Univ. Press, str. 61–78, PAN  1427957. Viz zejména str. 68.
  23. ^ Bernhardt, Chris (2009), „Zlá dvojčata se střídají s odpornými dvojčaty“ (PDF), Matematický časopis, 82 (1): 57–62, doi:10,4169 / 193009809x469084, JSTOR  27643161.
  24. ^ Moser, Stefan M .; Chen, Po-Ning (2012), Průvodce studenta kódování a informační teorie, Cambridge University Press, s. 19–20, ISBN  9781107015838.
  25. ^ Berrou, Claude (2011), Kódy a turbo kódy, Springer, str. 4, ISBN  9782817800394.
  26. ^ Randall, Robert H. (2005), Úvod do akustiky, Dover, s. 181, ISBN  9780486442518.
  27. ^ Cromley, Ellen K .; McLafferty, Sara L. (2011), GIS a veřejné zdraví (2. vyd.), Guilford Press, str. 100, ISBN  9781462500628.
  28. ^ Swift, Earl (2011), The Big Roads: The Untold Story of the Engineers, Visionaries, and Trailblazers Who Created the American Superhighways, Houghton Mifflin Harcourt, str. 95, ISBN  9780547549132.
  29. ^ Lauer, Chris (2010), Jihozápadní aerolinky „Korporace, které změnily svět, ABC-CLIO, s. 90, ISBN  9780313378638.