Pořadí operací - Order of operations

v matematika a programování, pořadí operací (nebo přednost operátora) je sbírka pravidel, která odrážejí konvence o tom, které postupy je třeba provést jako první za účelem vyhodnocení daného matematické vyjádření.

Například v matematice a ve většině počítačových jazyků má násobení vyšší prioritu než sčítání a je tomu tak od zavedení moderních algebraická notace.^[1][2] Tedy výraz 2 + 3 × 4 je interpretován tak, aby měl hodnotu 2 + (3 × 4) = 14a ne (2 + 3) × 4 = 20. Se zavedením exponentů v 16. a 17. století dostali přednost před sčítáním i množením a mohli být umístěni pouze jako horní index napravo od své základny.^[1] Tím pádem 3 + 5² = 28 a 3 × 5² = 75.

Tyto konvence existují, aby eliminovaly značnou nejednoznačnost a zároveň umožnily co nejkratšímu zápisu. Tam, kde je žádoucí přepsat konvence priority, nebo je jednoduše zdůraznit, lze použít závorky () k označení alternativního pořadí operace (nebo jednoduše posílit výchozí pořadí operací). Například, (2 + 3) × 4 = 20 vynutí přidání předcházet násobení, zatímco (3 + 5)² = 64 sčítání sil předcházet umocňování. Pokud je v matematickém výrazu požadováno více párů závorek (například v případě vnořených závorek), mohou být závorky nahrazeny závorky nebo rovnátka aby nedošlo k záměně, jako v [2 × (3 + 4)] − 5 = 9.^[3]

Definice

Pořadí operací, které se používá v celé matematice, vědě, technologii a mnoha počítačích programovací jazyky, je vyjádřen zde:^[1][4][5]

1. umocňování a extrakce kořenů
2. násobení a divize
3. přidání a odčítání

To znamená, že pokud se v matematickém výrazu objeví podvýraz mezi dvěma operátory, operátor, který je výše ve výše uvedeném seznamu, by měl být použit jako první.

The komutativní a asociativní zákony sčítání a násobení umožňují přidávání termínů v libovolném pořadí a multiplikační faktory v libovolném pořadí - smíšené operace však musí dodržovat standardní pořadí operací.

V některých kontextech je užitečné nahradit dělení vynásobením recipročním (multiplikativní inverzní) a odčítáním sčítáním opačného (aditivní inverzní). Například v počítačová algebra, což umožňuje jednomu zvládnout méně binární operace a usnadňuje použití komutativita a asociativita při zjednodušení velkých výrazů (více viz Počítačová algebra § Zjednodušení ). Tím pádem 3 ÷ 4 = 3 × 1/4; jinými slovy, podíl 3 a 4 se rovná součinu 3 a 1/4. Taky 3 − 4 = 3 + (−4); jinými slovy rozdíl 3 a 4 se rovná součtu 3 a −4. Tím pádem, 1 − 3 + 7 lze považovat za součet 1 + (−3) + 7a tři summands lze přidat v libovolném pořadí, ve všech případech je výsledkem 5.

Kořenový symbol √ je tradičně prodloužen čárkou (tzv vinculum ) přes radicand (tím se vyhnete nutnosti závorek kolem radicand). Ostatní funkce používají kolem vstupu závorky, aby se zabránilo nejednoznačnosti.^[6][7][A] Závorky lze vynechat, pokud je vstupem jedna numerická proměnná nebo konstanta^[1] (jako v případě hřích X = hřích (X) a sin π = sin (π).^[A] Další zkratka, která se někdy používá, je, když je vstup monomiální; tím pádem, hřích 3X = hřích (3X) spíše než (hřích (3))X, ale hřích X + y = hřích (X) + y, protože X + y není monomial. To je však nejednoznačné a mimo konkrétní kontexty není všeobecně chápáno.^[b]Některé kalkulačky a programovací jazyky vyžadují u vstupů funkcí závorky, jiné nikoli.

