Zkrácený tesseract - Truncated tesseract - Wikipedia

Tesseract	Zkrácený tesseract	Opravený tesseract	Bitruncated tesseract
Schlegel diagramy vycentrováno na [4,3] (buňky viditelné na [3,3])
16 buněk	Zkrácená 16 buněk	Rektifikovaný 16 buněk (24článková )	Bitruncated tesseract
Schlegel diagramy se středem na [3,3] (buňky viditelné na [4,3])

v geometrie, a zkrácený tesseract je jednotný 4-polytop vytvořen jako zkrácení pravidelné tesseract.

Existují tři zkrácení, včetně a bitruncation, a tritruncation, který vytváří zkrácený 16 buněk.

Zkrácený tesseract

Zkrácený tesseract
Schlegelův diagram (čtyřstěn buňky viditelné)
Typ	Jednotný 4-polytop
Schläfliho symbol	t {4,3,3}
Coxeterovy diagramy
Buňky	24	8 3.8.8 16 3.3.3
Tváře	88	64 {3} 24 {8}
Hrany	128
Vrcholy	64
Vrcholová postava	() v {3}
Dvojí	Tetrakis 16 buněk
Skupina symetrie	B4, [4,3,3], objednávka 384
Vlastnosti	konvexní
Jednotný index	12 13 14

The zkrácený tesseract je omezena 24 buňky: 8 zkrácené kostky a 16 čtyřstěn.

Alternativní jména

• Zkrácený tesseract (Norman W. Johnson )
• Zkrácený tesseract (Zkratka tat) (George Olshevsky a Jonathan Bowers)^[1]

Konstrukce

Zkrácený tesseract může být sestaven pomocí zkrácení vrcholy tesseract na ${ displaystyle 1 / ({ sqrt {2}} + 2)}$ délky hrany. V každém zkráceném vrcholu je vytvořen pravidelný čtyřstěn.

The Kartézské souřadnice vrcholů komolého tesseractu s délkou hrany 2 je dáno všemi permutacemi:

${ displaystyle left ( pm 1, pm (1 + { sqrt {2}}), pm (1 + { sqrt {2}}), pm (1 + { sqrt { 2}}) vpravo)}$

Projekce

A stereoskopický 3D projekce zkráceného tesseractu.

V první paralelní projekci zkrácené krychle zkráceného tesseractu do trojrozměrného prostoru je obraz rozložen takto:

• Projekční obálka je a krychle.
• Dvě ze zkrácených buněk krychle vyčnívají na zkrácenou krychli vepsanou do krychlové obálky.
• Dalších 6 zkrácených kostek vyčnívá na čtvercové plochy obálky.
• 8 čtyřstěnných objemů mezi obálkou a trojúhelníkovými plochami centrální zkrácené krychle jsou obrazy 16 čtyřstěnů, dvojice buněk ke každému obrazu.

snímky

pravopisné projekce

Coxeterovo letadlo	B4	B3 / D4 / A2	B2 / D3
Graf
Dihedrální symetrie	[8]	[6]	[4]
Coxeterovo letadlo	F4	A3
Graf
Dihedrální symetrie	[12/3]	[4]

Mnohostěn síť

Zkrácený tesseract promítané na 3 koule s stereografická projekce do 3-prostoru.

Související polytopy

The zkrácen tesseract, je třetí v pořadí zkrácených hyperkrychle:

Zkrácené hyperkrychle

obraz								...
název	Osmiúhelník	Zkrácená kostka	Zkrácený tesseract	Zkrácená 5 kostka	Zkrácená 6 kostka	Zkrácená 7 kostka	Zkrácená 8 kostka
Coxeterův diagram
Vrcholová postava	() v ()	() v {}	() v {3}	() v {3,3}	() v {3,3,3}	() v {3,3,3,3}	() v {3,3,3,3,3}

