Duoprism - Duoprism

Sada uniformních p-q duoprismů
Typ	Prizmatické jednotné 4-polytopy
Schläfliho symbol	{p} × {q}
Coxeter-Dynkinův diagram
Buňky	p q-gonal hranoly, q p-úhlové hranoly
Tváře	pq čtverce, p q-gons, q p-gons
Hrany	2pq
Vrcholy	pq
Vrcholová postava	disphenoid
Symetrie	[p, 2, q], objednávka 4pq
Dvojí	p-q duopyramid
Vlastnosti	konvexní, vrcholová uniforma
Sada jednotných p-p duoprismů
Typ	Prizmatický jednotný 4-mnohostěn
Schläfliho symbol	{p} × {p}
Coxeter-Dynkinův diagram
Buňky	2p p-gonal hranoly
Tváře	p2 čtverce, 2p p-gons
Hrany	2 s2
Vrcholy	p2
Symetrie	[[p, 2, p]] = [2p, 2+, 2p], objednávka 8p2
Dvojí	p-p duopyramid
Vlastnosti	konvexní, vrcholová uniforma, Facet-tranzitivní

Zblízka uvnitř duoprismu 23-29 promítaného do 3-sféry a perspektiva promítaného do 3-prostoru. Jak se m a n zvětšují, duoprism se blíží geometrii duocylinder stejně jako se p-hranatý hranol blíží a válec.

v geometrie 4 a více rozměrů, a duoprism je polytop vyplývající z kartézský součin ze dvou polytopů, každý ze dvou rozměrů nebo vyšší. Kartézský součin z n-polytop a an m-polytope je (n+m) -polytop, kde n a m jsou 2 (polygon ) nebo vyšší.

Nejnižší dimenze duoprismy existují ve 4-dimenzionálním prostoru jako 4-polytopes být kartézský součin ze dvou mnohoúhelníky ve 2-dimenzionálním Euklidovský prostor. Přesněji řečeno, je to soubor bodů:

${ displaystyle P_ {1} krát P_ {2} = {(x, y, z, w) | (x, y) v P_ {1}, (z, w) v P_ {2} }}$

kde P₁ a P₂ jsou množiny bodů obsažené v příslušných polygonech. Takový duoprism je konvexní pokud jsou obě báze konvexní a jsou ohraničeny prizmatické buňky.

Nomenklatura

Čtyřrozměrné duoprismy jsou považovány za hranolové 4-polytopy. Duoprism sestrojený ze dvou pravidelné mnohoúhelníky stejné délky hrany je a jednotný duoprism.

Duoprism vyrobený z n-polygony a m-polygons je pojmenován předponou 'duoprism' jmény základních polygonů, například: a trojúhelníkový pětiúhelníkový duoprism je kartézský součin trojúhelníku a pětiúhelníku.

Alternativním a stručnějším způsobem, jak určit konkrétní duoprism, je předpona číslic označujících základní polygony, například: 3,5-duoprism pro trojúhelníkový pětiúhelníkový duoprism.

Další alternativní názvy:

• q-gonal-p-gonal hranol
• q-gonal-p-gonal double hranol
• q-gonal-p-gonal hyperprism

Termín duoprism je vytvořen Georgem Olševským, zkráceně z dvojitý hranol. John Horton Conway navrhl podobný název proprism pro hranol produktu, kartézský součin dvou nebo více polytopů o rozměru nejméně dvou. Duoprismy jsou proprizmy vytvořené přesně ze dvou polytopů.

Příklad 16-16 duoprism

Schlegelův diagram Je zobrazena projekce ze středu 16hranolového hranolu a všech opačných 16hranolových hranolů kromě jednoho.

síť Jsou zobrazeny dvě sady 16-hranatých hranolů. Horní a spodní strana svislice válec jsou spojeny, když jsou složeny dohromady ve 4D.

Geometrie čtyřrozměrných duoprismů

4-dimenzionální jednotný duoprism je vytvořen produktem běžné n-stranný polygon a obyčejný m-stranný mnohoúhelník se stejnou délkou hrany. Je ohraničen n m-gonal hranoly a m n-gonal hranoly. Například kartézský součin trojúhelníku a šestiúhelníku je duoprism ohraničený 6 trojúhelníkovými hranoly a 3 šestihrannými hranoly.

