Kanylovaný tesseract

Čtyři cantelace
Ortogonální projekce v₄ Coxeterovo letadlo
tesseract	Kanylovaný tesseract	Kanylovaný 16 buněk (Rektifikovaná 24článková )
16 buněk	Cantitruncated tesseract	Cantitruncated 16 buněk (Zkrácená 24článková )

Ve čtyřrozměrném geometrie, a kanylovaný tesseract je konvexní jednotný 4-polytop, přičemž cantellation (zkrácení 2. řádu) regulárního tesseract.

Existují čtyři stupně kanylací tesseractu, včetně permutačních zkrácení. Dva jsou také odvozeny z rodiny 24 buněk.

Kanylovaný tesseract
Schlegelův diagram Soustředěný na kosočtverec oktaedrické buňky zobrazeny
Typ	Jednotný 4-polytop
Schläfliho symbol	rr {4,3,3} ${displaystyle r {egin {Bmatrix} 4 3,3end {Bmatrix}}}$
Coxeterův diagram
Buňky	56	8 3.4.4.4 16 3.3.3.3 32 3.4.4
Tváře	248	128 {3} 120 {4}
Hrany	288
Vrcholy	96
Vrcholová postava	Čtvercový klín
Skupina symetrie	B₄, [3,3,4], objednávka 384
Vlastnosti	konvexní
Jednotný index	13 14 15

Síť

The kanylovaný tesseract, bicantellated 16-cellnebo malý kosočtverečný tesseract je konvexní jednotný 4-polytop nebo 4-dimenzionální polytop ohraničeno 56 buňky: 8 malá kosočtverec, 16 oktaedra a 32 trojúhelníkové hranoly.

Konstrukce

V procesu cantellation, 2-plochy polytopu jsou účinně zmenšeny. The kosočtverec lze nazvat kanylovanou krychlí, protože pokud se jejích šest tváří zmenší v příslušných rovinách, každý vrchol se rozdělí na tři vrcholy trojúhelníků trojúhelníku kosočtverec a každá hrana se rozdělí na dva protilehlé okraje kosočtverečných dvanácti neosových čtverce.

Když se na tesseract použije stejný proces, každá z osmi kostek se popsaným způsobem stane kosočtvercem. Kromě toho však, protože hrana každé krychle byla dříve sdílena se dvěma dalšími kostkami, oddělující hrany tvoří tři rovnoběžné hrany trojúhelníkového hranolu - 32 trojúhelníkových hranolů, protože jich bylo 32. Dále, protože každý vrchol byl dříve sdílen se třemi dalšími kostkami, vrchol by se rozdělil na 12 místo na tři nové vrcholy. Vzhledem k tomu, že některé ze zmenšených tváří jsou i nadále sdíleny, určité páry těchto 12 potenciálních vrcholů jsou navzájem identické, a proto je z každého původního vrcholu vytvořeno pouze 6 nových vrcholů (odtud tedy 96 vrcholů cantellated tesseract ve srovnání s 16 ). Těchto šest nových vrcholů tvoří vrcholy osmistěnu - 16 oktaedrů, protože tesseract měl 16 vrcholů.

Kartézské souřadnice

The Kartézské souřadnice vrcholů kanylovaného tesseraktu s délkou hrany 2 je dáno všemi permutacemi:

{displaystyle left (pm 1, pm 1, pm (1+ {sqrt {2}}), pm (1+ {sqrt {2}} )ight)}

Struktura

8 malých kosočtverečných buněk je vzájemně spojeno prostřednictvím svých axiálních čtvercových ploch. Jejich neosové čtvercové plochy, které odpovídají hranám krychle, jsou spojeny s trojúhelníkovými hranoly. Trojúhelníkové plochy malého kosočtverce a trojúhelníkové hranoly jsou spojeny s 16 oktaédry.

Jeho strukturu lze představit pomocí samotného tesseractu: kosočtverec je analogický s buňkami tesseractu, trojúhelníkové hranoly jsou analogické s hranami tesseractu a octahedra jsou analogické s vrcholy tesseractu.

snímky

pravopisné projekce
Coxeterovo letadlo	B₄	B₃ / D₄ / A₂	B₂ / D₃
Graf
Dihedrální symetrie	[8]	[6]	[4]
Coxeterovo letadlo	F₄	A₃
Graf
Dihedrální symetrie	[12/3]	[4]

Drátový model	16 oktaedra zobrazeno.	32 trojúhelníkové hranoly zobrazeno.

Projekce

Toto je rozložení buněk cantelated tesseract pod paralelní projekcí do 3-dimenzionálního prostoru, nejprve malý kosočtverec:

Projekční obálka je a zkrácená kostka.
Nejbližší a nejvzdálenější malé kosočtverečné buňky od projektu 4D pohledu k objemu stejného tvaru zapsaného do projekční obálky.
Axiální čtverce tohoto centrálního malého kosočtverce se dotýkají středů 6 osmiúhelníků obálky. Osmiúhelníky jsou obrazem dalších 6 malých kosočtverečných buněk.
12 klínových svazků spojujících neosové čtvercové plochy centrálního malého kosočtverce se sousedními osmiúhelníky jsou obrazy 24 trojúhelníkových hranolů.
Zbývajících 8 trojúhelníkových hranolů se promítá na trojúhelníkové plochy obálky.
Mezi trojúhelníkovými plochami obálky a trojúhelníkovými plochami centrálního malého kosočtverce je 8 oktaedrických objemů, což jsou obrazy 16 oktaedrických buněk.

