Čtvercová mříž - Square lattice - Wikipedia

Čtvercové mřížky
Square Lattice.svg
Vzpřímený čtverec
Jednoduchý		diagonální čtverec
Na střed
Vzpřímený čtvercové obklady. Vrcholy všech čtverců spolu s jejich středy tvoří svislou čtvercovou mříž. Pro každou barvu tvoří středy čtverců této barvy diagonální čtvercovou mříž, která je v lineárním měřítku √ 2krát větší než svislá čtvercová mřížka.

v matematika, čtvercová mříž je typ mříž v dvojrozměrném Euklidovský prostor. Je to dvourozměrná verze celočíselná mřížka, označeno jako Z2.[1] Je to jeden z pěti typů dvourozměrných mřížek klasifikovaných podle skupiny symetrie;[2] jeho skupina symetrie v IUC notace tak jako p4m,[3] Coxeterova notace jako [4,4],[4] a orbifold notace jako * 442.[5]

Zdaleka nejběžnější jsou dvě orientace obrazu mřížky. Mohou být běžně označovány jako svislá čtvercová mřížka a diagonální čtvercová mřížka; druhý se také nazývá středová čtvercová mříž.[6] Liší se o úhel 45 °. To souvisí se skutečností, že čtvercovou mříž lze rozdělit na dvě čtvercové dílčí mřížky, jak je patrné z vybarvení šachovnice.

Symetrie

Čtvercová mříž symetrie kategorie je skupina tapet p4m. Vzor s touto mřížkou translační symetrie nemůže mít více, ale může mít menší symetrii než samotná mřížka. Na vzpřímenou čtvercovou mřížku lze pohlížet jako na diagonální čtvercovou mřížku s velikostí ok, která je √2krát větší, s přidanými středy čtverců. Odpovídajícím způsobem po přidání středů čtverců vzpřímené čtvercové mřížky máme diagonální čtvercovou mřížku s velikostí ok, která je √ 2krát menší než velikost původní mřížky. rotační symetrie má čtvercovou mřížku čtyřnásobných rotocenter, která je o faktor √2 jemnější a diagonálně orientovaná vzhledem k mřížce translační symetrie.

Pokud jde o osy odrazu, existují tři možnosti:

  • Žádný. Toto je skupina tapet p4.
  • Ve čtyřech směrech. Toto je skupina tapet p4m.
  • Ve dvou kolmých směrech. Toto je skupina tapet p4g. Průsečíky reflexních os tvoří čtvercovou mřížku, která je stejně jemná a orientovaná stejně jako čtvercová mřížka čtyřnásobných rotocentrů, přičemž tato rotocentra jsou ve středech čtverců tvořených osami odrazu.
p4, [4,4]+, (442)p4g, [4,4+], (4*2)p4m, [4,4], (* 442)
Skupinový diagram tapety p4 square.svgSkupinový diagram tapety p4g square.svgSkupinový diagram tapety p4m square.svg
Skupina tapet p4, s uspořádáním v primitivní buňce 2- a 4násobného rotocentra (použitelné také pro p4g a p4m). Základní doména je označena žlutě.Skupina tapet p4g. Existují osy odrazu ve dvou směrech, ne skrz 4násobná rotocentra.Skupina tapet p4m. Přes čtyřnásobná otočná centra jsou osy odrazu ve čtyřech směrech. Ve dvou směrech jsou osy odrazu orientovány stejně a stejně hustě jako osy pro p4g, ale posunuty. V ostatních dvou směrech jsou lineárně hustší o faktor √2.

Viz také

Reference

  1. ^ Conway, Johne; Sloane, Neil J. A. (1999), Balení koule, mřížky a skupiny, Springer, str. 106, ISBN  9780387985855.
  2. ^ Golubitsky, Martin; Stewart, Iane (2003), Perspektiva symetrie: Od rovnováhy k chaosu ve fázovém prostoru a fyzickém prostoru Pokrok v matematice, 200, Springer, str. 129, ISBN  9783764321710.
  3. ^ Field, Michael; Golubitsky, Martin (2009), Symetrie v chaosu: Hledání vzoru v matematice, umění a přírodě (2. vyd.), SIAM, str. 47, ISBN  9780898717709.
  4. ^ Johnson, Norman W.; Weiss, Asia Ivić (1999), „Kvadratická celá čísla a Coxeterovy skupiny“, Kanadský žurnál matematiky, 51 (6): 1307–1336, doi:10.4153 / CJM-1999-060-6. Viz zejména horní část str. 1320.
  5. ^ Schattschneider, Doris; Senechal, Marjorie (2004), "Tilings", v Goodman, Jacob E.; O'Rourke, Josephe (eds.), Příručka diskrétní a výpočetní geometrie„Diskrétní matematika a její aplikace (2. vydání), CRC Press, s. 53–72, ISBN  9781420035315. Viz zejména tabulka na str. 62 související notace IUC s orbifold notací.
  6. ^ Johnston, Bernard L .; Richman, Fred (1997), Čísla a symetrie: Úvod do algebry, CRC Press, str. 159, ISBN  9780849303012.