• Když m a n jsou identické, výsledný duoprism je ohraničen 2n identické n-gonal hranoly. Například kartézský součin dvou trojúhelníků je duoprism ohraničený 6 trojúhelníkovými hranoly.
• Když m a n jsou shodně 4, výsledný duoprism je ohraničen 8 hranatými hranoly (kostky ), a je totožný s tesseract.

The m-gonal hranoly jsou navzájem spojeny prostřednictvím jejich m-gonal tváře, a tvoří uzavřenou smyčku. Podobně n-gonal hranoly jsou navzájem spojeny prostřednictvím jejich n-gonal face, a tvoří druhou smyčku kolmou k první. Tyto dvě smyčky jsou navzájem spojeny prostřednictvím svých čtvercových ploch a jsou vzájemně kolmé.

Tak jako m a n přiblížit se k nekonečnu, odpovídající duoprismy se blíží k duocylinder. Jako takové jsou duoprismy užitečné jakokvadrický aproximace duocylinderu.

Sítě

3-3	4-4	5-5	6-6	8-8	10-10
3-4	3-5	3-6	4-5	4-6	3-8

Perspektivní projekce

Díky buněčné centrované projekci vypadá duoprism jako torus, se dvěma sadami ortogonálních buněk, p-gonal a q-gonal hranoly.

Schlegel diagramy

6-hranol	6-6 duoprism
A šestihranný hranol, promítnutý do roviny perspektivou, se středem na šestihranné ploše, vypadá jako dvojitý šestiúhelník spojený (zkreslený) čtverce. Podobně 6-6 duoprism promítnutý do 3D se blíží a torus, šestihranný v půdorysu i v řezu.

Duoprismy p-q jsou identické s duoprismy q-p, ale v těchto projekcích vypadají odlišně, protože jsou promítány do středu různých buněk.

Schlegel diagramy

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8

Ortogonální projekce

Ortogonální projekce duoprismů p-p na střed vrcholů vyčnívají do [2n] symetrie pro liché stupně a [n] pro sudé stupně. Do středu je promítnuto n vrcholů. Pro 4,4 to představuje A.³ Coxeterova rovina tesseract. Projekce 5,5 je identická s 3D kosočtverečný triacontahedron.

Drátové rámy ortogonálních projekcí duoprismů p-p

Zvláštní
3-3		5-5		7-7		9-9
[3]	[6]	[5]	[10]	[7]	[14]	[9]	[18]
Dokonce
4-4 (tesseract)		6-6		8-8		10-10
[4]	[8]	[6]	[12]	[8]	[16]	[10]	[20]

Související polytopy

A stereografická projekce rotující duocylinder, rozdělený na šachovnicový povrch čtverců z {4,4 | n} zešikmeného mnohostěnu

The pravidelný zkosený mnohostěn, {4,4 | n}, existuje ve 4 prostoru jako n² čtvercové tváře a n-n duoprismpomocí všech 2n² hrany a n² vrcholy. 2n n-gonal obličeje lze považovat za odstraněné. (zkosená mnohostěna může být viděna stejným způsobem n-m duoprismem, ale tyto nejsou pravidelný.)

Duoantiprism

p-q duoantiprism vrchol obrázek, a gyrobifastigium

Velký duoantiprism, stereografická projekce, se soustředil na jednu pentagrammic zkřížený antiprism

Jako antiprismy střídavě hranoly, existuje sada 4-dimenzionálních duoantiprismů: 4-polytopes které lze vytvořit pomocí střídání operace aplikovaná na duoprism. Střídané vrcholy vytvářejí nepravidelné čtyřboké buňky, s výjimkou zvláštního případu 4-4 duoprism (tesseract ) který vytváří uniformu (a pravidelnou) 16 buněk. 16článkový je jediný konvexní jednotný duoantiprismus.

Duoprismy , t_0,1,2,3{p, 2, q}, lze střídat do , ht_0,1,2,3{p, 2, q}, „duoantiprizmy“, které nelze obecně sjednotit. Jediným konvexním jednotným řešením je triviální případ p = q = 2, což je konstrukce nižší symetrie tesseract , t_0,1,2,3{2,2,2} se střídáním jako 16 buněk, , s {2} s {2}.