Toto rozložení buněk v projekci je analogické s rozložením tváří v projekci zkrácená kostka do 2 rozměrů. Kanylovaný tesseract lze tedy považovat za analog zkrácené krychle ve 4 rozměrech. (Není to jediný možný analog; dalším blízkým kandidátem je zkrácený tesseract.)

Další jednotný 4-polytop s podobným uspořádáním buněk je runcitruncated 16 buněk.

Cantitruncated tesseract

Cantitruncated tesseract
Schlegelův diagram soustředěný na zkrácený cuboctahedron buňka s osmiúhelníkový tváře skryté.
Typ	Jednotný 4-polytop
Schläfliho symbol	tr {4,3,3} ${displaystyle t {egin {Bmatrix} 4 3,3end {Bmatrix}}}$
Coxeterovy diagramy
Buňky	56	8 4.6.8 16 3.6.6 32 3.4.4
Tváře	248	64 {3} 96 {4} 64 {6} 24 {8}
Hrany	384
Vrcholy	192
Vrcholová postava	Sfénoid
Skupina symetrie	B₄, [3,3,4], objednávka 384
Vlastnosti	konvexní
Jednotný index	17 18 19

Síť

v geometrie, cantitruncated tesseract nebo velký kosočtverečný tesseract je jednotný 4-polytop (nebo jednotný 4-rozměrný polytop ), který je omezen číslem 56 buňky: 8 zkrácený cuboctahedra, 16 zkrácený čtyřstěn a 32 trojúhelníkové hranoly.

Konstrukce

Canitruncated tesseract je vytvořen cantitruncation z tesseract.Cantitruncation je často myšlenka jako náprava následovaná zkrácením. Výsledkem této konstrukce by však byl polytop, jehož struktura by byla velmi podobná struktuře dané cantitruncation, ale ne všechny její tváře by byly jednotné.

Alternativně a jednotný cantitruncated tesseract může být vytvořen umístěním 8 uniforem zkrácený cuboctahedra v hyperplanech buněk tesseractu, posunutých podél souřadnicových os tak, že se jejich osmiboké plochy shodují. Pro délku hrany 2 tato konstrukce dává Kartézské souřadnice jeho vrcholů jako všechny permutace:

{displaystyle left (pm 1, pm (1+ {sqrt {2}}), pm (1 + 2 {sqrt {2}}), pm (1 + 2 {sqrt {2}}) ight)}

Struktura

8 zkrácených cuboctahedra jsou navzájem spojeny prostřednictvím svých osmibokých ploch, v uspořádání odpovídajícím 8 kubickým buňkám tesseractu. Jsou spojeny se 16 zkrácenými čtyřstěnmi prostřednictvím svých šestihranných ploch a jejich čtvercové plochy jsou spojeny se čtvercovými plochami 32 trojúhelníkových hranolů. Trojúhelníkové plochy trojúhelníkových hranolů jsou spojeny se zkráceným čtyřstěnem.

Zkrácený čtyřstěn odpovídá vrcholům tesseractu a trojúhelníkové hranoly odpovídají hranám tesseractu.

snímky

pravopisné projekce
Coxeterovo letadlo	B₄	B₃ / D₄ / A₂	B₂ / D₃
Graf
Dihedrální symetrie	[8]	[6]	[4]
Coxeterovo letadlo	F₄	A₃
Graf
Dihedrální symetrie	[12/3]	[4]

A stereografická projekce cantitruncated tesseract, as a tiling on a 3 koule, se svými 64 modrými trojúhelníky, 96 zelenými čtverci a 64 červenými šestihrannými plochami (osmihranné plochy nejsou nakresleny).

Projekce

V zkráceném cuboctahedron první paralelní projekce do 3 dimenzí, buňky cantitruncated tesseract jsou rozloženy takto:

Projekční obálka je nejednotná zkrácená kostka, s delšími hranami mezi osmiúhelníky a kratšími hranami v 8 trojúhelnících.
Nepravidelné osmihranné plochy obálky odpovídají obrazům 6 z 8 zkrácených cuboctahedral buněk.
Další dva zkrácené cuboctahedrální buňky vyčnívají do zkráceného cuboctahedronu zapsaného v projekční obálce. Osmihranné tváře se dotýkají nepravidelných osmiúhelníků obálky.
V prostorech odpovídajících hranám krychle leží 12 svazků ve tvaru nepravidelných trojúhelníkových hranolů. Jedná se o obrazy, jeden na pár, 24 buněk trojúhelníkového hranolu.
Zbývajících 8 trojúhelníkových hranolů se promítá na trojúhelníkové plochy projekční obálky.
Zbývajících 8 mezer, odpovídající rohům krychle, jsou obrazy 16 zkrácených čtyřstěnů, dvojice do každého prostoru.