K přepsání obvyklého pořadí operací lze použít symboly seskupení.^[1] Se seskupenými symboly lze zacházet jako s jedním výrazem.^[1] Symboly seskupení lze odstranit pomocí asociativních a distribuční zákony, také je lze odstranit, pokud je výraz uvnitř symbolu seskupení dostatečně zjednodušen, takže z jejich odstranění nevyplývá žádná nejednoznačnost.

Příklady

${ displaystyle { sqrt {1 + 3}} + 5 = { sqrt {4}} + 5 = 2 + 5 = 7.}$

Vodorovná zlomková čára funguje také jako symbol seskupení:

${ displaystyle { frac {1 + 2} {3 + 4}} + 5 = { frac {3} {7}} + 5.}$

Pro snazší čtení další seskupovací symboly, například složené závorky { } nebo hranaté závorky [ ], se často používají spolu se závorkami ( ). Například:

${ displaystyle [(1 + 2) div (3 + 4)] + 5 = [3 div 7] +5}$

Mnemotechnika

Mnemotechnika se často používají k tomu, aby si studenti zapamatovali pravidla, zahrnující první písmena slov představujících různé operace. V různých zemích se používají různé mnemotechnické pomůcky.^[8][9][10]

• Ve Spojených státech je to zkratka PEMDAS je běžné.^[11] Znamená Paréza, Exponenti, Multiplikace /Division, Astav /Subtraction.^[11] PEMDAS je často rozšířen na mnemotechniku ​​"Omluvte prosím moji drahou tetu Sally".^[12]
• Kanada a Nový Zéland použití BEDMAS, stojící za Brakety, Exponenti, Division /Multiplikace, Astav /Subtraction.^[11]
• Nejběžnější ve Velké Británii, Pákistánu, Indii, Bangladéši a Austrálii^[13] a některé další anglicky mluvící země ano BODMAS což znamená buď Brakety, Órder, Division /Multiplikace, Astav /Subtraction nebo Brakety, ÓF/Division /Multiplikace, Astav /Subtraction.^[C][14] Nigérie a některé další země západní Afriky také používají BODMAS. Podobně ve Velké Británii BIDMAS je také používán, stojí za Brakety, Jándices, Division /Multiplikace, Astav /Subtraction.

Tyto mnemotechnické pomůcky mohou být zavádějící, pokud jsou psány tímto způsobem.^[12] Například nesprávná interpretace některého z výše uvedených pravidel ve smyslu „nejdříve sčítání, odčítání“ by nesprávně vyhodnotila výraz^[12]

${ displaystyle a-b + c = (a-b) + c neq a- (b + c)}$

Při vyhodnocování výše uvedeného výrazu by mělo být sčítání a odčítání prováděno postupně a pracuje zleva doprava, protože odčítání je levo-asociativní a považován za neasociativní provoz. Buď pracujte zleva doprava, nebo s odečtením zacházejte jako s přidáním a podepsané číslo vytvoří správnou odpověď; provedení odčítání ve špatném pořadí bude mít za následek nesprávnou odpověď. Mnemotechnika neodráží seskupení sčítání / odčítání nebo násobení / dělení, takže jejich použití může vést k tomuto nedorozumění.

Podobná nejednoznačnost existuje například v případě sériového dělení a ÷ b ÷ c × d mohou být čteny více způsoby, ale nemusí vždy přijít ke stejné odpovědi.^{[Citace je zapotřebí ]}

${ Displaystyle ((a div b) div c) krát d neq a div (b div (c krát d))}$

Rozdělení je tradičně považováno za levo-asociativní. To znamená, že pokud je v řadě více divizí, pořadí výpočtu jde zleva doprava:^[15][16]

${ displaystyle a / b / c = (a / b) / c = a / (b krát c)}$

Matematický zvyk kombinování faktorů a reprezentace dělení jako násobení pomocí reciprocity dále výrazně snižuje frekvenci nejednoznačného dělení.

