Stellated octahedron - Stellated octahedron

Stellated octahedron
Viděn jako sloučenina dvou pravidelných čtyřstěnů (červené a žluté)
Typ	Pravidelná směs
Coxeter symbol	{4,3}[2{3,3}]{3,4}^[1]
Schläfliho symboly	{{3,3}} {4,3} ß {2,4} ßr {2,2}
Coxeterovy diagramy	∪
Stelace jádro	Octahedron
Konvexní obal	Krychle
Index	VIDÍŠ₄, Ž₁₉
Mnohostěn	2 čtyřstěn
Tváře	8 trojúhelníky
Hrany	12
Vrcholy	8
Dvojí	Self-dual
Skupina symetrie Skupina coxeterů	Ó_h, [4,3], objednávka 48 D_4h, [4,2], řád 16 D_2h, [2,2], objednávka 8 D_3d, [2⁺, 6], objednávka 12
Podskupina omezující jedné složce	T_d, [3,3], objednávka 24 D_2d, [2⁺, 4], objednávka 8 D₂, [2,2]⁺, objednávka 4 C_3v, [3], objednávka 6

The hvězdný osmistěn je jediný stellation z osmistěn. Také se tomu říká stella octangula (Latinsky „osmicípá hvězda“), název, který mu dal Johannes Kepler v roce 1609, ačkoli to bylo známo dříve geometry. Bylo to zobrazeno v Pacioli je De Divina Proportione, 1509.^[2]

Je to nejjednodušší z pěti pravidelných polyedrické sloučeniny a jediný pravidelný sloučenina dvou čtyřstěnů. Je to také nejméně hustý z běžných polyedrických sloučenin, který má hustotu 2.

Lze to chápat jako 3D rozšíření hexagram: hexagram je dvourozměrný tvar vytvořený ze dvou překrývajících se rovnostranných trojúhelníků, centrálně symetrický k sobě navzájem a stejným způsobem může být hvězdný osmistěn vytvořen ze dvou centrálně symetrických překrývajících se čtyřstěnů. To lze zobecnit na jakékoli požadované množství vyšších rozměrů; čtyřrozměrná ekvivalentní konstrukce je sloučenina dvou 5 buněk. Lze jej také považovat za jednu z fází konstrukce 3D Sněhová vločka Koch, fraktální tvar vytvořený opakovaným připojením menších čtyřstěnů ke každé trojúhelníkové ploše větší postavy. První etapa stavby Kochovy sněhové vločky je jediný centrální čtyřstěn a druhou fází, vytvořenou přidáním čtyř menších čtyřstěnů k plochám centrálního čtyřstěnu, je stellovaný osmistěn.

Konstrukce

Kartézské souřadnice hvězdného oktaedru jsou následující: (± 1/2, ± 1/2, 0) (0, 0, ± 1 / √2) (± 1, 0, ± 1 / √2) (0, ± 1, ± 1 / √2)

Hvězdný osmistěn může být sestaven několika způsoby:

Je to stellation z pravidelný osmistěn, sdílení stejných rovin tváře. (Vidět Wenningerův model W.₁₉.)

V perspektivě	Stelační rovina	Jediná stellace pravidelného osmistěnu s jednou hvězdnou rovinou ve žluté barvě.

Je to také pravidelné polyhedronová sloučenina, když je konstruován jako spojení dvou pravidelných čtyřstěn (pravidelný čtyřstěn a jeho duální čtyřstěn ).
Lze jej získat jako augmentace pravidelné osmistěn, přidáním čtyřboké pyramidy na každé tváři. V této konstrukci má stejnou topologii jako konvexní Katalánština pevná, triakis octahedron, který má mnohem kratší pyramidy.
Je to fazetování z krychle, sdílení uspořádání vrcholů.
Může to být viděno jako {4/2} antiprism; přičemž {4/2} je tetragram, sloučenina dvou duálních digony, a čtyřstěn viděný jako digonal antiprism, toto může být viděno jako sloučenina dvou digonal antiprisms.
To může být viděno jako síť čtyřrozměrného oktaedrická pyramida, skládající se z centrálního osmistěnu obklopeného osmi čtyřstěnmi.

Facetování krychle	Jeden diagonální trojúhelník s červenými fazetami

Související pojmy

Hvězdný osmistěn je první iterací 3D analogu a Sněhová vločka Koch.

Sloučenina dvou sférických čtyřstěnů může být konstruována, jak je znázorněno.

Dva čtyřstěny složeného pohledu na hvězdný osmistěn jsou „desmické“, což znamená, že (když je interpretováno jako čára v projektivní prostor ) každý okraj jednoho čtyřstěnu protíná dva protilehlé okraje druhého čtyřstěnu. Jeden z těchto dvou přechodů je viditelný ve hvězdném osmistěnu; další křížení nastává v bodě v nekonečnu projektivního prostoru, mezi dvěma rovnoběžnými okraji dvou čtyřstěnů. Tyto dva čtyřstěny lze doplnit na a desmický systém ze tří čtyřstěnů, kde třetí čtyřstěn má jako své čtyři vrcholy tři body křížení v nekonečnu a těžiště dvou konečných čtyřstěnů. Stejných dvanáct čtyřstěnných vrcholů také tvoří body Reyeova konfigurace.