Bitruncated tesseract

Bitruncated tesseract
Dva Schlegel diagramy, zaměřené na zkrácené čtyřboké nebo zkrácené oktaedrické buňky, se skrytými alternativními typy buněk.
Typ	Jednotný 4-polytop
Schläfliho symbol	2t {4,3,3} 2t {3,31,1} h2,3{4,3,3}
Coxeterovy diagramy	=
Buňky	24	8 4.6.6 16 3.6.6
Tváře	120	32 {3} 24 {4} 64 {6}
Hrany	192
Vrcholy	96
Vrcholová postava	Digonal disphenoid
Skupina symetrie	B4, [3,3,4], objednávka 384 D4, [31,1,1], objednávka 192
Vlastnosti	konvexní, vrchol-tranzitivní
Jednotný index	15 16 17

Síť

The bitruncated tesseract, bitruncated 16 buněknebo tesseractihexadecachoron je konstruován a bitruncation operace aplikovaná na tesseract. Může se také nazývat a runcicantický tesseract s polovinou vrcholů a runcicantellated tesseract s konstrukce.

Alternativní jména

• Bitruncated tesseract / Runcicantic tesseract (Norman W. Johnson )
• Bitrunkovaný tesseract (Zkratka tah) (George Olshevsky a Jonathan Bowers)^[2]

Konstrukce

Tesseract je bitrunkován zkrácení své buňky za jejich středy, otáčením osmi kostky do osmi zkrácená oktaedra. Stále sdílejí své čtvercové tváře, ale šestihranné tváře tvoří zkrácené čtyřstěny, které sdílejí své trojúhelníkové tváře navzájem.

The Kartézské souřadnice vrcholů bitrunkované tesseractu s délkou hrany 2 je dáno všemi permutacemi:

${ displaystyle left (0, pm { sqrt {2}}, pm 2 { sqrt {2}}, pm 2 { sqrt {2}} right)}$

Struktura

Zkrácené oktaedry jsou navzájem spojeny prostřednictvím svých čtvercových ploch a ke zkrácenému čtyřstěnu prostřednictvím svých šestihranných ploch. Zkrácené čtyřstěny jsou navzájem spojeny prostřednictvím svých trojúhelníkových ploch.

Projekce

pravopisné projekce

Coxeterovo letadlo	B4	B3 / D4 / A2	B2 / D3
Graf
Dihedrální symetrie	[8]	[6]	[4]
Coxeterovo letadlo	F4	A3
Graf
Dihedrální symetrie	[12/3]	[4]

Stereografické projekce

Zkrácená oktaedronová první projekce bitrunkovaného tesseractu do 3D prostoru má a zkrácený kubický obálka. Dvě zkrácené oktaedrické buňky vyčnívají na zkrácený osmistěn vepsaný do této obálky, přičemž čtvercové plochy se dotýkají středů oktaedrických obličejů. Šest oktaedrických obličejů jsou obrazy zbývajících 6 zkrácených oktaedrických buněk. Zbývající mezeru mezi zapsaným zkráceným osmistěnem a obálkou vyplňuje 8 zploštělých zkrácených čtyřstěnů, z nichž každý je obrazem dvojice zkrácených čtyřstěnných buněk.

Stereografické projekce

Transparentně zbarvené růžovými trojúhelníky, modrými čtverci a šedými šestiúhelníky

Související polytopy

The bitruncated tesseract je druhý v pořadí bitruncated hyperkrychle:

Bitrunkované hyperkrychle

obraz							...
název	Bitrunkovaná krychle	Bitruncated tesseract	Bitruncated 5-cube	Bitruncated 6-cube	Bitrunková 7 kostka	Bitruncated 8-cube
Coxeter
Vrcholová postava	() v {}	{} v {}	{} v {3}	{} v {3,3}	{} v {3,3,3}	{} v {3,3,3,3}

Zkrácená 16 buněk

Zkrácená 16 buněk Kantický tesseract
Schlegelův diagram (osmistěn buňky viditelné)
Typ	Jednotný 4-polytop
Schläfliho symbol	t {4,3,3} t {3,31,1} h2{4,3,3}
Coxeterovy diagramy	=
Buňky	24	8 3.3.3.3 16 3.6.6
Tváře	96	64 {3} 32 {6}
Hrany	120
Vrcholy	48
Vrcholová postava	čtvercová pyramida
Dvojí	Hexakis tesseract
Skupiny coxeterů	B4 [3,3,4], objednávka 384 D4 [31,1,1], objednávka 192
Vlastnosti	konvexní
Jednotný index	16 17 18

The zkrácený 16 buněk, zkrácený hexadekachoron, cantic tesseract který je ohraničen 24 buňky: 8 normální oktaedra a 16 zkrácený čtyřstěn. Má polovinu vrcholů a kanylovaný tesseract se stavbou .