${ displaystyle a div b div c times d = a times { frac {1} {b}} times { frac {1} {c}} times d = { frac {a} { b}} times { frac {1} {c}} times d = { frac {a} {bc}} times d = { frac {ad} {bc}}}$

Speciální případy

Sériová umocňování

Li umocňování je označeno skládanými symboly pomocí horního zápisu, obvyklým pravidlem je práce shora dolů:^{[17][1][7][18]}

A^bC = A^(bC)

což se obvykle nerovná (A^b)^C.

Při použití notace operátora s a stříška (^) nebo Šíp (↑), neexistuje žádný společný standard.^[19] Například, Microsoft Excel a výpočetní programovací jazyk MATLAB vyhodnotit A^b^C tak jako (A^b)^C, ale Google vyhledávání a Wolfram Alpha tak jako A^(bC). Tím pádem 4^3^2 je hodnocena na 4 096 v prvním případě a na 262 144 v druhém případě.

Unární znaménko minus

Existují různé konvence týkající se unárního operátoru - (obvykle číst „minus“). V písemné nebo tištěné matematice výraz −3² je vykládán ve smyslu 0 − (3²) = − 9.^[1][20]

V některých aplikacích a programovacích jazycích, zejména Microsoft Excel, PlanMaker (a další tabulkové aplikace) a programovací jazyk bc, unární operátory mají vyšší prioritu než binární operátory, to znamená, že unární mínus má vyšší prioritu než umocňování, takže v těchto jazycích −3² bude interpretováno jako (−3)² = 9.^[21] To se nevztahuje na operátor binární mínus -; například v aplikaci Microsoft Excel, zatímco vzorce =−2^2, =-(2)^2 a =0+−2^2 návrat 4, vzorec =0−2^2 a =−(2^2) návrat −4.

Smíšené dělení a násobení

Podobně může existovat nejednoznačnost při používání lomítko symbol / ve výrazech jako 1/2X.^[12] Pokud někdo přepíše tento výraz jako 1 ÷ 2X a poté interpretuje divizní symbol tak, že indikuje násobení pomocí reciprocity, stane se:

1 ÷ 2 × X = 1 × 1/2 × X = 1/2 × X.

S touto interpretací 1 ÷ 2X je rovný (1 ÷ 2)X.^[1][8] V některé akademické literatuře však násobení označené juxtapozicí (také známý jako implikované násobení ) je interpretován tak, že má vyšší prioritu než dělení, takže 1 ÷ 2X rovná se 1 ÷ (2X), ne (1 ÷ 2)XNapříklad pokyny pro odeslání rukopisu pro Fyzický přehled časopisy uvádějí, že násobení má vyšší prioritu než dělení lomítkem,^[22] a to je také konvence dodržovaná v předních učebnicích fyziky, jako je Kurz teoretické fyziky podle Landau a Lifshitz a Feynman přednášky z fyziky.^[d]

Kalkulačky

Různé kalkulačky sledují různé pořadí operací.^[1] Mnoho jednoduchých kalkulaček bez zásobníku implementovat řetězový vstup práce zleva doprava bez jakékoli priority dané různým operátorům, například psaní

1 + 2 × 3 výnosy 9,

zatímco sofistikovanější kalkulačky budou používat standardnější prioritu, například psaní

1 + 2 × 3 výnosy 7.

The Microsoft Calculator program používá první ve standardním zobrazení a druhý ve vědeckém a programátorském zobrazení.

Řetězový vstup očekává dva operandy a operátor. Po stisknutí dalšího operátoru je výraz okamžitě vyhodnocen a odpověď se stane levou rukou dalšího operátora. Pokročilé kalkulačky umožňují zadání celého výrazu, který je podle potřeby seskupen, a vyhodnocuje se pouze tehdy, když uživatel použije znaménko rovnosti.

Kalkulačky mohou přiřadit exponenty zleva doprava. Například výraz A^b^C je interpretován jako A^(bC) na TI-92 a TI-30XS MultiView v „režimu Mathprint“, zatímco je interpretován jako (A^b)^C na TI-30XII a TI-30XS MultiView v „klasickém režimu“.

