Lehmann – Schefféova věta - Lehmann–Scheffé theorem
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Dubna 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v statistika, Lehmann – Schefféova věta je prominentní výrok, který spojuje myšlenky úplnosti, dostatečnosti, jedinečnosti a nejlepšího nezaujatého odhadu.[1] Věta říká, že jakýkoli odhadce který je objektivní pro dané neznámé množství a to závisí na datech pouze prostřednictvím a kompletní, dostatečná statistika je jedinečný nejlepší nezaujatý odhad tohoto množství. Věta Lehmann – Scheffé je pojmenována po Erich Leo Lehmann a Henry Scheffé, vzhledem k jejich dvěma raným dokumentům.[2][3]
Li T je úplná dostatečná statistika pro θ a E (G(T)) = τ(θ) pak G(T) je rovnoměrně nestranný odhad minimální variance (UMVUE) zτ(θ).
Prohlášení
Nechat být náhodný vzorek z distribuce, která má p.d.f (nebo p.m.f v samostatném případě) kde je parametr v prostoru parametrů. Předpokládat je dostatečná statistika pro θa nechte být úplnou rodinou. Li pak je jedinečný MVUE z θ.
Důkaz
Podle Rao – Blackwellova věta, pokud je nezaujatý odhadce θ pak definuje nezaujatý odhadce θ s vlastností, že jeho rozptyl není větší než u .
Nyní ukážeme, že tato funkce je jedinečná. Předpokládat je dalším kandidátem na odhad MVUE θ. Pak znovu definuje nezaujatý odhadce θ s vlastností, že jeho rozptyl není větší než u . Pak
Od té doby je úplná rodina
a tedy funkce je jedinečná funkce Y s odchylkou ne větší než u jakéhokoli jiného nezaujatého odhadce. Došli jsme k závěru, že je MVUE.
Příklad pro použití neúplné minimální dostatečné statistiky
Příklad vylepšitelného vylepšení Rao – Blackwell, když se použije minimální dostatečná statistika není kompletní, poskytli Galili a Meilijson v roce 2016.[4] Nechat být náhodným vzorkem z měřítka rovnoměrného rozdělení s neznámým průměrem a známý konstrukční parametr . Při hledání "nejlepších" možných nestranných odhadů pro , je přirozené uvažovat jako počáteční (surový) nezaujatý odhadce pro a zkuste to vylepšit. Od té doby není funkcí , minimální dostatečná statistika pro (kde a ), lze jej vylepšit pomocí Rao – Blackwellovy věty následovně:
Lze však prokázat, že následující nestranný odhad má menší rozptyl:
A ve skutečnosti by to mohlo být ještě dále vylepšeno, když použijete následující odhad:
Viz také
Reference
- ^ Casella, George (2001). Statistická inference. Duxbury Press. str. 369. ISBN 978-0-534-24312-8.
- ^ Lehmann, E. L.; Scheffé, H. (1950). „Úplnost, podobné oblasti a nestranný odhad. I.“ Sankhya. 10 (4): 305–340. doi:10.1007/978-1-4614-1412-4_23. JSTOR 25048038. PAN 0039201.
- ^ Lehmann, E.L.; Scheffé, H. (1955). „Úplnost, podobné oblasti a nestranný odhad. II.“. Sankhya. 15 (3): 219–236. doi:10.1007/978-1-4614-1412-4_24. JSTOR 25048243. PAN 0072410.
- ^ Tal Galili a Isaac Meilijson (31. března 2016). „Příklad zlepšitelného zlepšení Rao – Blackwell, odhadu neefektivní maximální pravděpodobnosti a nestranný zobecněný Bayesův odhad“. Americký statistik. 70 (1): 108–113. doi:10.1080/00031305.2015.1100683. PMC 4960505. PMID 27499547.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)