Souvisí to s, ale nezaměňujte s 24článková, což je běžný 4-mnohostěn ohraničeno 24 pravidelnými oktaedry.

Alternativní jména

• Zkrácený 16článkový / kantický tesseract (Norman W. Johnson )
• Zkrácený hexadekachoron (zkratka thex) (George Olshevsky a Jonathan Bowers)^[3]

Konstrukce

Zkrácená 16 buněk může být konstruována z 16 buněk zkrácením jeho vrcholů na 1/3 délky hrany. To má za následek 16 zkrácených čtyřbokých buněk a zavádí 8 oktaedrů (vrcholů).

(Zkrácení 16článku na 1/2 délky hrany vede k 24článková, který má větší stupeň symetrie, protože zkrácené buňky jsou totožné s vrcholovými čísly.)

The Kartézské souřadnice vrcholy zkrácené 16 buňky s délkou hrany 2√2 jsou dány všemi permutacemi a kombinací znaménka:

(0,0,1,2)

Alternativní konstrukce začíná a demitesseract se souřadnicemi vrcholů (± 3, ± 3, ± 3, ± 3), mající sudý počet každého znaménka, a zkrátí jej, aby získal permutace

(1,1,3,3), se sudým počtem každého znaménka.

Struktura

Zkrácené čtyřstěny jsou navzájem spojeny prostřednictvím svých šestihranných ploch. Oktaedry jsou spojeny se zkrácenými čtyřstěnmi prostřednictvím jejich trojúhelníkových ploch.

Projekce

Soustředěný na osmistěn

Osmiboká první paralelní projekce do 3 dimenzí se zvýrazněnými oktaedrickými buňkami

Oktaedron-první paralelní projekce zkráceného 16 buněk do 3-dimenzionálního prostoru má následující strukturu:

• Projekční obálka je a zkrácený osmistěn.
• 6 čtvercových ploch obálky jsou obrazy 6 oktaedrických buněk.
• Ve středu obálky leží osmistěn, který je spojen se středem 6 čtvercových ploch 6 hranami. Toto je obraz dalších 2 oktaedrických buněk.
• Zbývající prostor mezi obálkou a centrálním osmistěnem je vyplněn 8 zkrácenými čtyřstěnmi (zkreslenými projekcí). Jedná se o obrazy 16 zkrácených čtyřboká buněk, dvojice buněk ke každému obrázku.

Toto rozložení buněk v projekci je analogické s rozložením tváří v projekci zkrácený osmistěn do 2-dimenzionálního prostoru. Zkrácenou 16 buňku lze tedy považovat za 4-dimenzionální analog zkráceného osmistěnu.

Soustředěný na zkrácený čtyřstěn

Projekce zkrácené 16 buněk do 3 dimenzí se středem na zkrácené čtyřboké buňce se skrytými buňkami

Zkrácený čtyřstěn první paralelní projekce zkráceného 16 buněk do trojrozměrného prostoru má následující strukturu:

• Projekční obálka je a zkrácená kostka.
• Nejbližší zkrácený čtyřstěn k pohledu 4D vyčnívá do středu obálky s trojúhelníkovými plochami spojenými se 4 oktaedrickými objemy, které jej spojují se 4 trojúhelníkovými plochami obálky.
• Zbývající prostor v obálce vyplňují 4 další zkrácené čtyřstěny.
• Tyto objemy jsou obrazy buněk ležících na blízké straně zkráceného 16 buněk; ostatní buňky se promítají do stejného rozložení kromě dvojí konfigurace.
• Šest osmibokých ploch projekční obálky jsou obrazy zbývajících 6 zkrácených čtyřbunkových buněk.

snímky

pravopisné projekce

Coxeterovo letadlo	B4	B3 / D4 / A2	B2 / D3
Graf
Dihedrální symetrie	[8]	[6]	[4]
Coxeterovo letadlo	F4	A3
Graf
Dihedrální symetrie	[12/3]	[4]