Výraz jako 1/2X je interpretován jako 1 / (2X) od TI-82, stejně jako mnoho moderních Casio kalkulačky,^[23] ale jako (1/2)X podle TI-83 a všechny ostatní kalkulačky TI vydané od roku 1996,^[24] stejně jako všichni Hewlett Packard kalkulačky s algebraickou notací. Někteří uživatelé mohou očekávat první výklad vzhledem k povaze implikované násobení, druhý je více v souladu se standardním pravidlem, že násobení a dělení mají stejnou prioritu,^[25][26] kde 1/2X se čte jedna děleno dvěma a odpověď vynásobená X.

Pokud si uživatel není jistý, jak bude kalkulačka interpretovat výraz, je vhodné použít závorky, aby nedocházelo k nejednoznačnosti.

Kalkulačky, které používají obrácenou polskou notaci (RPN), také známý jako postfixový zápis, použijte a zásobník zadávat výrazy ve správném pořadí priorit bez nutnosti použití závorek nebo jakéhokoli pořadí provedení specifického pro model.^[12][11]

Programovací jazyky

Nějaký programovací jazyky používat úrovně priority, které odpovídají pořadí běžně používanému v matematice,^[19] ačkoli jiní, jako např APL, Pokec, Occam a Mary, nemají operátor pravidla priority (v APL je hodnocení striktně zprava doleva; v Smalltalku atd. je striktně zleva doprava).

Kromě toho, protože mnoho operátorů není asociativních, je pořadí v rámci jedné úrovně obvykle definováno seskupením zleva doprava, takže 16/4/4 je interpretován jako (16/4)/4 = 1 spíše než 16/(4/4) = 16; tito operátoři jsou možná zavádějícím způsobem označováni jako „leví asociativní“. Výjimky existují; například jazyky s operátory odpovídajícími nevýhody operace se seznamy je obvykle seskupuje zprava doleva („pravá asociativní“), např. v Haskell, 1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4].

The tvůrce z Jazyk C. řekl o prioritě v C (sdílené programovacími jazyky, které si tato pravidla vypůjčují z C, například, C ++, Perl a PHP ), že by bylo lepší přesunout bitové operátory nad operátory porovnání.^[27] Mnoho programátorů si však na tuto objednávku zvyklo. Relativní úrovně priority operátory nalezené v mnoha jazycích ve stylu C jsou následující:

Příklady: (Poznámka: V níže uvedených příkladech se „≡“ používá ve smyslu „je ekvivalentní“ a nelze jej interpretovat jako skutečný operátor přiřazení použitý jako součást příkladu výrazu.)

• ! A +! B ≡ (! A) + (! B)
• ++ A +! B ≡ (++ A) + (! B)
• A + B * C ≡ A + (B * C)
• A || PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM ≡ A || (PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM)
• A && B == C ≡ A && (B == C)
• A & B == C ≡ A & (B == C)

Překladače mezi zdroji že kompilace do více jazyků se musí výslovně zabývat otázkou odlišného pořadí operací napříč jazyky. Haxe například standardizuje objednávku a vynucuje ji vložením závorek tam, kde je to vhodné.^[28]

Bylo zjištěno, že přesnost znalostí vývojářů softwaru o prioritě binárních operátorů úzce sleduje jejich frekvenci výskytu ve zdrojovém kódu.^[29]

Viz také

• Běžná notace operátora (pro formálnější popis)
• Hyperoperace
• Asociativita operátora
• Přetížení obsluhy
• Priorita operátorů v C a C ++
• Polská notace
• Reverzní polská notace

Poznámky

Reference

Další čtení

• Bergman, George Mark (2013-02-21). „Pořadí aritmetických operací; zejména otázka 48/2 (9 + 3)“. Katedra matematiky, University of California. Archivováno od originálu 2020-05-20. Citováno 2020-07-22.
• "Řád operací". MathSteps: Co to je?. Společnost Houghton Mifflin. 1999. Archivováno od původního dne 2020-07-21. Citováno 2020-07-22.

externí odkazy

• "Pořadí operací". PlanetMath.