Duopyramid - Duopyramid
v geometrie 4 a více rozměrů, a duopyramid nebo fusil je polytop konstruovaný 2 ortogonálními polytopy s hranami spojujícími všechny páry vrcholů mezi nimi. Termín fusil používá Norman Johnson jako kosočtverečný tvar.[1] Termín duopyramid byl používán Georgem Olševským jako duál a duoprism.[2]
Polygonální formy
Sada dvojitých uniformních p-q duopyramidů | |
![]() Příklad 4-4 duopyramid (16 článků) Ortogonální projekce | |
Typ | Jednotný dvojitý polychoron |
Schläfliho symbol | {p} + {q}[3] |
Coxeterův diagram | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Buňky | pq digonal disphenoids |
Tváře | 2pq trojúhelníky |
Hrany | pq + p + q |
Vrcholy | p + q |
Čísla vrcholů | p-gonal bipyramid q-gonal bipyramid |
Symetrie | [p, 2, q], objednávka 4pq |
Dvojí | p-q duoprism |
Vlastnosti | konvexní, fazeta-tranzitivní |
Sada dvojitých uniformních duopyramidů p-p | |
Schläfliho symbol | {p} + {p} = 2 {p} |
Coxeterův diagram | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Buňky | p2 tetragonální disfenoidy |
Tváře | 2 s2 trojúhelníky |
Hrany | p2+ 2p |
Vrcholy | 2 s |
Vrcholová postava | p-gonal bipyramid |
Symetrie | [[p, 2, p]] = [2p, 2+, 2p], objednávka 8p2 |
Dvojí | p-p duoprism |
Vlastnosti | konvexní, fazeta-tranzitivní |
Nejnižší dimenzionální formy jsou 4 dimenzionální a spojují dva polygony. A p-q duopyramid nebo p-q fusil, představovaný kompozitem Schläfliho symbol {p} + {q} a Coxeter-Dynkinův diagram . Pravidelný 16 buněk může být viděn jako 4-4 duopyramid nebo 4-4 fusil,
, symetrie [[4,2,4]], řád 128.
A p-q duopyramid nebo p-q fusil má Skupina coxeterů symetrie [p,2,q], objednat 4pq. Když p a q jsou identické, symetrie v Coxeterova notace je zdvojnásoben jako [[p,2,p]] nebo [2p,2+,2q], objednávka 8p2.
Okraje existují na všech párech vrcholů mezi p-gon a q-gon. The 1-kostra a p-q duopyramid představuje okraje každého z nich p a q mnohoúhelník a pq kompletní bipartitní graf mezi nimi.
Geometrie
A p-q duopyramid lze považovat za dva pravidelné rovinné polygony o p a q strany se stejným středem a ortogonální orientací ve 4 rozměrech. Spolu s p a q hrany dvou polygonů, všechny permutace vrcholů v jednom polygonu k vrcholům v ostatních tvoří hrany. Všechny plochy jsou trojúhelníkové, s jednou hranou jednoho polygonu spojenou s jedním vrcholem druhého polygonu. The p a q jednostranné polygony jsou dutý, procházející středem mnohostěnů a nedefinující plochy. Buňky jsou čtyřstěny konstruované jako všechny permutace párů hran mezi každým polygonem.
Lze jej chápat analogicky ke vztahu 3D hranoly a jejich dvojí bipyramidy se symbolem Schläfli {} + {p} a kosočtverec ve 2D jako {} + {}. Bipyramid lze považovat za 3D degenerovaný duopyramid přidáním hrany přes digon {} na vnitřní ose a přidání protínajících se vnitřních trojúhelníků a čtyřstěnů spojujících tuto novou hranu s vrcholy a hranami p-gon.
Jiné nejednotné polychory lze nazvat duopyramidy podle stejné konstrukce, jako dva ortogonální a kocentrované polygony, spojené s hranami se všemi kombinacemi vrcholů mezi polygony. Symetrie bude součinem symetrie dvou polygonů. Takže obdélník-obdélník duopyramid by bylo topologicky totožné s uniformou 4-4 duopyramid, ale nižší symetrie [2,2,2], řád 16, možná zdvojnásobená na 32, pokud jsou dva obdélníky identické.
Souřadnice
Souřadnice p-q duopyramidu (na jednotku 3 koule ) lze uvést jako:
- (cos (2 * πi / p), sin (2 * πi / p), 0,0), i=1..p
- (0,0, cos (2 * πj / q), sin (2 * πj / q)), j=1..q
Všechny páry vrcholů jsou spojeny hranami.
Perspektivní projekce
3-3 | 3-4 | 4-4 (16článková) |
---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() |
Ortogonální projekce
2n vrcholy a n-n duopyramid lze ortogonálně promítnout do dvou pravidelných n-gonů s hranami mezi všemi vrcholy každého n-gonu.
Pravidelný 16 buněk může být viděn jako 4-4 duopyramid, je dvojí vůči 4-4 duoprism, který je tesseract. Jako 4-4 duopyramid je symetrie 16 buněk [4,2,4], řád 64, a zdvojnásobena na [[4,2,4]], řád 128, přičemž 2 centrální čtverce jsou zaměnitelné. Pravidelná 16článková jednotka má vyšší symetrii [3,3,4], řád 384.
![]() 3-3 | ![]() 5-5 | ![]() 7-7 | ![]() 9-9 | ![]() 11-11 | ![]() 13-13 | ![]() 15-15 | ![]() 17-17 | ![]() 19-19 |
![]() 4-4 (16 buněk ) | ![]() 6-6 | ![]() 8-8 | ![]() 10-10 | ![]() 12-12 | ![]() 14-14 | ![]() 16-16 | ![]() 18-18 | ![]() 20-20 |
![]() 3-4 | ![]() 3-5 | ![]() 3-6 | ![]() 3-8 |
![]() 4-5 | ![]() 4-6 |
Příklad 6-4 duopyramid
![]() | Tento střed stereografická projekce z 6-4 duopyramid (modrá) s duálním duoprism (v průhledné červené barvě). V poslední řadě se duopyramid promítá směrem kolmým na první; takže dva parametry (6,4) se zdají být obrácené. Asymetrie je skutečně způsobena projekcí: dva parametry jsou ve 4D symetrické. |
Reference
- ^ Norman W. Johnson, Geometries and Transformations (2018), s. 167
- ^ Olshevsky, Georgi. „Duopyramid“. Glosář pro hyperprostor. Archivovány od originál dne 4. února 2007.
- ^ N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Kapitola 11: Skupiny konečné symetrie, 11.5 Skupiny sférických coxeterů, str. 251