Síť	Stereografická projekce (zaměřeno na zkrácený čtyřstěn )

Související polytopy

Zkrácená 16článková jednotka jako cantic 4-cube souvisí s dimenzionální rodinou cantic n-cubes:

Dimenzionální rodina kantických n-kostek

n	3	4	5	6	7	8
Symetrie [1+,4,3n-2]	[1+,4,3] = [3,3]	[1+,4,32] = [3,31,1]	[1+,4,33] = [3,32,1]	[1+,4,34] = [3,33,1]	[1+,4,35] = [3,34,1]	[1+,4,36] = [3,35,1]
Kantický postava
Coxeter	=	=	=	=	=	=
Schläfli	h2{4,3}	h2{4,32}	h2{4,33}	h2{4,34}	h2{4,35}	h2{4,36}

Související jednotné polytopy

Související uniformní polytopes v demitesseract symetrii

D4 jednotná polychora
{3,31,1} h {4,3,3}	2r {3,31,1} h3{4,3,3}	t {3,31,1} h2{4,3,3}	2t {3,31,1} h2,3{4,3,3}	r {3,31,1} {31,1,1}={3,4,3}	rr {3,31,1} r {31,1,1} = r {3,4,3}	tr {3,31,1} t {31,1,1} = t {3,4,3}	sr {3,31,1} s {31,1,1} = s {3,4,3}

Související jednotné polytopy v symetrii tesseractu

Polytopy symetrie B4
název	tesseract	opraveno tesseract	zkrácen tesseract	cantellated tesseract	runcinovaný tesseract	bitruncated tesseract	cantitruncated tesseract	runcitruncated tesseract	všudypřítomný tesseract
Coxeter diagram		=				=
Schläfli symbol	{4,3,3}	t1{4,3,3} r {4,3,3}	t0,1{4,3,3} t {4,3,3}	t0,2{4,3,3} rr {4,3,3}	t0,3{4,3,3}	t1,2{4,3,3} 2t {4,3,3}	t0,1,2{4,3,3} tr {4,3,3}	t0,1,3{4,3,3}	t0,1,2,3{4,3,3}
Schlegel diagram
B4
název	16 buněk	opraveno 16 buněk	zkrácen 16 buněk	cantellated 16 buněk	runcinovaný 16 buněk	bitruncated 16 buněk	cantitruncated 16 buněk	runcitruncated 16 buněk	všudypřítomný 16 buněk
Coxeter diagram	=	=	=	=		=	=
Schläfli symbol	{3,3,4}	t1{3,3,4} r {3,3,4}	t0,1{3,3,4} t {3,3,4}	t0,2{3,3,4} rr {3,3,4}	t0,3{3,3,4}	t1,2{3,3,4} 2t {3,3,4}	t0,1,2{3,3,4} tr {3,3,4}	t0,1,3{3,3,4}	t0,1,2,3{3,3,4}
Schlegel diagram
B4

Poznámky

Reference

• T. Gosset: Na regulárních a polopravidelných obrázcích v prostoru n dimenzí„Posel matematiky, Macmillan, 1900
• H.S.M. Coxeter:
  • Coxeter, Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN  0-486-61480-8, str. 296, tabulka I (iii): Pravidelné Polytopes, tři pravidelné Polytopes v n-dimenzích (n≥5)
  • H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. vydání, Dover New York, 1973, s. 296, tabulka I (iii): Pravidelné Polytopes, tři pravidelné Polytopes v n-dimenzích (n≥5)
  • Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Symetrie věcí 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Kapitola 26. str. 409: Hemicubes: 1_n1)
• Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
  • N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. (1966)
• 2. Konvexní uniformní polychora založená na tesseractu (8 buněk) a hexadecachoronu (16 buněk) - modely 13, 16, 17 George Olshevsky.
• Klitzing, Richarde. „4D uniformní polytopes (polychora)“. o3o3o4o - tat, o3x3x4o - tah, x3x3o4o - thex

externí odkazy

• Papírový model zkráceného tesseractu vytvořeno pomocí sítí vygenerovaných Stella4D software