The čísla stella octangula jsou figurativní čísla které počítají počet koulí, které lze uspořádat do tvaru hvězdného osmistěnu. Oni jsou

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, .... (sekvence A007588 v OEIS )

V populární kultuře

Jako sférické obklady, spojené hrany ve sloučenině dvou čtyřstěnů tvoří a kosočtverečný dvanáctistěn.

Hvězdný osmistěn se objevuje u několika dalších mnohostěnů a mnohostěnných sloučenin M. C. Escher 'tisk "Hvězdy ",^[3] a poskytuje centrální formu v Escherově Dvojitý planetoid (1949).^[4]

Někteří moderní mystici spojili tento tvar s „merkabou“,^[5] což je podle nich „protiběžné energetické pole“ pojmenované podle staroegyptského slova.^[6]Slovo „merkaba“ však ve skutečnosti je hebrejština a přesněji odkazuje na a vůz ve vizích Ezekiel.^[7]Podobnost mezi tímto tvarem a dvourozměrným Davidova hvězda bylo také často zmiňováno.^[8]

Hvězdný osmistěn je také obecným tvarem dronu „Duch“, který se nachází ve videohře Osud.

Galerie

Reference

^ H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN 0-486-61480-8, 3.6 Pět pravidelných sloučenin, str. 47-50, 6.2 Stelace platonických pevných látek, str. 96-104
^ Barnes, John (2009), "Tvary a tělesa", Drahokamy geometrie, Springer, str. 25–56, doi:10.1007/978-3-642-05092-3_2, ISBN 978-3-642-05091-6.
^ Hart, George W. (1996), „Mnohostěn M.C. Eschera“, Virtuální mnohostěn.
^ Coxeter, H. S. M. (1985), „Zvláštní recenze knihy: M. C. Escher: Jeho život a kompletní grafické dílo“, Matematický zpravodaj, 7 (1): 59–69, doi:10.1007 / BF03023010. Viz zejména str. 61.
^ Dannelley, Richard (1995), Sedona: Beyond the Vortex: Activating the Planetary Ascension Program with Sacred Geometry, the Vortex, and the Merkaba, Light Technology Publishing, s. 14, ISBN 9781622336708
^ Melchizedek, Drunvalo (2000), Prastaré tajemství Květiny života: Upravený přepis Workshopu Květiny života, který byl představen živě Matce Zemi od roku 1985 do roku 1994 -, 1. díl, Light Technology Publishing, s. 4, ISBN 9781891824173
^ Patzia, Arthur G .; Petrotta, Anthony J. (2010), Kapesní slovník biblických studií: Více než 300 termínů jasně a stručně definovaných, The IVP Pocket Reference Series, InterVarsity Press, str. 78, ISBN 9780830867028
^ Brisson, David W. (1978), Hypergraphics: vizualizace složitých vztahů v umění, vědě a technologii, Westview Press pro Americkou asociaci pro rozvoj vědy, s. 220, Stella octangula je trojrozměrný analog Davidovy hvězdy

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Stella Octangula“. MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Sloučenina dvou čtyřstěnů". MathWorld.
Klitzing, Richarde. „3D compound“.

[1] H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN 0-486-61480-8, 3.6 Pět pravidelných sloučenin, str. 47-50, 6.2 Stelace platonických pevných látek, str. 96-104

[2] Barnes, John (2009), "Tvary a tělesa", Drahokamy geometrie, Springer, str. 25–56, doi:10.1007/978-3-642-05092-3_2, ISBN 978-3-642-05091-6.

[3] Hart, George W. (1996), „Mnohostěn M.C. Eschera“, Virtuální mnohostěn.

[4] Coxeter, H. S. M. (1985), „Zvláštní recenze knihy: M. C. Escher: Jeho život a kompletní grafické dílo“, Matematický zpravodaj, 7 (1): 59–69, doi:10.1007 / BF03023010. Viz zejména str. 61.

[5] Dannelley, Richard (1995), Sedona: Beyond the Vortex: Activating the Planetary Ascension Program with Sacred Geometry, the Vortex, and the Merkaba, Light Technology Publishing, s. 14, ISBN 9781622336708

[6] Melchizedek, Drunvalo (2000), Prastaré tajemství Květiny života: Upravený přepis Workshopu Květiny života, který byl představen živě Matce Zemi od roku 1985 do roku 1994 -, 1. díl, Light Technology Publishing, s. 4, ISBN 9781891824173

[7] Patzia, Arthur G .; Petrotta, Anthony J. (2010), Kapesní slovník biblických studií: Více než 300 termínů jasně a stručně definovaných, The IVP Pocket Reference Series, InterVarsity Press, str. 78, ISBN 9780830867028

[8] Brisson, David W. (1978), Hypergraphics: vizualizace složitých vztahů v umění, vědě a technologii, Westview Press pro Americkou asociaci pro rozvoj vědy, s. 220, Stella octangula je trojrozměrný analog Davidovy hvězdy

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]