Toto rozložení buněk v projekci je podobné jako u kanylovaného tesseractu.

Alternativní názvy

Cantitruncated tesseract (Norman W. Johnson )
Cantitruncated 4-krychle
Cantitruncated 8 buněk
Cantitruncated octachoron
Velká hranolová hrabětexadecachoron (George Olshevsky)
Grit (Jonathan Bowers: za velkou kosočtverečnou tesseract)
012-ambo tesseract (John Conway )

Související jednotné polytopy

Polytopy symetrie B4
název	tesseract	opraveno tesseract	zkrácen tesseract	cantellated tesseract	runcinovaný tesseract	bitruncated tesseract	cantitruncated tesseract	runcitruncated tesseract	všudypřítomný tesseract
Coxeter diagram		=				=
Schläfli symbol	{4,3,3}	t₁{4,3,3} r {4,3,3}	t_0,1{4,3,3} t {4,3,3}	t_0,2{4,3,3} rr {4,3,3}	t_0,3{4,3,3}	t_1,2{4,3,3} 2t {4,3,3}	t_0,1,2{4,3,3} tr {4,3,3}	t_0,1,3{4,3,3}	t_0,1,2,3{4,3,3}
Schlegel diagram
B₄

název	16 buněk	opraveno 16 buněk	zkrácen 16 buněk	cantellated 16 buněk	runcinovaný 16 buněk	bitruncated 16 buněk	cantitruncated 16 buněk	runcitruncated 16 buněk	všudypřítomný 16 buněk
Coxeter diagram	=	=	=	=		=	=
Schläfli symbol	{3,3,4}	t₁{3,3,4} r {3,3,4}	t_0,1{3,3,4} t {3,3,4}	t_0,2{3,3,4} rr {3,3,4}	t_0,3{3,3,4}	t_1,2{3,3,4} 2t {3,3,4}	t_0,1,2{3,3,4} tr {3,3,4}	t_0,1,3{3,3,4}	t_0,1,2,3{3,3,4}
Schlegel diagram
B₄

Je to druhý v řadě hyperkrychlí s titulky:

Petrie polygon projekce

Zkrácený cuboctahedron	Cantitruncated tesseract	Cantitruncated 5-cube	Cantitruncated 6-cube	Cantitruncated 7-cube	Cantitruncated 8-cube

Reference

T. Gosset: Na regulárních a polopravidelných obrázcích v prostoru n dimenzí„Posel matematiky, Macmillan, 1900
H.S.M. Coxeter:
- Coxeter, Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN 0-486-61480-8, str. 296, tabulka I (iii): Pravidelné Polytopes, tři pravidelné Polytopes v n-dimenzích (n≥5)
- H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. vydání, Dover New York, 1973, s. 296, tabulka I (iii): Pravidelné Polytopes, tři pravidelné Polytopes v n-dimenzích (n≥5)
- Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Symetrie věcí 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 26. str. 409: Hemicubes: 1_n1)
Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. (1966)
2. Konvexní uniformní polychora založená na tesseractu (8 buněk) a hexadecachoronu (16 buněk) - Model 14, 18 George Olshevsky.
Klitzing, Richarde. „4D uniformní polytopes (polychora)“. o3x3o4x - štěrk, o3x3x4x - štěrk
Papírový model cantitruncated tesseract vytvořeno pomocí sítí vygenerovaných Stella4D software

Zásadní konvexní pravidelný a jednotné polytopy v rozměrech 2–10
Rodina	A_n	B_n	Já₂(p) / D_n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H_n
Pravidelný mnohoúhelník	Trojúhelník	Náměstí	p-gon	Šestiúhelník	Pentagon
Jednotný mnohostěn	Čtyřstěn	Octahedron • Krychle	Demicube		Dodecahedron • Dvacetistěnu
Jednotný 4-polytop	5článková	16 buněk • Tesseract	Demitesseract	24článková	120 buněk • 600 buněk
Jednotný 5-mnohostěn	5-simplexní	5-orthoplex • 5 kostek	5-demicube
Jednotný 6-polytop	6-simplexní	6-orthoplex • 6 kostek	6-demicube	1₂₂ • 2₂₁
Jednotný 7-polytop	7-simplexní	7-orthoplex • 7 kostek	7-demicube	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
Jednotný 8-polytop	8-simplexní	8-orthoplex • 8 kostek	8-demicube	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
Jednotný 9-polytop	9-simplexní	9-orthoplex • 9 kostek	9-demicube
Jednotný 10-polytop	10-simplexní	10-orthoplex • 10 kostek	10-demicube
Jednotný n-polytop	n-simplexní	n-orthoplex • n-krychle	n-demicube	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-pětiúhelníkový mnohostěn
Témata: Polytopové rodiny • Pravidelný mnohostěn • Seznam běžných polytopů a sloučenin