Jediné nekonvexní jednotné řešení je p = 5, q = 5/3, ht_0,1,2,3{5,2,5/3}, , postaveno od 10 pětiúhelníkové antiprismy, 10 pentagrammické zkřížené antiprismy a 50 čtyřstěnů, známých jako velký duoantiprism (gudap).^[1][2]

Ditetragoltriate

Příbuzné jsou také ditetragoltriate nebo octagoltriates, vytvořené pomocí osmiúhelník (považován za ditetragon nebo zkrácený čtverec) na p-gon. The osmiúhelník p-gonu lze jasně definovat, pokud předpokládáme, že osmiúhelník je konvexní trup dvou kolmých obdélníky; pak p-gonal ditetragoltriate je konvexní trup dvou p-p duoprismů (kde p-gony jsou podobné, ale nejsou shodné, mají různé velikosti) v kolmých orientacích. Výsledný polychoron je isogonal a má 2p p-gonal hranoly a p² obdélníkové lichoběžníky (a krychle s D_2d symetrie), ale nelze jej sjednotit. Vrcholová figura je a trojúhelníkový bipyramid.

Dvojité antiprismoidy

Stejně jako duoantiprizmy jako alternativní duoprismy existuje i sada p-gonálních dvojitých antiprismoidů vytvořených střídáním 2p-gonálních ditetragoltriatů, vytvářením p-gonálních antiprismů a čtyřstěnů a reinterpretací nekorealmických trojúhelníkových bipyramidových prostorů jako dvou čtyřstěnů. Výsledný údaj obecně není jednotný, kromě dvou případů: velký antiprism a jeho konjugát, pentagrammatický dvojitý antiprismoid (s p = 5, respektive 5/3), představovaný jako střídání dekagonálního nebo dekagrammického ditetragoltriate. Vrcholová figura je variantou sphenocorona.

k_22 polytopů

The 3-3 duoprism, -1₂₂, je první v rozměrové řadě jednotných polytopů, vyjádřeno Coxeter zeptat se₂₂ série. Duoprism 3-3 je vrcholná hodnota pro druhý, birectified 5-simplex. Čtvrtý údaj je euklidovský plástev, 2₂₂ a finále je parakompaktní hyperbolický plástev, 3₂₂, se skupinou Coxeter [3^2,2,3], ${ displaystyle { bar {T}} _ {7}}$. Každý progresivní jednotný polytop je konstruován z předchozího jako jeho vrchol obrázek.

k₂₂ čísla v rozměrech n

Prostor	Konečný			Euklidovský	Hyperbolický
n	4	5	6	7	8
Coxeter skupina	A2A2	E6	${ displaystyle { tilde {E}} _ {6}}$= E6+	${ displaystyle { bar {T}} _ {7}}$= E6++
Coxeter diagram
Symetrie	[[32,2,-1]]	[[32,2,0]]	[[32,2,1]]	[[32,2,2]]	[[32,2,3]]
Objednat	72	1440	103,680	∞
Graf				∞	∞
název	−122	022	122	222	322

Viz také

• Polytop a 4-mnohostěn
• Konvexní pravidelný 4-polytop
• Duocylinder
• Tesseract

Poznámky

Reference

• Pravidelné Polytopes, H. S. M. Coxeter, Dover Publications, Inc., 1973, New York, s. 124.
• Coxeter, Krása geometrie: Dvanáct esejůPublikace Dover, 1999, ISBN  0-486-40919-8 (Kapitola 5: Pravidelný zkosený mnohostěn ve třech a čtyřech rozměrech a jejich topologické analogy)
  • Coxeter, H. S. M. Pravidelná šikmá mnohostěna ve třech a čtyřech rozměrech. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
• Čtvrtá dimenze jednoduše vysvětlena, Henry P. Manning, Munn & Company, 1910, New York. K dispozici v knihovně University of Virginia. Dostupné také online: Čtvrtá dimenze jednoduše vysvětlena —Obsahuje popis duoprismů (dvojité hranoly) a duocylinders (dvojité válce). Googlebook
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Symetrie věcí 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Kapitola 26)
• N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966